Tema 55 – Sistemas de capitalización. Equivalencia financiera. Las rentas: concepto y clases. Actualización y capitalización de rentas.

1 INTRODUCCIÓN.

Definimos empresa como aquella organización que goza de cierta estructura racional y que para conseguir una serie de fines y objetivos, lleva a cabo procesos de producción o prestación de servicios, y posterior comercialización de los mismos a través de la utilización de conjunto de factores de producción.

El activo fijo, o estructura sólida está formado por elementos cuyo fin es asegurar la vida de la empresa, es decir su supervivencia, vinculados a la actividad de manera permanente y no destinados, en principio, a la venta. El fin último de estas inmovilizaciones es su conversión en liquidez, a través de un proceso de amortización. El origen o de los recursos son las Fuentes de financiación:

1) Internas o autofinanciación

2) Externa: todos los recursos financieros no generados por la misma.

A su vez los recursos financieros se pueden clasificar en:

1) Propios: aportados por los propietarios jurídicos, y fondos generados.

2) Ajenos: procedentes de terceros. Son exigibles, es decir, tienen que ser devueltos en un periodo más o menos grande de tiempo.

Además interesa distinguir en función de su duración entre:

1) Capitales permanentes, o recursos a medio y l/p: los recursos financieros propios y aquellos ajenos que tienen un periodo de exigibilidad grande.

2) Pasivos o financiación a c/p: aquellos recursos financieros ajenos que vencen en el c/p (créditos de proveedores, Hacienda, Seguridad Social, trabajadores, etc.

En este tema vamos a ver desde una perspectiva matemática los flujos financieros que se producen en la empresa.

2 SISTEMAS DE CAPITALIZACIÓN.

2.1 Conceptos básicos.

1) Fenómeno financiero: intercambio no simultáneo de bienes económicos entre dos personas físicas o jurídicas. La no simultaneidad supone temer en cuenta el tiempo al valorar el capital. Ejemplo: una casa que se paga a plazos.

2) Capital financiero: de un bien económico tomando como referencia el momento en el tiempo en el se hace disponible. Se representa (C,t). Ej: (1.000.000, 3).

3) Proyección financiera: valor que un capital tiene en un momento p dado (punto de aplicación). Si hoy estamos en el momento t y p es el futuro, el valor de ese capital, o proyección financiera, aumentará según una Ley financiera de capitalización. Si conocido el valor del capital en t queremos conocer la proyección financiera en p anterior tendremos que calcularla a través de una ley financiera de descuento. En ambos casos, la diferencia entre los valores del capital en t y p es el precio que se cobra por disponer del capital o de adelantar dicho capital, respectivamente.

4) Operación financiera: intercambio no simultáneo de capitales financieros entre dos partes, que lleva implícita la equivalencia de ambos conjuntos de capitales. En dicha operación hay una posición acreedora y otra deudora.

2.2 Interés simple.

2.2.1 Concepto.

Cantidad percibida en compensación por diferir la disponibilidad de un capital. Es un precio que se cobra por cada €/año, llamado interés de la operación. Un capital se presta a interés simple, cuando el beneficio o interés producido es directamente proporcional al capital prestado y al tiempo que dura el préstamo. Sigue :

I = C x n x i I = V -C

i = expresado por cada € año; I = cuantía de intereses totales; C = capital; V = proyección financiera.

Para obtener la fórmula o Ley de Capitalización simple:

Cn = C + I; Cn = C + ( C x n x i); Cn = C x ( 1 + i x n)

Si la duración de la operación no llega al año, podemos homogeneizarla a través de:

L ( t,p ) = 1 + i x n/k

k = número de veces en que se fracciona el año.

2.2.2 Tantos equivalentes.

Son aquellos tipos que aplicados a un mismo capital durante un mismo tiempo, producen intereses iguales, pero estando referidos en distintas unidades de tiempo. Ej: el 12% anual es tanto equivalente al 6% semestral. En general:

i_k = i/k

En el interés simple, si queremos calcular el capital en un momento t tenemos que partir del momento p, y nunca de un momento intermedio, porque sino, no tendríamos en cuenta que en interés simple no se hay intereses de intereses.

2.2.3 Montante. Representación gráfica del interés y el montante.

Montante de un capital inicial prestado durante un tiempo n, es la suma del capital inicial y los intereses correspondientes. C_n = C_o + I

La representación de la expresión del interés simple (I = C x n x i ), es una recta que depende de n, tiene pendiente positiva y parte del eje de coordenadas, ya que los intereses son 0 en el momento de tiempo 0. La representación gráfica de la expresión del montante (Cn = Co+I), es también una recta que depende del n, tiene pendiente positiva y que corta al eje de ordenadas (al OY) en un punto que coincide con el Co, ya que en el momento inicial todavía no se generan intereses.

2.3 Capitalización compuesta: el interés compuesto.

2.3.1 Capitalización a interés compuesto.

Un capital se presta a interés compuesto cuando periódicamente se acumulan los intereses generados por el capital, siendo el montante formado un capital que genera nuevos intereses. Las definiciones son idénticas a las del anterior epígrafe. Si Co es el capital inicial e i es el tipo de interés tendremos:

C₁ = Co + Co x i = Co x (1+i)

C₂ = C₁ + C₁ x i = C_o x (1+i) x (1 + i) = C_o x (1+ i)²

C_n = C_o *( 1 + i) ⁿ

La ley de capitalización compuesta es : L (t, p) = (1 + i) ⁿ

2.4 Representación gráfica de la capitalización simple y compuesta.

Si representamos el montante en ambos tipos de operaciones, en el interés simple hay una recta con pendiente positiva que cortaba al OY en (Co,0), y en el interés compuesto el montante es una función exponencial que también corta al eje OY en el mismo punto (Co, 0). Hemos de saber que:

1) Ambas funciones se cortan para n =1, (es indiferente en operaciones de un año llevar a cabo la operación mediante capitalización simple o compuesta.

2) Para n<1 el montante en capitalización compuesta es inferior que en capitalización simple, por lo que conviene llevar a cabo la operación bajo capitalización simple.

3) Para n>1 los montantes en capitalización compuesta superan a los de la capitalización simple.

Para n>1 se suelen utilizar dos criterios:

1) Criterio exponencial: se aplica a toda la operación la capitalización compuesta, sustituyendo n (exponente) por un número, probablemente decimal. Ej: 1,2

2) Criterio lineal: se aplica la capitalización compuesta a la parte entera de años y la simple para la parte decimal utilizando la ley (1 + i x n/k).

2.5 Cálculo de los elementos que intervienen en la fórmula del montante.

1) Cálculo del Co: se puede obtener de las siguientes formas:

a) Haciendo logaritmos decimales de base 10 en ambos miembros.

b) Por tablas financieras estandars.

c) Despejando directamente.

2) Cálculo del i:

a) Haciendo logaritmos decimales en base 10 en ambos miembros y despejando a través de antilogaritmo, es decir función inversa al logaritmo.

b) Por tablas financieras con el cociente Cn/Co e interpolando o por aproximaciones.

3) Cálculo del n:

a) Haciendo logaritmos decimales de base 10 en ambos miembros.

b) Por tablas financieras conociendo el Cn/Co e interpolando después.

2.6 Descuento simple.

Es la cantidad que se percibe por anticipar la disponibilidad de un capital y es el tanto de descuento d, para cada € y en un año. Si C es el nominal del capital y D es el descuento total, tenemos que: D = C x d x n; C₂ = C₁ – D

La Ley del descuento simple es:

1 – d x n

Cuando tenemos operaciones de descuento de menor plazo del año:

1- d x n/k

Hemos de tomar como referencia el momento de disponibilidad.

2.7 Descuento simple comercial y descuento simple racional.

1) Descuento simple comercial: representa los intereses del nominal de la deuda obtenidos durante el tiempo hasta su vencimiento. Matemáticamente es:

Co = Cn x ( 1- d x n/k)

2) Descuento simple racional o matemático: intereses del efectivo resultante de aplicar el descuento por el tiempo que nos separa del vencimiento de la deuda. Su fórmula es: C_n = C_o x ( 1+ i x n/k); C_o = C_n / { 1 + i x n/k }

Sale despejando de la capitalización simple. Permite realizar una operación reversible a la de capitalización. y se utiliza el tanto de interés como de descuento.

2.8 Relación entre ambos descuentos.

C_o = C_n x ( 1 – d x n/k); C_n *(1 – d x n/k) x ( 1 + i x n/k) = C_n;

(1 -d x n/k) = 1 /( 1- d x n/k)

d = i / 1+ 1 x n/k

El d es menor que el i, (los bancos no suelen aplicar el descuento racional.

2.9 El descuento compuesto.

La expresión de la ley es similar al de la capitalización compuesta:

C_n-1 = C_n – C_n *d = C_n x ( 1-d)

C_n-2 = C_n-1 – C_n-1 *d = C_n x ( 1-d) ²

Co = Cn x ( 1- d) ⁿ

La expresión de la Ley de Actualización compuesta es:

A (t;p) = (1 – d) ⁿ

Se aplica dicha ley cuando la operación dura más de un año.

2.10 Descuento comercial compuesto y descuento racional compuesto.

1) Descuento comercial compuesto: resultado de disminuir la unidad de capital cada año una cantidad D. Su fórmula es: Co = Cn x ( 1- d) ⁿ

2) Descuento racional compuesto es el resultado de despejar de la fórmula de la capitalización compuesta: Co = Cn x ( 1 + i ) ^{– n}

El Descuento comercial es : Cn x { 1 – ( 1 – d) } ⁿ

El Descuento racional es: Cn x { 1 – ( 1+ i)}^{– n}

Cn x { 1 – ( 1 – d ) } ⁿ = Cn x { 1 – ( 1 + i ) }^{– n}; ( 1 – d ) ⁿ = ( 1 + i ) ^{– n}

d = i / 1+ i

Hay un descuento equivalente a uno de interés, de manera que si Cn = 1 y n =1:

Dr = 1 x { 1 – ( 1 + i )^-1 }= 1 – 1 / 1 + i = d

El tanto de descuento es el descuento racional de un € por unidad de tiempo, al interés i.

2.11 Tantos equivalentes y tanto efectivo anual.

El tanto j(m) correspondiente a un cierto periodo de capitalización, que supondremos un año, y que llamaremos tanto efectivo anual. Un individuo puede cobrar intereses o puede reinvertirlos, según su elección, y que esta decisión la toma cada enésimos periodos anuales de tiempo. Si suponemos un depósito de 1 €:

Al final de cada emésimo de año se calculan intereses y se pueden reinvertir los intereses. Si el tipo de interés anual es j(m)

M_o = 1

M _1/m = ( 1 + j(m)/m)

M _2/m= ( 1 + j(m)/m) ²

.

M₁= ( 1 + j(m)/m) ^m

Si tomamos otra frecuencia distinta a m, como r y otro tipo, por ejemplo i(r):

M`₁ = ( 1 + i(r)/r) ^r

Si M₁ = M`₁ entonces i(r) y j(m) son tantos equivalentes.

Hemos de distinguir entre el j(m), y el tanto efectivo, el cual podemos calcular y que tiene en cuenta la acumulación de intereses. Si M = M`

(1 + j(m)/m) ^m = ( 1 + i(r)/r) ^r

Pero si buscamos el r =1 anual tendremos que: (1 + j(m)/m) ^m = ( 1 +i )

Así podemos hallar el tanto efectivo de cualquier tanto nominal. Despejando:

j(m) = m x {( 1 + i) ^1/m – 1 }

A mayor frecuencia mayor será el tanto efectivo y menor el nominal.

3 LA EQUIVALENCIA FINANCIERA.

3.1 Capitales equivalentes y suma de capitales financieros.

Un conjunto de capitales disponibles en tiempos determinados es equivalente a otro conjunto de capitales disponibles en otros tiempos, cuando la suma de los valores actuales de los primeros es igual a la suma de los valores actuales de los segundos.

V₁ = C₁ x L (t ; p); V₂ = C₂ x L (t`; p)

V₁ = V₂

Nos es indiferente escoger uno u otro ya que valorados en p resultan equivalentes. Si V₁ fuese menor que V₂ , éste último sería preferible al primero, y viceversa.

Para sumar capitales hemos de valorarlos en un mismo momento del tiempo. Ej: si tenemos un conjunto de capitales A de distintas cuantías y que vencen en distintos momentos cada uno, y otro conjunto de capitales B que con distintos vencimientos y distintas cuantías, podemos saber si son intercambiables financieramente, de manera que aplicamos en ambos conjuntos una ley financiera en un mismo momento p, de manera que nos dan un conjunto de proyecciones financieras en cada uno de los conjuntos. Sumando las proyecciones financieras de A y haciendo lo propio con B, podemos comparar los resultados, de manera que si S=S` es que ambos conjuntos son financieramente equivalentes.

S = 3 Ci x L (ti ; p)

S`= 3 Cj x L ( tj ; p)

4 LAS RENTAS: CONCEPTO Y CLASES.

4.1 Conceptos generales, elementos y objeto de una renta.

1) Distribución de capitales: conjunto de capitales financieros con distintos vencimientos, y en cada punto vence como mucho un solo capital. Si vence más de uno se suman sus cuantías. Tras esto se forma una corriente de ingresos y/o desembolsos.

2) Renta financiera: sucesión de capitales financieros disponibles en periodos iguales de tiempo, y que producen un determinado interés.

3) Términos: cada uno de los capitales, sus cuantías. Van ordenados según su vencimiento.

4) Periodo: de tiempo que transcurre entre un término y el siguiente. El periodo es constante.

5) Duración: suma de todos los periodos de tiempo, desde el inicio hasta el final.

La creación de una renta puede atender a dos objetos:

1) Amortización progresiva de una deuda.

2) Constitución de un capital que será disponible en una fecha preestablecida.

4.2 Concepto de valor actual y valor final.

Para poder describir una renta tenemos que analizar los capitales que la constituyen, es decir sus términos, y el periodo. Es interesante realizar representaciones esquemáticas. Ej: renta de 10 años, términos 100 € constantes y periodos anuales:

Llamamos a t_o el origen de la renta, que en el ejemplo el 0 y llamamos t_n el final , que en el ejemplo es 10. Llamamos duración de la renta a t_n – t_o.

El VALOR ACTUAl de una renta, es equivalente financieramente hablando a VALOR FINAL de la renta, es decir, la proyección financiera de todos los términos llevada al momento t_o, ha de ser financieramente equivalente a la proyección financiera de los términos de la renta llevados al momento t_n. El valor inicial es el: 3 V (t_i;t_o)

Llamamos valor final de la renta al: 3 V (t_i;t_n)

Ej: si hoy empiezo a depositar en el banco, 50 € cada mes, durante 10 años, puedo conocer en cualquier momento el valor actual, (a día de hoy), de toda esa corriente, o puedo conocer el valor de esa corriente pasados 10 años (valor final).

5 CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS.

5.1 Clasificación de rentas.

1) Según la cuantía de sus capitales:

a) Constantes: todos sus términos son iguales. Como el ejemplo anterior.

b) Variables: tiene distintos términos, que siguen o no siguen un ordena preestablecido. Cuando siguen un orden o seriación, se suelen dar:

i) En progresión aritmética: los términos crecen o decrecen según una progresión aritmética. C_n = C₁ + d * (n-1)

ii) En progresión geométrica: los términos crecen o decrecen según una progresión geométrica: C_n = C₁ * r ^n-1

2) Según el vencimiento de los términos o capitales:

a) Prepagables: los capitales vencen al principio de cada periodo.

b) Pospagables: los capitales vencen al final de cada periodo.

3) Según la periodicidad del vencimiento:

a) Anuales: los capitales vencen cada año.

b) Fraccionadas: vencen bajo una periodo inferior al año. Ej: mensualmente.

c) Con periodicidad superior al año: por ejemplo rentas bianuales.

4) En función del momento en que la valoremos:

a) Inmediata: se valora en un punto que pertenece al intervalo de la renta.

b) Diferidas: el momento de valoración es anterior al origen de la renta.

c) Anticipada: el momento de valoración es posterior a la finalización.

5) Por su duración:

a) Temporales: tienen un número determinado o finito de términos, y por tanto, se conoce un final definidamente.

b) Perpetuas: el número de términos no está determinado (infinitos).

c) Vitalicias: el final de la renta se subordina a la defunción del beneficiario.

6) Por la amplitud del intervalo.

a) Renta discreta: si es finita dicha amplitud.

b) Continua: cuando los subintervalos son de medida infinitesimal.

5.2 Análisis de los tipos de rentas.

5.2.1 Rentas constantes, inmediatas, pospagables y temporales.

Tienen términos constantes, vencen al final de cada periodo, tienen duración finita y se valoran en el intervalo de duración de la renta. La ley que siguen es la de capitalización compuesta: L (t;p) = (1+i) ^p-t

S_n5i es el símbolo que representa el valor final de una renta unitaria, temporal, pospagable, constante, inmediata, con tipo i constante. Además podemos comparar ambas expresiones sabiendo que:

ü El valor final de una renta es igual al su valor inicial multiplicado por (1+i)^n.

ü El valor inicial de una renta es igual a su valor final multiplicado por (1+i) ^-n

5.2.2 Renta prepagable, constante, inmediata y temporal.

Es imposible conocer el valor final de una renta perpetua.

5.2.4 Rentas diferidas.

Se valoran antes de que comience el t_o:

d/ (Vo)n5i = (1+i) ^{– d} *(Vo)n5i = (1+i) ^{– d *} C * an5i.

d/(Vo*)n5i = (1+i) ^{– d} *(Vo*)n5i =(1+i) ^{– d + 1} * C * an5i.

d/ (Vo)%5i = (1+i) ^{– d} * (Vo) %5i = (1+i) ^{– d} * C * 1/i

d/ (Vo*)%5i = (1+i) ^{– d+1} * (Vo*) %5i

d/ (Vo*)%5i = (1+i)^{– d+1} * C * 1/i

5.2.5 Rentas anticipadas.

Son aquellas rentas que se valoran en un momento posterior a t_n:

h/ (Vf)n5i = (1+i)^h (Vf)n5i = (1+i)^n+h *C* an5i.

h/(Vf*)n5i =(1+i)^h * (Vf*)n5i =(1+i)^n+h+1 *C * an5i.

h/ (Vo)%5i = (1+i)^h* (Vo) %5i = (1+i)^h*C * 1/i

h/(Vo*)%5i =(1+i)^h*(Vo*) %5i =(1+i)^{h+1C * 1/i}

5.2.6 Rentas variables.

Aquellas en las que las cuantías de sus términos son distintas entre sí:

1) Rentas variables en progresión aritmética: discretas, con tipo de interés constante, inmediata, pospagable y temporal. Es condición necesaria que los términos de la progresión sean positivos.

d es la razón de la progresión aritmética. Si el último término es positivo, las anotaciones anteriores serán todas positivas, aunque la razón sea negativa. Si dividimos esa renta como una suma de rentas tenemos:

Y así todas. Calculando el valor actual en cero de cada una de las rentas de la suma, la suma de los valores actuales será el valor actual de la renta en proyección aritmética: La primera sería una renta normal, con C, la segunda una renta diferida en 1 con n-1 términos constantes de d, la segunda una renta diferida en 2 con n-2 términos constantes de d, y así. El valor actual de la suma de dichos valores actuales. Desarrollando llegaríamos a la conclusión de que el valor de esta renta es

2) Rentas variables en progresión geométrica, pospagables, inmediatas, temporales, etc: se desarrollan a través de la siguiente fórmula:

5.2.7 Rentas fraccionadas.

Son aquellas cuyos términos vencen en periodos inferiores al año. Se ha de tener en cuenta que el fraccionamiento es uniforme, es decir, subcuantías iguales y en que suman una cuantía o término anual.

El valor actual de este tipo de rentas será distinto del valor actual de una renta no fraccionada, ya que en aquélla se producen intereses con menor frecuencia.

Tenemos:

Vo = i/j(m)* C*an5i

Desde ahí se pueden convertir todas las fórmulas de rentas no fraccionadas en rentas fraccionadas cogiendo el factor i/j(m)

Ejemplos de renta:

6 CONCLUSIÓN.

Los cálculos propios de las matemáticas financieras son muy importantes en la economía de la empresa, puesto que permiten conocer el valor de los capitales en el tiempo. Sirven para la valoración de préstamos, rentas, empréstitos, etc.