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Tema 6. El cálculo de proposiciones y de predicados.

Se llama “lógica simbólica” o “lógica formal” a la lógica moderna que, mediante el simbolismo lógico, o mediante un lenguaje formal, se ocupa de la forma lógica de los enunciados y sus relaciones, es decir, los razonamientos. La lógica simbólica recibe también el nombre de lógica matemática. Con este nombre se denomina a la lógica moderna, que se basa en el desarrollo de lenguaje simbólicos y lenguajes formales y un grado elevado de matematización. Sus orígenes se remontan a G. W. Leibniz, a quien se atribuye haber usado por primera vez la expresión “lógica matemática”, pero su formulación propiamente inicial se debe a G. Boole y G. Frege.

La lógica matemática o simbólica no es sustancialmente diferente de la lógica formal de Aristóteles. En efecto, éste, para resaltar las relaciones y prescindir de los contenidos concretos, materiales, usaba variables. La lógica matemática o formal pretende, sin embargo, llevar más adelante el método simbólico de Aristóteles. Así, no sólo simboliza sujetos y predicados, sino también las cópulas o conectivas. Además, se dedica primordialmente a la lógica proposicional, parte de la lógica prácticamente ausente en los manuales de lógica tradicionales.

Hemos dicho que la formulación inicial de la lógica matemática se debe fundamentalmente a Frege. La gran aportación de Frege fue inventar un sistema de símbolos mediante el cual los lógicos pudieron formular tanto los tipos de inferencia estudiados por la lógica proposicional de Aristóteles como aquellos a los que los métodos aristotélicos no pueden ser aplicados. El análisis aristotélico tenía su fundamento en la división de las proposiciones contenidas en la inferencia en sujeto y predicado. Así, una inferencia válida en el sistema aristotélico podría ser esta:

Todos los manchegos son europeos (todo S es P)

Todos los europeos son fascistas (todo P es G)

Por tanto, todos los manchegos son fascistas (todo S es G)

Sin embargo, hay muchas inferencias válidas que no se adecuan a este esquema de razonamiento, y que no pueden ser analizadas en el sistema aristotélico. Por ejemplo:

Si esta tarde hace sol, el R. Madrid ganará la Champions League

Esta tarde hará Sol

Por tanto, el R. Madrid ganará la Champions League

La validez de esta última inferencia no depende de la constitución interna de las proposiciones contenidas en ella, sino que depende más bien de las relaciones entre las proposiciones tomando cada una de éstas como un todo. Por tanto, para analizar esta inferencia no debemos analizar la estructura de las proposiciones en ella contenidas, sino ver cuales son las relaciones entre estas proposiciones. Esto se consigue formalizando nuestra inferencia como:

Si p entonces q;

Y p.

Por tanto q.

El modo en que la proposición que se sustituye por “p” se divida, por ejemplo, en sujeto y predicado, o si se divide o no en absoluto, es irrelevante. En la lógica simbólica de Frege se da un lugar central a esta clase de inferencias, que son tratadas mediante el uso de dos clase de símbolos: una clase designa lasproposiciones (a través de las “letras proposicionales”: p, q, r, s, etc.), y la otra designa a las conectivas que unen dichas letras (si… entonces, etc.)

Si nuestra inferencia es válida en función de las relaciones que mantienen entre sí las diversas proposiciones contenidas en ella, todas las inferencias cuyas proposiciones tengan entre sí las mismas relaciones que tienen las proposiciones de nuestro ejemplo serán, también, válidas. Se alude a esto diciendo que las inferencias que tengan esa forma sonnecesariamente válidas.

Frege desarrolló su cálculo lógico centrándose en las llamadas verdades lógicas de este género, y exponiéndolas de forma parecida a la de un sistema aritmético. Frege muestra un número pequeño de tales verdades comoaxiomas, esto es, como un principio intuitivo y evidente -y, por tanto, que no necesita ser demostrado y, adoptando la regla de inferencia “dado A”, y “si A entonces B”, inferir B”, muestra cómo se pueden derivar de ellas un número ilimitado de otras verdades lógicas.

Sin embargo, la aportación más importante de Frege a la lógica es su tratamiento de los tipos de inferencia que Aristóteles había formalizado. Para ello introdujo un artificio matemático denominadofunción.

En álgebra, la expresión “x2 + 1″ representa una función de la variable “x”. Es una función de x porque su valor depende de aquello por lo que sustituyamos la variable x. El número por el que sustituimos la variablex recibe el nombre de “argumento”.

Frege tomó este artificio matemático y lo aplicó a las proposiciones. Por ejemplo, sea la proposición “Sócrates es un filósofo griego”. En lugar de hablar de “Sócrates” como sujeto y de “es un filósofo griego” como predicado, podemos hablar de “x es un filósofo griego” como la función a la que Sócrates proporciona el argumento. En otros términos, tratamos al predicado por analogía con “x2 + 1″ y tratamos a “Sócrates” por analogía con el número (por ejemplo, el 2), por que sustituimos a x.

En matemáticas, el valor resultante de sustituir en una función los argumentos de la misma (las variables) por valores y realizar los cálculos aritméticos indicados en la función. ¿Cuál es, en lógica, el valor de una función? Frege dijo que el valor era o lo verdadero o lo falso. Si se suministra un argumento para “x es un filósofo griego”, se obtiene una proposición que es verdadera o falsa, un “valor de verdad”. Así, si la función “x es un filósofo griego” tiene por argumento a “Sócrates”, es verdadera; si tiene por argumento a “el señor Felipe González” es, obviamente, falsa.

1. CALCULO DE PROPOSICIONES

Uno de los rasgos que distinguen al hombre de sus antepasados antropoides es el uso del lenguaje. Y un rasgo típico del lenguaje humano es el uso de argumentos.

Un argumento es un segmento lingüístico de cierta complejidad en el cual, de la posición de trozos o subsegmentos iniciales, se sigue necesariamente la posición de un trozo o subsegmento final.

Las principales partes o unidades lingüísticas que integran un argumento son los enunciados. Unenunciado es un segmento lingüístico que tiene un sentido completo y que puede ser afirmado con verdad o falsedad. Los enunciados iniciales de un argumento reciben el nombre de premisas, y el enunciado final el deconclusión.

El empleo de argumentos tiene lugar tanto en la vida cotidiana como en el ejercicio de las tareas científicas. La utilidad de este instrumento lingüístico es la siguiente: su empleo permite pasar, por la sola reflexión, de la aceptación de unos enunciados a la aceptación de otros. Con ello queda rebasado el ámbito del conocimiento inmediato y de algún modo ampliada nuestra información sobre el mundo.

La lógica es la ciencia que se dedica al cálculo de argumentos; es, como se afirma desde Aristóteles, la teoría del razonamiento. El ideal del que parte es que, si partimos de premisas que son verdaderas, y utilizamos reglas adecuadas para pasar de unos argumentos a otros, la conclusión que extraigamos será indudablemente verdadera. Una forma más sencilla de expresar esto es decir quede la verdad siempre se sigue la verdad. No ocurre lo mismo con la falsedad; en efecto, si nosotros partimos de unas premisas falsas, puede ocurrir que, independientemente de que el paso de unos argumentos a otros lo hagamos de modo correcto o incorrecto, arribemos a conclusiones que pueden ser bien verdaderas, bien falsas. Una manera más corta de expresar esto es decir que de la falsedad se sigue cualquier cosa.

1.1 Símbolos formales

Los símbolos de un lenguaje formal, realizado con vistas al cálculo lógico, se dividen enlógicos y no lógicos. Los primeros son las constantes lógicas. Los segundos son las letras referentes a enunciados, a predicados, y a individuos, divididas estas en variables y constantes.

Nuestro lenguaje lógico constará de los siguientes símbolos formales:

  1. Símbolos lógicos.

1. Juntores: Ø, Ù, Ú, ®, «

  1. Símbolos no lógicos.

2. Letras enunciativas: p, q, r, …, p1, q1, r1,…

3. Letras predicativas: P, Q, R, …, P1, Q1, R1,…

4. Letras individuales:

a. Variables: x, y, z, …

b. Constantes: a, b, c, …

5. Letras functoriales: f, g, h,…

  1. Símbolos auxiliares.

6. Paréntesis: (,)

1.1.1 Negador

El símbolo “Ø” recibe el nombre de negador, y puede ser considerado como la traducción al lenguaje formal de la partícula “no” del lenguaje ordinario. Al adosar el negador a una expresión enunciativa cualquiera, el resultado es la negación de esta: si un enunciado es verdadero, su negación es falsa; y si un enunciado es falso, su negación es verdadera. Sus condiciones de verdad se pueden resumir en una tabla del siguiente modo:

p

Øp

V

F

F

V

1.1.2 Producto lógico

El símbolo Ù recibe el nombre de conjuntor, y puede ser considerado como la versión formal de la partícula del lenguaje ordinario “y”.

La combinación de dos expresiones mediante el conjuntor es la conjunción de ellas, y se lee “p y q”. Una conjunción afirma la verdad de sus componentes. Es verdadera, pues, cuando sus dos componentes son verdaderos; cuando uno de ellos es falso, y por tanto, cuando los dos son falsos, la conjunción es falsa. Esto se representa, en una tabla, así:

p

q

p Ùq

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

1.1.3 Suma lógica

El símbolo Ú recibe el nombre de producto lógico, y se le puede considerar como la traducción al lenguaje formal, aunque sólo parcial e incompleta, de la partícula del lenguaje ordinario “o”. Su significado es el siguiente: la disyunción de dos proposiciones es verdadera cuando al menos una de esas dos proposiciones es verdadera; es falsa, en cambio, sólo cuando ambas son falsas. Su tabla de verdad es la siguiente:

p

q

p Ú q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

El significado del disyuntor coincide sólo parcialmente con el significado de la partícula “o” del lenguaje ordinario.

La partícula “o” en el lenguaje ordinario tiene dos sentidos: a) uno de ellos, llamado exclusivo, según el cual la disyunción establece que unos de sus miembros es verdadero y el otro falso, con lo que se excluye, por tanto, la posibilidad de una simultánea verdad de ambos. b) Otras veces, “o” no excluye la verdad simultánea de los miembros de una disyunción. Es decir, al combinar dos proposiciones mediante la referida partícula, se indica que una al menos de esas dos proposiciones es verdadera, pero no se dice nada con respecto de la otra, con lo cual no se excluye la posibilidad de que esa otra sea también verdadera. Este segundo uso se denomina inclusivo. Es este uso el que se utiliza en lógica.

1.1.4 Implicador

El símbolo ® recibe el nombre de implicador, y puede ser considerado como una formalización, aunque sólo parcial e incompleta, de la partícula del lenguaje ordinario “si…, entonces…”. La expresión que precede al implicador se denomina antecedente, y la que le sucede, consecuente. Su sentido es el siguiente: una implicación es verdadera siempre que no se dé el caso de que el antecedente es verdadero y el consecuente falso; y falsa cuando ese sea el caso. Su tabla de verdad es la siguiente:

p

q

p ® q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Un condicional es una afirmación tal que eso y eso -el consecuente– está condicionado a esto y esto -el antecedente– o, dicho de un modo más común,

eso y eso, si esto y esto

si esto y esto, eso y eso

si esto y esto entonces eso y eso

eso y eso, dado que esto y esto

Etc.

Por ejemplo:

El suelo está mojado si llueve.

Si llueve, el suelo está mojado.

Si llueve entonces el suelo está mojado.

El suelo está mojado, dado que llueve.

Es importante reconocer de un modo correcto la diferencia radical entre la afirmación condicional misma y la afirmación aislada del consecuente, la diferencia en nuestro ejemplo entre decir que el suelo está mojado si llueve y afirmar directamente que el suelo está mojado. Es fácil confundir estas dos afirmaciones, pero no reconocer la diferencia entre ellas es un error que puede conducirnos a un mal razonamiento.

La diferencia entre el antecedente de un condicional y su consecuente es también importante. Es cuestión de orden lógico – no es, como en las anteriores oraciones, una cuestión de orden lingüístico. La palabra “si” (o cualquier de sus sinónimos) introduce el antecedente, independientemente de que esté al principio o al final de la frase. El símbolo de la implicación, ‘®’, está colocado entre el antecedente, que va a la izquierda, y el consecuente, que va a la derecha. Usando las abreviaturas ‘r’ para “está lloviendo” y ‘w’ para “el suelo está mojado”, las cuatro oraciones anteriores se escriben simbólicamente como:

r ® w

Lo importante en una afirmación condicional es el uso que queramos darle. Si tenemos razones para creer que tal y tal (el antecedente, aquí “está lloviendo”), entonces tenemos razones para creer que cual y cual (el consecuente, aquí: “el suelo está mojado”); si suponemos que tal y tal, estamos autorizados a suponer que cual y cual. (Téngase en cuenta que estas afirmaciones son condicionales.) Hemos justificado el paso de tal y tal a cual y cual, del antecedente al consecuente.

Esta es la forma de hablar de la calle. Aunque el condicional de que estamos hablando no diga:

tal y tal, condicional de cual y cual

o

si cual y cual entonces tal y tal (si el suelo está mojado, está lloviendo)

esto no justifica el razonamiento en la dirección contraria, de tal y tal a cual y cual. Tomadas juntas, el par de afirmaciones:

Si tal y tal entonces cual y cual. (Si llueve el suelo está mojado)

Cual y cual. (El suelo está mojado)

no autoriza cualquier conclusión (distinta de la mera repetición de las afirmaciones ya hechas); no dice nada sobre si tal y tal (si está lloviendo). Esta asimetría del condicional es algo que tendremos que tener presente a lo largo de nuestro trabajo.

1.1.5 Coimplicador

El símbolo « recibe el nombre de coimplicador, y puede ser considerado como una formalización de las partículas “si y sólo si”, “cuando y solamente cuando” o “equivale”. Su sentido es el siguiente: una coimplicación es verdadera cuando sus dos componentes tienen el mismo valor de verdad; y falsa en caso contrario. Su tabla de verdad es la siguiente:

p

q

p « q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

1.2 Reglas básicas del cálculo de proposiciones

1.2.1 Reglas básicas de implicación
1.2.1.1 Regla de eliminación del implicador

MODUS PONENS: de una afirmación condicional, tomada junto con su antecedente, se sigue su consecuente como una conclusión.

Por tanto,

p®q

q

————-

q MP

donde p es cualquier afirmación, verdadera o falsa, simple o compuesta; q, igualmente, es cualquier afirmación, no necesariamente distinta de p; p ® q es el condicional: si p entonces q; significa ‘por tanto’; y la barra separa las premisas de la conclusión. La regla de Modus Ponens nos dice que, dada cualquier afirmación condicional (por ejemplo, p ® q) como una premisa y, como segunda premisa, el antecedente de tal condicional (p), es legítimo extraer como conclusión el consecuente de tal condicional (i.e., q).

La regla Modus Ponens ha sido expuesta aquí en castellano. La representación simbólica no es la regla o parte de ella; es un ejemplo, una ayuda que nos permite ver la estructura de la regla. La regla misma es dada por la representación en lengua castellana que precede a los símbolos.

Usaremos símbolos de dos clases: símbolos lógicos (llamados a veces “constantes lógicas”) para las diferentes conectivas, necesarios para eliminar la ambigüedad (la flecha en nuestro caso), y “variables”, letras que abrevian sentencias, o frases nominales o frases predicativas. Cuando construyamos afirmaciones (condicionales, por ejemplo), esto es, afirmaciones extraídas de otras afirmaciones por medio de conectivas lógicas, expresadas en símbolos”, las afirmaciones resultantes serán denominadas “fórmulas”.

El uso de estos símbolos nos permite brevedad y claridad de pensamiento, ayudándonos a dejar a un lado los detalles irrelevantes y a centrarnos en la estructura del razonamiento.

El uso de la regla Modus Ponens no tiene restricciones; es legítimo en cualquier caso, esto es, cualquier afirmación en cualquier contexto puede ponerse en lugar de ‘p‘ y ‘q‘. El uso correcto del Modus Ponens depende de la lectura correcta del condicional; ‘p ® q’ no debe confundirse con ‘q ® p’. La segunda premisa en este esquema de argumento debe ser exactamente el antecedente del condicional que estamos usando, y la conclusión debe ser exactamente el consecuente de tal condicional.

Veamos un ejemplo. Supongamos que estamos convencidos que si Jorge está en Madrid (h) Jorge está en Barcelona (c). Sabemos que Jorge está en Madrid, visitando a su hermana. Podemos concluir que Jorge está en Barcelona. El argumento que hemos usado es algo parecido a esto:

h ® c

h

——-

c

que es válido, de acuerdo con el principio de modus ponens.

Debe ser obvio, por otro lado, que es absurdo argüir del siguiente modo:

h ® c

c

———-

h

Esto es, si estamos convencidos de que si Jorge está en Madrid entonces está en Barcelona y sabemos que Jorge está en Barcelona, no tenemos razones para afirmar que Jorge está en Madrid. El segundo “argumento” es una instancia de la falacia de la afirmación del consecuente, que es la “falacia correspondiente” al modus ponens. (En el modus ponens afirmamos el antecedente como nuestra segunda premisa.) Hay ocasiones en que nos sentimos tentados a usar el segundo patrón de argumentación por el primero.

Otro aspecto sobre el significado del condicional. Tal y como usamos el condicional, ‘p ® q’, o ‘q, si p’, o ‘eso y eso, si esto y esto’ no nos dice por qué esto es así, lo único que nos dice es que ocurre. En el “mundo real”, cuando tenemos razones para creer un condicional, (ordinariamente al menos) tenemos razones para creer que hay una conexión de alguna clase entre el antecedente y el consecuente, como en los siguientes ejemplos:

Si María cruza la calle con el semáforo en rojo, María está en peligro (c ® d)

Si Luis está en la habituación, Luis está en la casa (k ® h)

Alicia se mojará si llueve (r ® h)

etc.

No obstante, el condicional no informa sobre estas conexiones; el condicional omite -en su forma abstracta- las razones que nos llevan a él. De este modo tenemos más seguridad en nuestro razonamiento. Podemos hacer diferentes consideraciones que aumenten nuestra confianza en que la conclusión se cumpla, pero esto no es necesario.

Al usar el modus ponens no estamos estableciendo una conexión causal entre el antecedente y el consecuente; dependemos solo del hecho (o suposición) de que, de un modo u otro, el consecuente viene dado por el antecedente. Y todo esto a pesar de que, tanto en filosofía como en la vida social, las razones que fundamentan una afirmación son más importantes o más interesantes que la afirmación misma. En el razonamiento deductivamente ordenado, los condicionales con los que trabajamos están desprovistos de un significado causal, o propositivo, o cualquier otro, limitándose simplemente a extraer afirmaciones.

1.2.1.2 Regla de introducción del implicador

Veamos ahora la segunda regla para el condicional, la regla de la prueba condicional. Al usar esta regla no usamos condicionales; los establecemos. Los establecemos en el contexto del trabajo científico, histórico, lógico o de cualquier otra disciplina.

Prueba condicional: el proceso de derivar una conclusión válida, de un modo correcto, de una premisa o conjunto de premisas justifica la afirmación del correspondiente condicional: si la(s) premisa(s), entonces la conclusión.

Esquemáticamente, donde p es una premisa y los puntos abrevian un conjunto de reglas de razonamiento.

Este patrón de argumento puede tener lugar aisladamente, o en el contexto de un argumento más complicado, donde también intervienen otras premisas. Lo que resulta de una correcta derivación de una conclusión (q) a partir de una premisa (p) es la conclusión resumen (p ® q), esto es, la afirmación condicional correspondiente a la derivación.

El ejemplo anterior muestra que el árbol vertical es una forma de abreviar una regla no especificada de razonamiento.

Además, ¿qué nos permite introducir la premisa (p)? Ante esta pregunta, podríamos argumentar ¿qué lo prohibe? Muchos sistemas, libros de textos, programas de ordenador, etc., usan algo denominado una “rule of premises” que nos dice que se puede introducir cualquier premisa, de cualquier clase, en cualquier parte de cualquier argumento. Esto es correcto, y es necesario afirmarlo explícitamente y usarlo a veces. Pero no es una regla. Además, podemos introducir, o suponer, cualesquiera premisas que deseemos; lo que es importante es que, una vez que las hemos introducido, estemos pendientes de ellas y veamos a dónde nos conducen.

El razonador ordenado es libre de hacer cualquier suposición, o coger cualquier premisa, en cualquier punto de su trabajo. No es cuestionable el “derecho” a coger una premisa, cualquier premisa, por mor del argumento; lo que debemos preguntarnos es si merece la pena. Y merecerá la pena si pretendemos establecer un condicional mediante el principio de prueba condicional. (Esto también tiene sentido para la prueba indirecta, o reductio ad absurdum, y para su uso en un dilema). Si, sobre la suposición de que tal y tal, hemos logrado probar que cual y cual, hemos establecido que si tal y tal, entonces cual y cual. Si, sobre la base de un conjunto de premisas, o alguna suposición de que tal y tal, logramos probar que cual y cual, hemos mostrado que, sobre la base de estas premisas, que ordinariamente no incluyen tal y tal, si tal y tal entonces cual y cual.

En cualquier parte de un razonamiento sistemático, un cierto número de premisas puede ser puesto en juego: tenemos ciertas premisas; estamos trabajando con ellas, intentamos descubrir adónde nos llevan. (Notacionalmente, debemos dejar claro qué premisas están en juego en cada paso de nuestras deducciones, indicando a la izquierda de cada paso su número, denotando cada premisa con una marca.) La regla de la prueba condicional es una regla de descarga de premisas.

Un trozo de razonamiento válido se mueve de la premisa p a la conclusión q; CP nos dice que este razonamiento garantiza la conclusión condicional p ® q. En consecuencia, p no es necesario (como una premisa); hemos visto adónde conduce y hemos resumido la información en el condicional ‘p ® q’. La premisa p no es usada; es descargada. La conclusión sigue siendo válida sin ella.

Recapitulando, y marcando cada paso en los argumentos en los que la premisa p está siendo usada:

No hay asterisco en la conclusión; la premisa p que fue introducida con la marca ha sido descargada.

1.2.2 Ley de identidad

REGLA DE IDENTIDAD: a lo largo de una deducción siempre es legítimo repetir una premisa que se haya usado, o un paso en la prueba que ya se haya usado.

Este uso de un paso en una prueba -con independencia de que sea una premisa o un paso derivado de una premisa- está legitimado si y sólo si el paso en cuestión está siendo usado (no ha sido descargado).

Usamos este principio para derivar lo que los griegos denominaron “ley de identidad” -una de sus tres “leyes del pensamiento”: identidad, no-contradicción, y tercero excluido-: el teorema ‘p ® p’.

Un teorema en lógica, como en geometría, es una afirmación segura, vistos los hechos. Es válido en cualquier caso, y no hay ningún conjunto de circunstancias en donde podamos ver que es falso. Su prueba no contiene premisas sin descargar. (Ocasionalmente, oímos a los lógicos decir que un teorema es una afirmación “demostrable sin premisas” -pero esto es una elipsis de “demostrable sin premisas que no hayan sido descargadas”. Es imposible encontrar una prueba sin un punto de partida para la misma).

La ausencia de asteriscos en la última línea de esta derivación marca a tal línea como un teorema: verdadero independientemente de cualquier premisa o suposición, establecido solamente sobre fundamentos lógicos. Ejemplos de la ley de identidad son:

Si llueve, llueve

que es verdadera tanto si llueve como si no.

Si a María le gustan las zanahorias, a María le gustan las zanahorias

que también es verdadera en cualquier circunstancia. Etc.

El principal punto de interés de la ley de identidad no es su utilidad, sino, la restricción explícita de su uso. Un paso en una prueba debe repetirse si y sólo si su premisa está siendo usada. La violación de esta restricción (la “falacia de la repetición ilícita”) puede llevarnos a una horrible confusión. Supongamos, por ejemplo, que hemos añadido una línea (paso 7 o paso 7′) a nuestra derivación:

¡Esto es un sinsentido! La conclusión extraída en los pasos 7 o 7′ a partir de nuestras premisas (1 y 2) es equivalente a la que se sigue de 1, 2 y 3. Después del paso 6, donde la premisa 3 es descargada y el asterisco asociado con la premisa 3 eliminado, los pasos 3, 4 y 5 ya no están disponibles, ni para volver a afirmarlos ni para ninguna otra cosa.

1.2.3 Reglas básicas de conjunción
1.2.3.1 Regla de introducción del conjuntor

PRODucto: de cualesquiera dos afirmaciones usadas en cualquier parte en una deducción, su conjunción se sigue como una conclusión.

Simbólicamente,

La primera advertencia que hay que hacer es que las afirmaciones unidas en una disyunción deben estar “disponibles” cuando son conjuntadas; esto es, si son premisas, deben estar siendo usadas, y, si no son premisas, sus premisas deben estar siendo usadas (véase más arriba la restricción de la regla IDENTIDAD).

En segundo lugar, la conjunción debe construirse correctamente. “O María y Luis están interesados en la música o la soportan” no es la conjunción de “María está interesada en la música o la soporta” y “Luis está interesado en la música o la soporta”, ni es la conjunción de “María está interesada en la música” y “Luis está interesado en la música o la soporta”; no es la conjunción de ninguna de ellas. Hay muchas sentencias que contienen “y” que no son conjunciones.

Una afirmación está disponible, para su repetición o para cualquier otro uso (en este caso, producto) si el paso en que va y el paso citado, o no son suposiciones, o la suposición no ha sido cerrada. La siguiente deducción es, según esto, falaz:

1.2.3.2 Regla de eliminación del conjuntor

SIMPlificación: Un componente conyuntivo de una conjunción se sigue de la conjunción.

Si yo se que a María le gustan las zanahorias y que a Luis le gustan los guisantes, puede asegurar que a Luis le gustan los guisantes; del mismo modo, puedo asegurar que a María le gustan las zanahorias.

Simbólicamente,

Cualquier componente conyuntivo de una conjunción se sigue de la conjunción misma. Esto es, creo, intuitivamente claro. Pero el lenguaje se desarrolla secuencialmente, bien en el tiempo, o bien en una página escrita (de izquierda a derecha, de arriba abajo, etc.) y esto no está de acuerdo con la radical simetría (o direccionalidad) de la conectiva “y”, que simbolizamos por ‘Ù’. Sabemos, por supuesto, que si pronuncio cualquiera de las siguientes frases

A María le gustan las zanahorias, y a Luis los guisantes.

Emilio es pobre, pero honesto.

La nieve es blanca, y la hierba verde.

no importa cuál de las sentencias de cada uno de los pares menciono primero. Pero debo mencionar una primero; no puedo decirlas simultáneamente o escribirlas unas encima de otras y hacerme entender.

Así, nosotros entenderemos que la ley de simplificación nos permite derivar de una conjunción cualquiera de sus componentes conyuntivos, independientemente del orden en que sean presentados, sobre la base de que el orden de presentación no es importante.

Pero, se podría objetar, hay muchas sentencias en donde el orden de presentación es importante. “María ve a Luis y sale de casa” parece que dice algo bastante distinto a “María sale de casa y ve a Luis”. Ambas sentencias pueden, por supuesto, interpretarse a nuestra conveniencia, en vez de como una simple conjunción, y seguramente así serían interpretadas si apareciesen en una novela. (Quizás María tiene miedo de Luis o, por otra parte, está ansiosa de estar con él; quizás Luis está escondido detrás del granero, etc.) Para nuestros propósitos, no obstante, tales diferencias no son importantes. La conectiva lógica ‘y’, o ‘Ù’, igual que ‘®’, hace abstracción de las conexiones, causales o de otro tipo, entre las afirmaciones que une. De cualquiera de nuestras dos sentencias podemos derivas “María ve a Luis” por simplificación; también, “María sale de la casa”. Y cualquiera de ellas será verdadera si María hace ambas cosas, independientemente del orden, por cualesquiera razones.

1.2.4 Reglas básicas de disyunción
1.2.4.1 Regla de introducción del disyuntor

Dada una fórmula cualquiera, A, es lícito en el cálculo pasar a una fórmula nueva por el procedimiento de adicionarle mediante disyuntor el miembro que nos plazca, B (el cual puede ser cualquiera, incluso otra vez A, o también la negación de A).

El fundamento intuitivo de esta regla es el siguiente: supóngase que A es verdadera; entonces nada se pierde con añadirle mediante disyuntor otra fórmula B, cualquiera que ésta sea, porque la disyunción obtenida será también una fórmula verdadera. Y si A fuera falsa, entonces tampoco se perdería nada con la adición de B, cualquiera que fuese su valor de verdad. A esta regla la denominaremos Ad o adición. Esquemáticamente:

1.2.4.2 Regla de eliminación del disyuntor

Su sentido es el siguiente: supuesta inicialmente una disyunción, entonces no se está en principio autorizado a pasar a la afirmación de alguno de sus extremos en particular. Lo que en principio se infiere de la noticia de la verdad de una disyunción es, que uno al menos de sus componentes, no se sabe cuál, es verdadero. Para determinar cuál sea el que efectivamente cumple tal condición o si ambos la cumplen se requiere nueva información.

Sin embargo, aun cuando no se pueda pasar lógicamente de la verdad de una disyunción a la verdad de ninguno de sus extremos en particular, cabe apelar a un recurso que consiste en suponer cada uno de esos extremos con carácter provisional o subsidiario y por separado. Si del análisis de cada una de esas dos suposiciones se obtuviese un mismo resultado, ello querría decir que tal resultado se sigue lógicamente de la disyunción inicial, aunque continuemos careciendo de información precisa acerca de cuál sea el componente de ésta que cumpla la condición de ser verdadero. Y como la conclusión así obtenida es independiente de esa información, los supuestos subsidiarios al efecto pueden ser cancelados.

Este razonamiento se apoya en un conocido método de prueba informal: la prueba por casos, cuya marcha puede resumirse así:

Dada una disyunción: A Ú B

Supóngase A: entonces se sigue C

Supóngase B: entonces se sigue c.

Por consiguiente, se sigue C

El esquema de esta regla es el siguiente:

Los supuestos son subsidiarios y deben ser cancelados, por consiguiente, antes del establecimiento de la conclusión. A esta prueba se la denominará Cas o prueba por casos.

1.2.5 Reglas básicas de la negación
1.2.5.1 Introducción de negador

Se basa en la idea central del cálculo de que una contradicción es inadmisible; toda proposición que dé lugar a ella debe ser negada. La denominaremos Abs o absurdo. Esquemáticamente:

1.2.5.2 Eliminación de negador

Se basa en el dato de que negar doblemente algo es tanto como afirmarlo. La denominaremos DN o doble negación. Esquemáticamente:

1.2.6 La regla TEOREMA

TEOREMA. Cualquier instancia de un teorema, una declaración que ha sido establecida sobre fundamentos lógicos, puede introducirse como un paso una prueba en cualquier punto de una deducción.

Ya hemos visto un cierto número de teoremas, entre ellos p ® q, p ® ¬¬p, p ® (q ® p), ¬p ® (p ® q), (p Ù ¬ p) ® q. Ciertamente sería estúpido intentar probar estos teoremas una vez y otra cuando queramos usarlos, o intentar probar sus ejemplificaciones, como por ejemplo, (r Ú s) ® (r Ú s) o (a Ù b) ® ¬¬(a Ù b). Podemos ahorrarnos este trabajo innecesario recordando los resultados del trabajo ya hecho; citamos un teorema como un atajo en una deducción.

La regla TEOREMA nos autoriza a usar cualquier teorema, una vez demostrado, y nos indica como debe hacerse esto. Introducimos una instancia de un teorema como un paso en una prueba, bien al principio de la deducción o en cualquier momento que lo necesitemos. Si lo introducimos al principio, no necesita asteriscos; en cualquier otro punto llevará los asteriscos adecuados a la posición que ocupa (no se añaden asteriscos).

Los teoremas de la lógica proposicional y sus instancias son ordinariamente denominados “tautologías”. Una afirmación es “tautológica”, o una tautología, si puede demostrarse que es verdadera, independientemente de los hechos, mediante los métodos de la lógica proposicional.

Hagamos un inciso para discutir lo que entendemos por una “instancia” de un teorema. Hemos usado la noción de instanciación, o derivación de instancias, informalmente principalmente en conexión con el uso de reglas. ‘p ® q’ es una instancia de una afirmación condicional. Así ‘Si llueve, uso mi paraguas’ y ‘Uso paraguas si llueve o nieva’ y ‘(p Ú q) ® (q Ú p)’, etc.; son todas instancias de ‘p ® q’. El Modus Ponens nos dice que de cualquier afirmación condicional, tomada junto con su antecedente, se sigue su consecuente, esto es, que q puede derivarse de p ® q junto con p, en lugar de p y q podemos poner cualesquiera afirmaciones, sin que importe de que tratan, cuál es su complejidad, o si son diferentes o similares. Todo principio de inferencia afirma que todos los argumentos que todos los argumentos que son sus instancias son válidos. Estos principios de inferencia, en otras palabras, hacen afirmaciones generales.

También los teoremas hacen afirmaciones generales. Puesto que previamente ya se ha demostrado que todo teorema es válido, puede suministrarse una prueba similar de validez para cada instancia de él. Sustituimos por las variables de la formulación original las variables relevantes o afirmaciones que aparecen en la instancia actual y la prueba se realiza del mismo modo que antes. Esto puede hacerse siempre que el ejemplo haya sido construido correctamente, esto es, siempre que el teorema original, digamos p o q, sea un ejemplo de sustitución de p y q.

La sustitución uniforme es una garantía de que los ejemplos se construyen correctamente. Cuando una variable está repetida en el original su sustituto debe repetirse en la ejemplificación, de modo que todo lo que aparece en el original y en la ejemplificación sea lo mismo – en otro caso habremos “cambiado el tema” ilícitamente. Por ejemplo, es un error pensar que ‘p ® (p Ú q)’ es una instancia de ‘p ® p’, aunque ambos sean teoremas, porque en ‘p ® (p Ú q)’ el antecedente y el consecuente no son iguales. Cualquier prueba de ‘p ® (p Ú q)’ debe ser bastante diferente de la prueba de ‘p ® p’. En cambio, ‘(p Ú q) ® (p Ú q)’ sí que es una instancia de ‘p ® p’; ‘p Ú q’ ha sido uniformemente sustituido por ‘p’ tanto en el antecedente como en el consecuente. Las pruebas para los dos teoremas deben ser idénticas, como puede verificar el lector. En la argumentación ordinaria, cuando usemos una regla o afirmación general, usamos ejemplificaciones intuitivamente y, la mayor parte de las veces, correctamente. No obstante es importante realizar esto con cuidado. Como hemos visto, ‘p ® p’ es una instancia de ‘p ® q’, pero ‘p ® q’ no es una instancia de ‘p ® p’. ‘(p Ù q) ® r’ es una instancia de ‘(q Ù p) ® s’, y viceversa. ‘(p Ù q) ® p’ es una instancia de ‘p ® q’, pero no de ‘p Ù q’. Etc. Mediante la práctica aprendemos a hacer este tipo de sustituciones de un modo fiable.

1.3 Reglas derivadas del cálculo de proposiciones

Las ocho reglas anteriores son por sí solas suficientes para resolver todo problema de deducción formal que se presente dentro de la lógica de proposiciones. En la práctica, sin embargo, la resolución de argumentos con la exclusiva ayuda de estas reglas resulta demasiado lenta. Es conveniente, por ello, utilizar reglas derivadas, las cuales no son otra cosa que “combinaciones de aplicaciones de reglas básicas”

1.3.1 Reglas derivadas de implicación

Silogismo (Sil)

A ® B

B ®> C

A ® C

Mutación (Mut)

A ® (B ® C)

B ® (A ® C)

Id

A

A

Cpr

A

B ® A

1.3.2 Reglas derivadas de conjunción y disyunción
1.3.2.1 Propiedad conmutativa

CC A Ù B

B Ù A

CD A Ú B

BÚ A

1.3.2.2 Propiedad asociativa

AC (AÙ B)Ù C

AÙ(BÙC)

AD (AÚB)ÚC

AÚ(BÚC)

1.3.2.3 Propiedad distributiva

DC AÙ(BÚC)

(AÙB)Ú(AÙC)

DD A Ú (B Ù C)

(AÚB)Ù(AÚC)

1.3.2.4 Propiedad de idempotencia

IdC AÙA

A

IdD A Ú A

A

1.3.2.5 Ley de absorción

AbsC A Ù(AÚB)

A

AbsD AÚ(AÙB)

A

1.3.3 Reglas derivadas de negación
1.3.3.1 Contraposición y “modus tollens

Cp A ® B

ØB ® ØA

MT A ® B

ØB

Ø A

1.3.3.2 Introducción de doble negador y “ex contradictione quodlibet”

IDN A

ØØA

ECQ AÙØA

B

1.3.3.3 Principios de no contradicción y de tercero excluido

PNC Ø(AÙØA)

PTE AÚØA

1.3.4 Reglas adicionales de conjunción y disyunción
1.3.4.1 Leyes de importación y exportación

Imp A®(B®C)

AÙB®C

Exp AÙB®C

A®(B®C)

1.3.4.2 Silogismo disyuntivo

SD1 AÚB

ØB

A

SD2 AÚB

ØA

B

1.3.4.3 Dilemas

Dil1 AÚB

A®C

B®C

C

Dil2 ØAÚØB

C®A

C®B

ØC

Dil3 AÚB

A®C

B®D

CÚD

Dil4 ØA ÚØB

C®A

D®B

CÚØD

1.3.5 Reglas de coimplicación

ICO A®B

B®A

A«B

ECO1 A«B

A®B

ECO2 A«B

B®A

1.3.5.1 Consecuencias de la definición de coimplicador

A«B

A

B

A«B

B

A

1.3.5.2 Propiedades del coimplicador

Reflexividad

A«A

Simetría

A«B

B«A

Transitividad

A«B

B«C

A«C

1.3.6 Intercambio

La regla de intercambio es una regla que permite operar directamente sobre subfórmulas sin necesidad de sacarlas primero de ese contexto en el curso de la deducción.

Sean A y B dos fórmulas cualesquiera del cálculo. Sea C otra fórmula que contiene por lo menos una ocurrencia de A como subfórmula; especificaremos esto escribiendo CA, es decir: la fórmula C, en la que se destaca provisionalmente una determinada ocurrencia de una determinada subfórmula A. Sea CB el resultado de cambiar en C la referida ocurrencia de A por b.

A esta operación se le da el nombre de intercambio. A la fórmula C la llamaremos fórmula inicial; a las fórmulas A y B, subfórmulas intercambiadas, o más específicamente, subfórmula reemplazada a la primera y subfórmula reemplazante a la segunda; a la fórmula CB la llamaremos fórmula final.

La regla de intercambio se puede formular así: dadas dos fórmulas equivalente A y B, y dada una tercera fórmula C que contiene como subfórmula la ocurrencia de una de ellas, puede cambiarse en C dicha ocurrencia de esa subfórmula por la ocurrencia de su equivalente. En forma abreviada: A«B, CA CB. Esta regla permite cambiar una fórmula por su equivalente dentro del contexto de cualquier premisa y sin necesidad de descomponer primero a esa premisa. La validez de esta regla depende de la demostración del teorema de intercambio.

Teorema de intercambio. Lo demostraremos por inducción matemática.

Este teorema consta de una hipótesis: A « B y de una tesis: CA « CB.

Base. G(CA) =0. Esto quiere decir que CA es atómica. Pero entonces CA es A y A es B, y por tanto, CA « CB.

Paso. Se supone que para cualquier grado n de CA, CA « CB. Y se ha de probar que para una fórmula D de grado lógico n+1 y tal que englobase inmediatamente a CA, valiese el intercambio: si CA se cambia por CB en el seno de D, el resultado D+ será tal que D « D+.

La fórmula D ha de tener forzosamente la estructura: (1) de una negación, y entonces D ØCA; (2) de una conjunción, y entonces D A Ù E; (3) de una disyunción, y entonces D CA Ú E; o de (4) una implicación, y entonces o bien (4.1) D CA ® E, o bien (4.2) D E ® CA.

Caso (1): D ØCA. Hay que demostrar ØCA«ØCB.

1 CA « CB hipótesis de la inducción

2 CB ® CA ECO21

3 ØCA ® Ø CB Cp2

4 CA ® CB ECO11

5 ØCB ® Ø CA Cp4

6 Ø CA «ØCB ICO4,5

Caso (2): D CA Ù E. Hay que demostrar CA Ù E « CB Ù E.

– 1 CA Ù E

2 CA Simp11

3 CA « CB Hip. induc.

4 CB ECO33

5 E Simp21

6 CB Ù E Prod 4,5

– 7 CB Ù E

8 CB Simp17

9 CA«CB Hip. induc.

10 CA ECO49

11 E Simp27

12 CA Ù E Prod 10,11

Caso (3): D CA Ú E. Hay que demostrar CA Ú E « CB Ú E.

1 CA Ú E

2 CA « CB Hip. induc.

3 CA®CB ECO12

4 CA

5 CB MP3,4

6 CBÚE Ad15

7 E

8 CB Ú E Ad27

9 CBÚE Cas,1,4-6,7-8

10 CBÚ

11 CA«CB Hip. induc.

12 CB®CA ECO211

13 CB

14 CA MP 12,13

15 CAÚE Ad114

16 E

17 CAÚE Ad216

18 CAÚE Cas 10,13-15,

16-17

Caso (4.1) DCA®E. Hay que demostrar (CA®E)«(CB®E).

– 1 CA®E

2 CA«CB Hip. induc.

3 CB®CA ECO22

4 CB®E Sil 3,1

– 5 CB®E

6 CA«CB Hip. induc.

7 CA ® CB ECO16

8 CA®E Sil 7,5

Caso (4.2): DE®CA. Hay que demostrar (E®CA)«(E®CB).

– 1 E®CA

2 CA«CB Hip. induc.

3 CA®CB ECO12

4 E®CB Sil 1,3

– 5 E®CB

6 CA«CB Hip. induc.

7 CB®CA ECO26

8 E®CA Sil 5,7

1.3.7 Leyes de interdefinición
1.3.7.1 Definiciones de ®

DI1 A®B

Ø(AÙØB)

DI2 A®B

ØAÚB

1.3.7.2 Definiciones de Ù, Ú

DfC1 AÙB

Ø(AÙØB)

DfC2 AÙB

Ø(ØAÚØB)

DfD1 AÚB

ØA®B

DfD2 AÚB

Ø(ØAÙØB)

1.3.8 Leyes de De Morgan

DM1 Ø(AÙB)

ØAÚØB

DM2 Ø(AÚB)

ØAÙØB

2. CALCULO DE PREDICADOS

Los enunciados compuestos o moleculares hasta ahora definidos se han basado en la combinación de enunciados preexistentes mediante el empleo de juntores. Así, el enunciado compuesto “lloverá o no lloverá” es el resultado de combinar mediante la partícula “o” el enunciado atómico “lloverá”.

Un tipo distinto de enunciados compuestos son los que se basan en el empleo de las partículas todo y alguno. Las proposiciones que se fundan en el empleo de la partícula “todo” se denominan universales, y las que se fundan en la partícula “alguno” se denominan particulares.

La introducción de estos elementos es debido a que hay argumentos que no pueden ser resueltos con la sola ayuda de la lógica de proposiciones. Un ejemplo de un argumento de este tipo podría ser:

Todo griego es europeo. (p)
Todo ateniense es griego. (q)
Por tanto, todo ateniense es europeo. (r)

Este argumento es concluyente, porque la verdad de sus premisas es incompatible con la falsedad de su conclusión. Sin embargo, no hay ninguna ley en lógica de juntores que permita concluir r partiendo de p y q. Ello es debido a que en este argumento se utiliza la palabra todo que, junto con la palabra alguno, rebasa el ámbito de la lógica de proposiciones.

La parte de la lógica que se ocupa del uso de la partícula “todo” o “alguno” es la lógica cuantificacional o lógica de predicados.

Las operaciones del cálculo de proposiciones se reducen a:

  1. abrir las fórmulas cerradas por cuantificadores, suprimiendo o desmontando provisionalmente a éstos;
  2. aplicar las técnicas de lógica de proposiciones a las fórmulas resultantes, y
  3. restituir o reponer al término de las operaciones los cuantificadores que se habían suprimido.<

2.1 Símbolos formales

En el cálculo de predicados utilizaremos los mismos símbolos que en el cálculo de proposiciones con la adición de los dos símbolos siguientes:

Generalizador: “

Particularizador: $

2.1.1 Generalizador

Considérese un conjunto cualquiera de objetos, por ejemplo, el integrado por los planetas del sistema solar. Considérese asimismo una nota que pueda predicarse con verdad o falsedad de los miembros de dicho conjunto, por ejemplo, la de “girar en torno al sol”.

La expresión “x gira en torno al Sol” no es, propiamente hablando, una proposición, sino una función proposicional, es decir, una expresión “abierta” que contiene una variable individual “x” cuyo rango o universo de discurso es el conjunto que se acaba de fijar.

Sustituyendo esa variable por el nombre de uno de los miembros del universo de discurso de la misma, por ejemplo “Júpiter”, la citada función proposicional queda “cerrada” y pasa a convertirse en proposición: “Júpiter gira en torno al Sol”. Pero, por lo que se refiere a nuestro ejemplo, cualquier otro individuo del mismo universo de discurso podría ocupar el lugar de “x” con idéntico resultado. Ello puede expresarse en lenguaje ordinario con la proposición: “Todos giran en torno al Sol”. Esta proposición podría expresarse de un modo más formal así: “para todo x(x gira en torno al Sol)”, teniendo en cuenta que “x” es una variable cuyo rango o universo de discurso es el conjunto fijado. Una formalización más completa de la misma proposición se obtendría representado el predicado “girar en torno al Sol” por la letra predicativa “P” y buscando un símbolo especial para la partícula “todo” (). El resultado sería: “x(Px).

El símbolo “”” recibe el nombre de generalizador o cuantificador universal, e indica – sea verdadera, sea falsamente – que la expresión que le sigue es válida para todos los valores de la variable “x”.

2.1.2 Particularizador

La partícula “alguno” se simboliza por “$”, y recibe el nombre de particularizador o cuantificador existencial. “$xPx” indica, verdadera o falsamente, que al sustituir “x” en “Px” por algún valor de x, resulta una proposición que es válida para, al menos, un caso.

2.2 Reglas del cálculo de predicados

2.2.1 Regla de eliminación de generalizador

Esta regla permite inferir de una generalización el resultado de suprimir el cuantificador cerrando convenientemente la matriz mediante la oportuna introducción de una constante individual.

En el uso ordinario del discurso se considera legítimo pasar por inferencia de la ley general al caso concreto, de todos en general, a éste en particular. La regla de la eliminación de generalizador se formula así:

EG
“xPx
Pa

Esta regla viene a ser como una extensión o generalización de la regla de eliminación de conjuntor; y, en efecto, no podría ser de otro modo, pues el cuantificador universal es, simplemente, una unión de conjunciones

2.2.2 Regla de introducción de generalizador

Esta regla corresponde al uso ordinario de un principio intuitivo: “lo que vale para un caso cualquiera, vale para todo caso”. Dicho principio permite establecer una inferencia que va de cualquiera a todo, es decir, del caso a la ley.

El paso inferencial de una nota respecto de un individuo cualquiera a la atribución de la misma a todo individuo en general, estará justificado siempre que el individuo que sirva de base a la generalización sea un individuo absolutamente cualquiera, esto es, que se encuentre libre de toda condición o privilegio. Sólo teniendo la seguridad de haber elegido ese individuo, y después de probar que posee la propiedad deseada, se puede concluir la generalización.

Así, será lícito pasar de una predicación Pa a la generalización de la misma, pero después de asegurarse de que el individuo elegido, el parámetro individual “a” del caso, no figura en ningún supuesto o hipótesis sin cancelar de la que dependa la predicación Pa. La regla es la siguiente:

IG Pa
“xPx

La condición crítica a que se sujeta esta regla es la siguiente: que el parámetro propio de la generalización no figure en ningún supuesto no cancelado del que dependa Pa.

Ilustremos esto con dos ejemplos. El primero de ellos constituye una aplicación correcta de la introducción del generalizador, mientras que el segundo es una aplicación incorrecta.

Ejemplo 1: o todos son negros o todos son amarillos; por tanto, todos son o negros o amarillos.

Este argumento, puesto en lenguaje formal, queda de la siguiente manera:

“xPx Ú”xQx, por tanto, “x(Px Ú Qx)

Demostración:

La regla IG se aplica a la línea 8 (resultado de una prueba por caos que es ya independiente de supuestos subsidiarios) para construir la línea 9, lo cual es correcto.

Ejemplo2: Todos son o negros o amarillos; por tanto, o todos son negros o todos son amarillos.

Este argumento, en lenguaje formal, quedaría:

“x(Px Ú Qx), por tanto “xPx Ú “xQx

Demostración:

La posibilidad de aplicar la regla IG a la línea 3 para construir la línea 4 queda frustrada por el hecho de que la línea 3 no está exenta de supuestos, ya que ella misma es una suposición. La condición crítica de la regla impide, pues, su aplicación en tal caso.

2.2.3 Introducción de particularizador

Esta regla tiene por base un modo de inferencia del discurso intuitivo que permite pasar de la atribución de una nota a un individuo a la afirmación de que existen sujetos (cuando menos uno) que poseen esa nota. La regla es como sigue:

IP Pa

$xPx

que se puede parafrasear diciendo: dada una fórmula de estructura predicativa con un parámetro a, se puede admitir en el cálculo una nueva fórmula que proceda de ella cambiando el referido parámetro por una variable individual y anteponiendo al resultado de este cambio el correspondiente prefijo de cuantificación particular

2.2.4 Eliminación de particularizador

Se basa en una inferencia del discurso intuitivo que consiste en pasar de la existencia de un individuo en principio no identificado a las consecuencias que se siguen de imaginar su identificación. Si se sabe que hay algún individuo tal que posee una determinada propiedad, entonces, aun sin saber exactamente cuál sea ese individuo, se puede pasar al establecimiento de las consecuencias que se siguen del supuesto de su identificación.

Semejante inferencia sólo puede ofrecer garantía de corrección bajo ciertas restricciones. El individuo imaginariamente elegido no puede ser un individuo absolutamente cualquiera (puesto que el dato inicial: alguno, no es extensible a todos), sino uno tal que posea la propiedad en cuestión. Ahora bien, el requisito impuesto al individuo imaginado de que sea tal que satisfaga esa propiedad, arrastra como consecuencia la restricción de que ese individuo no haya sido mencionado antes en ninguna hipótesis, es decir, que no haya intervenido antes en la prueba soportando alguna otra condición.

Estas restricciones se pueden formular así:

1. el símbolo individual o parámetro propio, elegido para la instanciación, no debe aparecer en la premisa existencial de que se parte

2. la línea terminal o conclusión no debe contener tampoco ese símbolo individual, ni depender de ningún supuesto sin descargar que lo contenga. Es decir, el supuesto imaginario debe ser cancelado

El esquema de la regla es el siguiente:

Condición de la regla: el parámetro propio a no debe ocurrir en $xPx, ni tampoco en A, ni en ninguna hipótesis previa no descargada

2.2.5 Intercambio cuantificacional

Según esta regla, toda fórmula o subfórmula puede ser reemplazada, cualquiera que sea el contexto que la envuelva, por su equivalente.

Siendo A, B y C fórmulas cualesquiera, y siendo CA una fórmula que contiene una o más veces a la primera, y CB el resultado de cambiar en esta última una o más ocurrencias de A por una o más ocurrencias de B, la formulación de la regla de intercambio sería:

Para probar el teorema de intercambio del cálculo de predicados hay que añadir, a los casos probados para el cálculo de proposiciones otros dos casos.

2.2.6 Definición del particularizador

DP $xPx

ØØ”xØPx

2.2.7 Definición del generalizador

DG “Px

$ØxØPx

2.2.8 Negación del generalizador

NG “ØxPx

$xØPx

2.2.9 Negación del particularizador

NP $ØxPx

“xØPx

3. La lógica de clases

La lógica de clases es la lógica de predicados monádicos; fue la primera en alcanzar su desarrollo, por obra de Boole y de Morgan. Estos autores pensaban que la lógica clásica podía interpretarse en términos de clases y de relaciones entre las clases. La lógica de clases ofrecía la posibilidad de formalizar en cierto grado la lógica aristotélica, que estaba escasamente formalizadea.

Hoy la lógica de clases es posterior a la lógica de enunciados o lógica proposicional. La razón es que decir que dos clases que se encuentran relacionadas en cierta manera es ya enunciar una proposición: en consecuencia, un cálculo desarrollado de clases supone nociones del cálculo de proposiciones.

La lógica de clases supone una extensión de la lógica a campos que la lógica proposicional no podía abarcar. La razón de esta limitación de la lógica proposicional es clara: por principio, la lógica proposicional considera no analizables las proposiciones simples o monádicas. Se limita, en consecuencia, a estudiar la estructura lógica de las proposiciones compuestas o moléculares; es decir, a estudiar el como cómo las proposiciones simples son encuadradas en proposiciones complejas por medio de las conectivas fundamentales, y las consecuencias que este encuadramiento de las proposiciones puede traer consigo con vistas a la argumentación y a la deducción. Esta limitación de principio tiene como consecuencia que argumentos que son evidentemente válidos desde el punto de vista lógico formal sin, sin embargo, inexplicables por los métodos de la lógica proposicional. Entre estos argumentos se encuentran los argumentos de la lógica tradicional como, por ejemplo: “Todos los equipos de fútbol tienen once jugadores. El R. Madrid es un equipo de fútbol. Luego, el R. Madrid tiene once jugadores”. Este argumento es claramente válido. Pero es imposible dar razón de su validez desde la lógica proposicional. Desde el punto de vista de esta lógica no tenemos aquí mas que tres proposiciones simples distintas, entre las que no es posible establecer ninguna relación. Y es que en este tipo de argumento desempeña un papel fundamental la estructura interna de la proposición, estructura que la lógica proposicional, por principio, renuncia a estudiar.

La lógica de clases evita esta limitación entrando en el análisis de la estructura interna de la proposición. Por ello supone una cierta ampliación del campo de la lógica proposicional.

3.1 La noción de “clase”

Se entiende por “clase” una agrupación de individuos de cualquier tipo que tienen en común una propiedad, por la cual se les identifica como miembros de ella. La clase “letras de esta página” es el conjunto de los signos escritos en este folio y que tienen la propiedad de ser letras. Así, los términos “clase” y “propiedad” están estrechamente relacionados: a toda propiedad le corresponde una clase, y a toda clase le corresponde, al menos, una propiedad; una propiedad delimita o define una clase.

Las propiedades, en sí mismas, son una parte de la realidad. El ser azul es una característica física de la luz que ilumina esta mesa. Bajo esta perspectiva real, no es objeto de la lógica, pues ésta no investiga lo que es el color. Pero esa propiedad de la luz es simbolizada en nuestro pensamiento en predicados de las cosas. Y en cuanto predicados las propiedades de la luz sí interesan a la lógica.

En cuanto a la relación de la noción de predicado con la de proposición, aquel es una parte de ésta (desde el punto de vista lógico). Gramaticalmente suelo tomar la forma de un nombre común, o de un adjetivo. Pero también podemos tratar como predicados a los verbos; así, en “todos los opositores estudian los temas de la oposición” podemos considerar a “estudian los temas de la oposición” como un predicado. En todo caso, el predicado no es una proposición; carece de la característica esencial de las proposiciones: la de ser verdaderas o falsas. Según esto, consideramos una clase como el conjunto de aquellos objetos a los que se atribuye con verdad un predicado.

La noción de clase se corresponde con la de denotación de un término (o predicado). Lo que interesa a la lógica no es lo que un predicado connota, es decir, su significado, sino lo que un predicado denota, es decir, el conjunto de objetos de los que puede predicarse con verdad. Ello equivale a decir que en la lógica de clases se emplean los predicados extensionalmente (“extensión” de un término es lo mismo que “denotación”, mientras que “intención” es lo mismo que “connotación”).

4. Métodos de prueba

Razonar es algo que todos hacemos. Tenemos una pieza de información, o varias, elegimos esta u otra, y nos movemos de esta (premisas) a otra -usualmente más concisa que aquella de la que partimos, o más clara, o que se ajusta mejor a nuestros propósitos- que pensamos se sigue de ella. Nos movemos (en la mente) de premisas a conclusiones. Este procedimiento, que es el modo principal en que se usa la lógica de primer orden, es válido para asegurarnos que las conclusiones a las que llegamos no son menos ciertas que las premisas de las que partimos.

El razonamiento puede tener lugar en dos clases de contexto. Argüimos hipotéticamente cuando no estamos seguros de nuestras premisas, pero queremos ver a dónde nos llevan: para verificar una hipótesis en ciencia, para investigar el resultado de un posible curso de acción, o, a veces, para practicar y para jugar. Por otra parte, el razonamiento será válido para nosotros sólo si las conexiones establecidas son fuertes, si las conclusiones extraídas se siguen de las premisas.

Razonamos indirectamente cuando queremos refutar algo que suponemos falso. Consideramos, o “suponemos”, algo cuestionable “por mor del argumento” e intentamos mostrar que de ello se siguen conclusiones inaceptables. Estas conclusiones son inferencialmente inaceptables, bien porque son autocontradictorias, bien porque crean conflictos con afirmaciones generalmente aceptadas por nosotros o nuestros interlocutores -aquellos con quienes estamos argumentando- y producen una contradicción en el contexto. Tal razonamiento sirve para desacreditar el punto de vista del que la contradicción ha sido derivada. Sin embargo, el argumento es válido para nosotros -alcanza su objetivo- sólo si la conclusión alcanzada está de alguna manera ligada con las premisas de partida, si el razonamiento es hermético e intelectualmente conservador, esto es, si no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

¿Cómo podemos garantizar esta clase de conservación? No puede ser garantizada; puesto que somos humanos, solo podemos alcanzar lo mejor relativamente a nosotros. Pero, más importante aún, indiquemos que, después de todo, tal conservación no es siempre deseable. En ciencia, en ingeniería, en la vida diaria, hacemos conjeturas que nos llevan de premisas razonablemente seguras a conclusiones que pueden ser falsas, incluso aunque las premisas sean verdaderas. Este proceso “inductivo” -razonamiento acorde con la lógica de la probabilidad- debe ser también sometido a reglas -pero reglas distintas a las que aquí vamos a estudiar. El punto que quiero resaltar es que, cuando nos movemos no deductivamente de premisas a conclusiones que pueden ser falsas, incluso cuando las premisas son verdaderas, debemos ser conscientes de lo que hacemos. Estamos asumiendo riesgos. Y los riesgos debe acometerse sólo para ciertos propósitos y con garantías.

La lógica deductiva de primer orden no es una lógica que admita riesgos. Es la lógica de la seguridad, de la conservación. También puede ser usada en la lógica de la inducción y la probabilidad, en parte porque ayuda al investigador a ver los riesgos que asume.

Concedido, entonces, que queremos restringir nuestro razonamiento a aquello que pretende ser seguro, conservador – ¿por qué centrarnos en las reglas?

Un argumento, el mecanismo por el que nos movemos de una proposición a otra, se reconoce por ser fiable en virtud de su estructura. Si un argumento es fiable -decimos de él que es válido– y otro argumento está “compuesto” exactamente como él, pero trata de cosas distintas, el segundo argumento es exactamente tan fiable como el primero. Esto es generalmente aceptado. Deseamos reforzar nuestros argumentos señalando otros argumentos que tengan la misma estructura (y que quizás tratan sobre materias menos controvertidas) y que nuestro interlocutor acepte. Pretendemos desacreditar los argumentos de nuestros interlocutores señalando su similaridad con otros argumentos ya rechazados. En tales discusiones estamos aceptando el punto de vista de que la estructura de los argumentos es que los hace fiables.

La confianza del lógico en la estructura es una cuestión de fe – fe en la razón, en la racionalidad. La historia de la ciencia y la tecnología es una prueba de que esta confianza en la razón ha dado sus frutos – pero no debemos usar esta fertilidad como una evidencia del valor del razonamiento. Para nuestros propósitos, lo que necesitamos reconocer es que la racionalidad es confianza en una especie de estructura. E intentaremos ser racionales.

Un argumento es un puente que nos permite movernos de una premisa o conjunto de premisas a una conclusión. Cuando criticamos un argumento, no criticamos sus premisas – el punto del que partimos. Estamos evaluando el puente que nos permite ir de un lado a otro. Nuestro proyecto es discernir la estructura efectiva de tal puente, articularla y evaluarla. Y esto se hace por medio de reglas de inferencia. Un argumento es aceptable –válido si opera por medio de reglas que no pueden llevarnos de la verdad a la falsedad. Un argumento es inválido si es posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa. Así, nuestras reglas de inferencia deben diseñarse de modo que sean conservativas en el siguiente sentido: ningún argumento construido de acuerdo con ellas puede ir de premisas verdaderas a una conclusión falsa.

Es deseable que el sistema de reglas que usemos no sólo sea fiable, como ya hemos visto, sino también suficiente para nuestros propósitos, debe ser completo en el sentido de que cualquier regla nueva y razonable pueda derivarse de las reglas ya en uso.

4.1 Deducción

Un argumento es un conjunto de enunciados tal que uno de ellos, llamado conclusión, se sigue de los otros, a los que se llama premisas.

Se puede distinguir entre argumentos deductivos y argumentos inductivos. Un argumento deductivo es aquel que, hablando grosso modo, va de lo general a lo particular, mientras que en los inductivos se pasa de lo particular a lo general. Una mejor definición consistiría en decir que en los argumentos deductivos el paso de las premisas a la conclusión es analítico (necesario), mientras que en los argumentos inductivos ese paso es sintético (no necesario). El principal, si no el único, objeto de la lógica formal es el argumento deductivo.

Los argumentos, a diferencia de las proposiciones, no son ni verdaderos ni falsos, sino bien construidos o mal construidos, correctos o incorrectos. Al argumento bien construido se le llama válido, y al mal construido inválido. Un argumento correcto o válido es un conjunto de enunciados tal que no es posible que los primeros (las premisas) sean verdaderos y el último (la conclusión) falso. En un argumento bien construido, la verdad de las premisas es incompatible con la falsedad de la conclusión. Esta definición no excluye la posibilidad de argumentos que tengan una o más premisas falsas y conclusión falsa, y sin embargo, sean correctos, ni tampoco de argumentos cuyas premisas contengan alguna falsedad, pero cuya conclusión sea verdadera

La deducción puede ser de dos clases, directa e indirecta. En la deducción directa, las premisas llevan a la conclusión de un modo directo y positivo; por ejemplo:

Sócrates es hombres
Todos los hombres son mortales
Por tanto, Sócrates es mortal

En la deducción indirecta, lo que se hace es dar una especie de rodeo para llegar a la conclusión. Este rodeo consiste en lo siguiente:

1. Dar por supuesta la falsedad de la conclusión (es decir, la negación de lo que se desea probar);

2. obtener, a partir de ese supuesto, una contradicción;

3. rechazar, en vista de semejante resultado, dicho supuesto; y

4. afirmar, como consecuencia de ello, la conclusión deseada

Este método, denominado reductio ad absurdum, se inspira en la idea, crucial para la lógica, de que una contradicción es inadmisible: si una proposición da lugar a una contradicción, entonces debe ser rechazada.

4.2 Deducción formal

Una deducción formal es una secuencia finita de fórmulas tales que cada una de ellas sea: a) un supuesto inicial, o b) un supuesto provisional, o c) una fórmula que se derive lógicamente de otra o de otras anteriores por inferencia inmediata. Cada fórmula de la secuencia constituye una línea de derivación. La última línea de derivación es la conclusión. todas las líneas de derivación anteriores a la conclusión podrán ser llamadas premisas.

Las líneas en una derivación pueden ser de tres tipos:

a. Supuestos iniciales o premisas iniciales. Son fórmulas que se consideran hipotéticamente dadas desde el principio de la derivación

b. Líneas que proceden de otra o de otras líneas anteriores por aplicación de una regla de inferencia. De estas líneas decimos que son consecuencias lógicas inmediatas de otra o de otras anteriores.

c. Líneas que se introducen provisional o subsidiariamente en el curso de la prueba y que deberán ser canceladas antes del establecimiento de la conclusión. Estas líneas se denominan supuestos provisionales.

d. La derivación se efectúa colocando en columna, una debajo de otra, las premisas correspondientes a los supuestos iniciales y procediendo, en ese mismo orden, a extraer mediante inferencia inmediatas o por introducción de supuestos provisionales nuevas líneas de derivación con vistas al establecimiento de la conclusión, que será el último paso.

4.3 Resolución de argumentos

El uso de las reglas básicas es, en principio, suficiente para resolver todo problema deductivo que tenga solución en lógica de proposiciones. El empleo concreto de dichas reglas en la resolución de un argumento puede atenerse al siguiente plan:

1. En primer lugar hay que asegurarse de que el argumento está debidamente formulado. Si se encuentra expuesto en lenguaje informal, será conveniente traducirlo a lenguaje simbólico.

2. Una vez dispuestas en columna y debidamente numeradas las premisas iniciales, se intentará extraer de ellas por sucesivas inferencias inmediatas la conclusión o fórmulas que nos aproximen a ella.

3. Eventualmente cabe el recurso a suposiciones subsidiarias de tipo directo:

a. Si la conclusión o la fórmula que de momento interese establecer tiene la estructura de una implicación, puede introducirse como suposición provisional el antecedente de la misma, con lo cual se reduce el problema a obtener el consecuente de ella y luego establecer, por el teorema de deducción, la fórmula deseada, al tiempo que se descarga el supuesto.

b. Si en las premisas a utilizar figura una disyunción, se darán provisionalmente por supuestos cada uno de sus extremos y se tratará de deducir de cada uno de ellos la conclusión o la fórmula que de momento interese establecer (prueba por casos)

4. Siempre que fallen otros intentos cabe recurrir a la deducción indirecta: se supone provisionalmente la negación de la fórmula que interese establecer y se intenta extraer de esa negación una contradicción; el rechazo de esta contradicción nos proporcionará la fórmula deseada.

4.4 Métodos automáticos de prueba

El método general de demostración se visto en la sección anterior se basa únicamente en la aplicación de algunas reglas sencillas. Este método es consistente, en el sentido que nos asegura que toda fórmula que demostremos, si hemos aplicado bien las reglas, es una consecuencia lógica de la fórmula o fórmulas iniciales (también llamadas premisas) o bien es una tautología (si no partimos de premisas). Sin embargo, este método no es decidible. Es decir, nada nos asegura que logremos demostrar, en un número finito de pasos la fórmula que queremos demostrar. Por ello, los lógicos se han afanado en la búsqueda de métodos que sean no sólo consistentes, sino también decidibles. Estos métodos han de ser, además, automáticos, en el sentido de que mediante la aplicación mecánica de ciertas reglas incluso un ordenador podría demostrar un teorema. Vamos a ver ahora algunos de esos métodos.

4.4.1 Método de las tablas de verdad

Fue ideado por Wittgenstein y publicado por primera vez en su obra Tractatus Lógico-Philosophicus. Wittgenstein pretendía determinar de forma mecánica la verdada o falsedad de una sentencia o una fórmula, una vez establecidos los valores de verdad de las fórmulas o las letras proposicionales unidas por las conectivas. Las tablas de verdad se basan en la significación precisa de cada uno de los elementos. La lógica clásica es una lógica bivalente; en la lógica bivalente necesitamos una tabla de verdad para cada conectiva que muestre el valor que adopta una fórmula a partir del valor de verdad de sus partes. Las tablas de verdad de las diferentes conectivas lógicas fueron vistas en la sección 1.1.

Para construir una tabla de verdad de una fórmula cualquiera del cálculo de proposiciones se siguen los siguientes pasos:

1. Calcular el número de filas de la tabla. Este número se calcula a partir del número de variables enunciativas que intervienen en la fórmula; para n variables será 2n el número de filas de que ha de constar la tabla.

2. Confección de las columnas iniciales. Una vez calculado el número de líneas, se encabezarán con cada una de las variables sendas columnas que serán las iniciales de la tabla. Estas columnas iniciales se dedicarán, línea por línea, a la distribución sistemática de las combinaciones de los valores de verdad de las variables. Con esto habremos completado todas las posibles asignaciones veritativas a la fórmula, es decir, habremos realizado todas las posibles asignaciones de verdad de la fórmula.

3. Confección de columnas intermedias. Una vez distribuidos en las columnas iniciales los posibles valores de verdad de las variables, se desglosa la fórmula en sus componentes principales, y éstos en los suyos, hasta llegar a fórmulas de grado uno, cada una de las cuales encabezará, por orden de aparición en la fórmula total (si no procede otro mejor), una nueva columna hacia la derecha. Cada una de estas columnas se cubrirá introduciendo en cada línea el valor que corresponda a la fórmula que la encabece suponiendo que las variables tengan el asignado por la atribución veritativa de la línea en cuestión. Luego se continúa de la misma forma con las fórmulas de grado dos, y así sucesivamente.

4. Confección de la columna final. De este modo, la última columna a la derecha queda encabezada por la fórmula total. Las columnas encabezadas por fórmulas complejas se cubrirán siempre introduciendo en cada línea los valores que correspondan de acuerdo con los ya asignados en columnas precedentes a sus componentes inmediatos.