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7B – La lógica como sistema formal axiomático; los límites de los sistemas formales axiomáticos.

1. Definición y funcionamiento de los sistemas formales axiomáticos: Una teoría axiomatizada es una teoría deductivamente ordenada en axiomas y teoremas según reglas de inferencia. Todo sistema formal axiomático debe contar, al menos, con estos cuatro ingredientes: a) Una tabla de símbolos primitivos (alfabeto); b) Un repertorio de reglas de formación de fórmulas y, eventualmente, de términos; c) Una lista de axiomas o postulados, que son las fórmulas primitivas del sistema, d) Un repertorio de reglas de inferencia.

2. De la axiomática intuitiva a los sistemas formales

2.1 Axiomática intuitiva: Se limita a aislar los conceptos y enunciados fundamentales, de los cuales pueden deducirse los demás.

2.2 Axiomática abstracta: Este nivel de desarrollo de la axiomática añade al anterior el importante papel de la abstracción en la definición de sus conceptos fundamentales.

2.3 Axiomática formal: En este nivel, el contenido de los conceptos fundamentales del sistema no juega ningún papel: su significación queda totalmente fijada por las relaciones que los axiomas establecen entre ellos.

2.4 Sistemas formales puros: A este nivel, toda referencia a un conjunto de significados exteriores al sistema queda eliminada mediante la utilización de un lenguaje simbólico rigurosamente definido.

3. La axiomatización de la lógica: Las teorías lógicas pueden ser, en consecuencia, axiomatizadas, como de hecho lo han sido en numerosas ocasiones.

3.2 Algunos sistemas axiomáticas modernos:

3.2.1 Whitehead/Russell, 1.910: Este sistema fue expuesto por sus autores en el primer volumen de su obra Principia Mathematica.

3.2.2 Hilbert/Bernays, 1.934: Este sistema está basado en uno que construyó David Hilbert en 1.899 en el que separaba en grupos los axiomas propios de las diferentes zonas y estratos del universo geométrico. Se trata de un sistema formal axiomático para lógica de enunciados.

5. Características de los sistemas formales axiomáticos:

5.1 Consistencia: Un sistema formal es consistente o no contradictorio cuando todas las fórmulas que de él se derivan o pueden derivarse están exentas de contradicción.5.2. Completud: Un sistema es completo cuando tiene potencia o capacidad suficiente para que de él se deriven todas las fórmulas que expresen verdades de la parcela de conocimiento que el sistema formaliza.5.3. Decidibilidad: Un sistema es decidible cuando existe un algoritmo o procedimiento decisorio que permita determinar mecánicamente (del mismo modo que lo haría un computador) si una fórmula cualquiera es o no deducible.

6. Límites de los sistemas formales axiomáticos:

6.1.1. El Teorema de Gödel y la aritmética: Este teorema afirma que en este tipo de sistemas existen proposiciones que no son derivables ni refutables, es decir, proposiciones indecidibles.

6.1.2 Teoremas de Church y Kleene: Church ha mostrado en su teorema que el problema de la decisión es insoluble para la lógica de predicados de primer orden y, con más razón, para los sistemas más poderosos.

TEMA 7: LA LÓGICA COMO SISTEMA FORMAL AXIOMÁTICO

1. Definición y funcionamiento de los sistemas formales axiomáticos.

El resultado de formalizar y axiomatizar una teoría científica es un sistema formal axiomático. Una teoría axiomatizada es una teoría deductivamente ordenada en axiomas y teoremas según reglas de inferencia. La axiomatización adquiere mucho mayor rigor cuando va acompañada de la formalización de la teoría científica que se trata de axiomatizar.

Todo sistema formal axiomático debe contar, al menos, con estos cuatro ingredientes: a) Una tabla de símbolos primitivos (alfabeto); b) Un repertorio de reglas de formación de fórmulas y, eventualmente, de términos; c) Una lista de axiomas o postulados, que son las fórmulas primitivas del sistema, d) Un repertorio de reglas de inferencia. Los dos primeros ingredientes constituyen, por así decirlo, el lenguaje o gramática, y los otros dos la lógica del sistema. Al concepto de regla de inferencia va unido el de consecuencia inmediata o directa: la regla de inferencia establece que una fórmula, llamada conclusión, puede ser inferida de otra u otras, llamadas premisas de la regla, la conclusión de la regla se considera así consecuencia inmediata o directa de las premisas.

Una demostración o una prueba, es decir, una deducción axiomática, es una secuencia de fórmulas tales que cada una de ellas es un axioma o bien una consecuencia inmediata de alguna o algunas fórmulas de las que le preceden por virtud de una regla de inferencia. La fórmula final de esta secuencia es un teorema o fórmula derivada.

En la elaboración de un sistema formal axiomático es útil, aunque no necesario, disponer también de definiciones, que son cláusulas por las que se introducen nuevos símbolos (símbolos derivados o definidos) a partir de los ya conocidos, lo cual permite abreviar cómodamente la escritura de las fórmulas del sistema.

Una vez elaborada la dimensión formal o sintáctica del sistema formal axiomático, éste deberá ser interpretado, esto es, puesto en relación con el conjunto de los objetos considerados por la teoría científica que se pretende formalizar. Ésta será la dimensión semántica del sistema.

2. De la axiomática intuitiva a los sistemas formales

La noción de sistema formal es un perfeccionamiento del método axiomático y su grado supremo de abstracción. El papel que la intuición siga jugando en la construcción de la teoría y en su ordenación puede variar. A lo largo de la historia se ha producido un paso gradual de la axiomática intuitiva, basada en la intuición y en la lógica “natural”, a los sistemas formales puros (sistemas formales axiomáticos), donde la intuición queda desterrada incluso de las definiciones de los conceptos fundamentales del sistema. Podemos distinguir cuatro grandes pasos en este proceso

2.1. Axiomática intuitiva.

Se limita a aislar los conceptos y enunciados fundamentales, de los cuales pueden deducirse los demás. Los conceptos se entienden como datos intuidos y los enunciados fundamentales como evidencias. Se utilizan los procedimientos de deducción de la lógica “natural”.

2.2. Axiomática abstracta.

Este nivel de desarrollo de la axiomática añade al anterior el importante papel de la abstracción en la definición de sus conceptos fundamentales. El contenido de los mismos queda perfectamente precisado, conteniendo sólo ciertas propiedades que se enuncian explícitamente. A causa de esto, los conceptos muestran una cierta indeterminación que los hace ser susceptibles de ser aplicados a todos los objetos que encajan en los axiomas

2.3. Axiomática formal.

En este nivel, el contenido de los conceptos fundamentales del sistema no juega ningún papel: su significación queda totalmente fijada por las relaciones que los axiomas establecen entre ellos. Sin embargo, los axiomas apelan aún en su formulación a expresiones del lenguaje corriente, cuyo sentido viene dado por la intuición

2.4. Sistemas formales puros.

A este nivel, toda referencia a un conjunto de significados exteriores al sistema queda eliminada mediante la utilización de un lenguaje simbólico rigurosamente definido. Los procedimientos de deducción admitidos se explicitan totalmente y se definen formalmente. El papel de la intuición queda reducido a las manipulaciones de los signos. Es suficiente poder identificar los signos, distinguirlos entre ellos y reemplazar unos signos por otros siguiendo un modelo de sustitución.

2.5. Distintas definiciones de sistema formal.

Hemos propuesto antes una definición de sistema formal axiomático tomada de Garrido. No quedaría completa la idea de sistema formal axiomático sin citar otras que la matizan y completan. Kleene habla de sistema formal en el sentido de cálculo. El sistema estaría formado, en consecuencia, por: a) Los signos del cálculo —primitivos y definidos—; b) Las expresiones del mismo, que serían: Expresiones bien formadas por medio de reglas de formación y teoremas del cálculo (definido teorema como la última expresión bien formada de una prueba en el cálculo).

Carnap considera el sistema formal como la suma del lenguaje objeto utilizado más el metalenguaje en que se habla de él. La teoría de los sistemas formales estudiaría aspectos semánticos y sintácticos y las relaciones entre los subsistemas semántico y sintáctico.

3. La axiomatización de la lógica

3.1. La lógica como ciencia axiomatizable.

Las teorías lógicas pueden ser, en consecuencia, axiomatizadas, como de hecho lo han sido en numerosas ocasiones. Puede decirse que debemos a Frege la primera axiomatización totalmente formalizada de la lógica elemental.

3.1.2. Utilidad de la axiomatización de la lógica.

Utilizando el método axiomático se pueden construir, una tras otra, las distintas partes de la lógica, sea por transposición, sea por extensión.

El procedimiento de transposición se utiliza, por ejemplo, cuando se pasa de la lógica de proposiciones a la lógica de clases: a los símbolos de la lógica proposicional, que representan proposiciones, se hacen corresponder operaciones referentes a las clases. Mediante esta correspondencia, las fórmulas del cálculo de proposiciones se convierten en fórmulas del cálculo de clases.

El procedimiento de la extensión se utiliza para pasar de la lógica de enunciados o proposiciones a la de predicados. Tomando como base los símbolos y reglas de la lógica de proposiciones, se construye la de predicados añadiendo símbolos que representan individuos y predicados, construyendo nuevas operaciones —generalización, por ej.— y añadiendo los axiomas y reglas necesarios para el manejo del conjunto.

Por otra parte, la axiomatización de la lógica hace posible homogeneizar lógica y matemáticas. Es posible integrar en un sistema único axiomas lógicos y matemáticos, lo que supone fijar en un mismo sistema formal la naturaleza y propiedades de los entes que se están analizando y las formas de razonamiento consideradas válidas.

3.1.3. Criterios de confección de un sistema formal axiomático en lógica.

Los sistemas axiomáticos suelen construirse pensando en alguna finalidad concreta. Esto hace que, aunque los elementos de un sistema formal axiomático de lógica se extraigan en gran medida del mismo tipo de cálculo de deducción natural, el número de nociones primitivas, axiomas y reglas de inferencia que se establece varíe mucho de un sistema a otro.

Si el principal propósito del sistema formal axiomático es la facilidad en la obtención de teoremas (fórmulas derivadas) o el estudio pormenorizado de las distintas partes de la teoría axiomatizada, interesará que el repertorio de axiomas, reglas de inferencia y símbolos primitivos sea amplio y variado. Pero si lo que se pretende es más bien obtener una visión sintética del sistema, con vistas a la determinación de las propiedades que lo caracterizan globalmente y que deberán ser demostradas por una metateoría, entonces interesará que prevalezca el criterio de economía y que el número de signos primitivos, reglas y axiomas sea mínimo, facilitando así el estudio y demostración de las mismas.

3.2. Algunos sistemas formales axiomáticos modernos.

3.2.1. Whitehead/Russell, 1.910.

Este sistema fue expuesto por sus autores en el primer volumen de su obra Principia Mathematica. Abarca la lógica de proposiciones más la teoría de tipos desarrollada por Russell. Sus autores pretendieron usándolo deducir la matemática de la lógica por lo que podemos calificar su postura en cuanto a la fundamentación de la matemática de logicista.

Los símbolos primitivos del sistema son dos juntores, el negador y del disyuntor, que representaremos así: ¬, v.

Las reglas de inferencia se reducen prácticamente a dos:

· Regla de sustitución: dada una tesis del sistema es posible deducir de ella una nueva tesis sustituyendo cualquier variable de la misma, en todas sus ocurrencias, por una fórmula cualquiera.

· Regla de implicación o modus ponens: A ® B = ¬AÚB Df.[1]

Los axiomas son cinco:

· Principio de tautología: (pÚp) ® p

· Principio de adición: q ® (pÚq)

· Principio de permutación: (pÚq) ® (qÚÚp)

· Principio de asociación: pÚ (qÚr) ®qÚ (pÚr)

· Principio de sumación: (qÚr) ® ((pÚq) ® (pÚr))

3.2.2. Hilbert/Bernays, 1.934.

Este sistema está basado en uno que construyó David Hilbert en 1.899 en el que separaba en grupos los axiomas propios de las diferentes zonas y estratos del universo geométrico. Se trata de un sistema formal axiomático para lógica de enunciados.

Los símbolos primitivos son los cinco conectores:

Õ implicador

Ù conjuntor

Ú disyuntor

Ö coimplicador

¬ negador.

Los axiomas se presentan en cinco grupos distintos, cada uno de los cuales presenta fórmulas que permiten la introducción o eliminación de cada una de las cinco partículas:

I. Axiomas de implicación:

1. AÕ(BÕA)

2. (AÕ(AÕB)) Õ(AÕB)

3. (AÕB) Õ((BÕC) Õ(AÕC))

II. Axiomas de conjunción:

1. A Ù BÕA

2. A Ù BÕB

3. (AÕB) Õ((AÕC) Õ(AÕB Ù C))

III. Axiomas de disyunción:

1. AÕAÚB

2. BÕAÚB

3. (AÕC) Õ((BÕC) Õ(AÚBÕC))

IV. Axiomas de equivalencia (coimplicación):

1. (AÖB) Õ(AÕB)

2. (AÖB) Õ(BÕA)

3. (AÕB) Õ((BÕA) Õ(AÖB))

V. Axiomas de negación:

1. (AÕB) Õ (¬BÕ¬A)

2. AÕ¬¬A

3. ¬¬AÕA.

Gran parte de estos axiomas serían usados posteriormente por Gentzen como reglas de deducción natural.

4. Axiomatización de teorías científicas

4.1. Utilidad.

La axiomatización de las teorías científicas, en todos sus grados, facilita el trabajo en las distintas disciplinas. La inserción explícita de los axiomas dentro del marco de la lógica formal proporciona indudables ventajas: permite distinguir también con gran nitidez entre aquellas piezas estructurales que son específicas de la teoría y las que no lo son, como también, y sobre todo, asegurar el máximo control racional de las consecuencias obtenidas a partir de los principios teóricos. Esto hace que muchas veces se identifique la fundamentación lógica de una teoría con la exposición axiomática de la misma dentro del marco de la lógica formal.

4.2. Teorías de primer orden.

A las teorías que pueden ser formalizadas y axiomatizadas con la sola ayuda de la lógica elemental o de primer orden se las llama teorías de primer orden. El aparato de la lógica de primer orden es muy sencillo; sin embargo es suficiente para servir de marco a la mayor parte de las teorías matemáticas, incluso a la teoría de conjuntos, la cual se ha pretendido que sirva de marco general para la fundamentación de la matemática.

4.3. Sistemas axiomáticos fundacionales y postfundacionales.

Un sistema fundacional es un sistema formal con reglas autónomas de inferencia, pertenecientes a la propia ciencia axiomatizada. En este sentido, todo sistema formal axiomático de lógica debe ser considerado fundacional.

Por otra parte, un sistema postfundacional es un sistema formal en el cual sólo se pueden inferir los teoremas de los axiomas por medio de la implicación lógica, dejando para el estudio de la lógica el análisis y las técnicas de esta inferencia.

5. Características de los sistemas formales axiomáticos

Independientemente del interés lógico del problema, la utilidad de la lógica de primer orden para la axiomatización de teorías científicas hace que sea muy importante dejar claro el alcance y efectividad de los sistemas formales axiomáticos. Podemos centrar este problema en las características que debe tener todo sistema formal axiomático (lógico o no): consistencia, completud y decidibilidad.

5.1. Consistencia.

Un sistema formal es consistente o no contradictorio cuando todas las fórmulas que de él se derivan o pueden derivarse están exentas de contradicción. En el caso de un sistema axiomático de lógica esto se establece demostrando que si una fórmula‘A’ es formalmente deducible del sistema, entonces es una verdad lógica (esto es, es verdadera bajo cualquier interpretación posible) y, por tanto, su negación es una contradicción (que no puede ser verdadera bajo ninguna interpretación posible).

5.2. Completud.

Un sistema es completo cuando tiene potencia o capacidad suficiente para que de él se deriven todas las fórmulas que expresen verdades de la parcela de conocimiento que el sistema formaliza. En el caso de un sistema formal lógico, esto quiere decir que si una fórmula es una verdad lógica entontes será formalmente deducible en el sistema.

La consistencia y la completud son simétricas: la consistencia exige que en un sistema formal sólo puedan deducirse verdades lógicas; la completud exige que todas las verdades lógicas puedan ser deducidas. Por la primera se afirma que la verdad lógica es condición necesaria de la deducibilidad, por la segunda que es condición suficiente. La conjunción de ambas tesis constituye una afirmación de máximo interés: la coincidencia o equivalencia entre sintaxis y semántica en los sistemas formales axiomáticos.

5.3. Decidibilidad.

Un sistema es decidible cuando existe un algoritmo o procedimiento decisorio que permita determinar mecánicamente (del mismo modo que lo haría un computador) si una fórmula cualquiera es o no deducible.

Si la consistencia y la completud de un sistema nos aseguran su utilidad en la transmisión de verdad de unas fórmulas a otras, la decidibilidad nos permite el enjuiciamiento de fórmulas en orden a su derivabilidad de los principios del sistema, lo que es de gran utilidad.

6. Límites de los sistemas formales axiomáticos.

Las limitaciones de los sistemas formales axiomáticos en lógica y otras ciencias tienen que ver con la imposibilidad de conseguir sistemas que cumplan todas estas cualidades.

6.1. Límites sintácticos.

En primer lugar vamos a considerar las limitaciones de tipo sintáctico y los intentos de solución que se han desarrollado para las mismas dentro del campo de la lógica.

6.1.1. El Teorema de Gödel y la aritmética.

La limitación sintáctica principal se descubrió en el campo de la matemática. Gödel desarrolló en 1.931 un teorema que se aplica a todo sistema formal consistente que contenga una representación de la parte de la aritmética que estudia las propiedades recursivas de los números. Para comprender su importancia es preciso recordar que todos los grandes sistemas que se han desarrollado para formalizar las matemáticas caen bajo los supuestos del teorema de Gödel.

Este teorema afirma que en este tipo de sistemas existen proposiciones que no son derivables ni refutables, es decir, proposiciones indecidibles. Gödel lo demuestra construyendo una proposición de este tipo y demostrando que es demostrable si y sólo si su negación es demostrable. Gödel construyó entonces una proposición sobre la consistencia de la aritmética tal que si la proposición indecidible anterior era demostrable la consistencia de la aritmética también lo sería. De aquí se deriva que la consistencia de un sistema que contenga la aritmética no es demostrable dentro del mismo sistema, lo cual significa que para demostrarla hay que recurrir a procedimientos de prueba más poderosos que los del sistema. Por lo tanto, la aritmética no es completa, puesto que no se pueden demostrar en ella todas las proposiciones verdaderas que pueden formalizarse usándola.

La importancia del teorema de Gödel para la matemática es evidente, pero tiene también consecuencias para la lógica, ya que abrió el camino del análisis de la decidibilidad de los sistemas formales desde nuevos supuestos.

6.1.2. Los teoremas de Church y Kleene

Church desarrolló en 1.936 un teorema sobre la decidibilidad de los sistemas de primer orden. Dado un sistema formal, si podemos especificar un procedimiento efectivo que permita decidir con respecto a toda proposición del sistema si es o no derivable de éste, decimos que es resoluble. Church identifica la noción de efectividad con la de recursividad, por lo que para él un sistema formal es resoluble cuando la clase de sus teoremas es recursiva (los más complicados son expresables en términos de los más simples).

Para algunos sistemas simples, como la lógica de enunciados considerada aisladamente, existen procedimientos de decisión efectivos. Church ha mostrado en su teorema que el problema de la decisión es insoluble para la lógica de predicados de primer orden y, con más razón, para los sistemas más poderosos. Para este tipo de sistemas no existe un procedimiento efectivo de decisión.

6.2. Límites semánticos.

Hay, por otra parte, limitaciones de tipo semántico para la construcción y validez de los sistemas formales axiomáticos. Fundamentalmente son de dos tipos, unas son relativas a la representación de conceptos semánticos dentro de los sistemas y las otras tienen que ver con la teoría de los modelos y la categoricidad o no de los sistemas axiomáticos.

BIBLIOGRAFÍA

BLANCHÉ, R., La axiomática, México, UNAM, 1965

COHEN, M., NAGEL, E., Introducción a la lógicay al método científico, Buenos Aires, Amorrortu, 1968, 2. vols.

GARRIDO, M.: Lógica simbólica, Madrid, Tecnos, 1983

GÖDEL, K.: “Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas afines” en Gödel, K.: Obras completas, Madrid, Alianza

HILBERT, D.: El pensamiento axiomático, Revista matemática hispanoamericana, 1, (1919)

RUSSELL, B. Y WHITEHEAD, A.N.: Principia mathematica, Madrid, Paraninfo, 1981

SUPPES, P., Teoría axiomática de conjuntos, Cali (Colombia), Norma, 1968


[1] Usaremos el signo “=” y la clave “Df.” al final de la igualdad para indicar que la expresión es una definición.