Tema 5 – De la lógica clásica a la lógica simbólica.

5.0 INTRODUCCIÓN: ¿QUÉ ES LA LÓGICA?

5.0.1. La Lógica

Es vieja aspiración del hombre poder razonar y argumentar sin error y corrección. La aspiración de poseer un mecanismo tal que nos permita comprender si lo que se nos dice es correcto, y sobre todo, averiguar si el cómo se nos transmite algo, sigue reglas que nos permitan confiar, al menos, en la coherencia interna de lo que se nos comunica. Esa misma aspiración persigue también que podamos expresarnos con esa corrección y coherencia a la que antes aludíamos.

Esta aspiración tiene una tradición de veinticinco siglos. Se han escrito muchas Historias de la lógica; el trabajo de aquellos hombres que han perseguido lograr un marco certero y fiable mediante el cual podernos expresar coherentemente y detectar las incorrecciones argumentales de lo que se nos transmite.

El relativismo epistemológico, ético y político de los sofistas, en el siglo V a.C. fue ya, directamente, una defensa de la lógica. La verdad, para estos grandes maestros del saber, consistía en el argumento más fuerte, entendiendo por fortaleza argumentativa la coherencia de lo expuesto y la persuasión alcanzada. Comienza, pues, a bosquejarse tímidamente una lógica que, al cargar más el acento en la persuasión que en la coherencia, termina siendo retórica.

Es a partir de Aristóteles, primero, y de los estoicos después, cuando la lógica consigue gran importancia en el saber filosófico, manteniéndose durante toda la Edad Media con la misma estructura que elabora el estagirita. La expresión “Lógica Aristotélico-tomista” es bastante significativa a este respecto.

Pero la lógica matemática o lógica simbólica comienza a perfilarse con Leibniz en el siglo XVIII. A Leibniz le corresponde el mérito de haber aislado el verdadero armazón del “cálculo” y de haber aprovechado por primera vez la oportunidad de reducir las reglas de la deducción lógica a meras reglas de cálculo, es decir, a reglas cuya aplicación puedo prescindir del contenido semántico de las expresiones.

“Llamo hilo de raciocinio a cierto método fácil y seguro, siguiendo el cual, sin fatiga de la mente, sin confines y sin motivo de error, procede con no menos seguridad que quienes dispongan de un hilo de Ariadna en un laberinto…” “Cuando surjan controversias, no tendremos más necesidades de discutir, entre filósofos, que la que hay entre dos calculadores. En efecto, bastará tomar la pluma en la mano, sentarse en la mesa y decirse uno al otro ´calculemos´” (Leibniz).

La lógica moderna comienza con hombres como Frege, Peano, Hilbert, Russell, Wittgenstein, Carnap, Quine, y con los lógicos polacos. Se trata ya de la confección de un verdadero cálculo que nos permita, al igual que la matemática, deducir teoremas de axiomas determinados, básicos, obtención de conclusiones formalmente válidas, a partir de premisas dadas y mediante el cálculo inferencial, es decir, constituir a la lógica como un «sistema formal axiomático». Y para ello ha sido preciso simbolizar el lenguaje y relegar a un segundo plano el contenido semántico del mismo.

5.0.2. ¿Qué es lógica?

De entre las varias definiciones que se han dado, hemos elegido la siguiente: La lógica es la ciencia de los principios de la inferencia formalmente válida.

lnferencia. Podría ser sinónimo de razonamiento o argumentación (es el objeto material de la lógica); el razonamiento como resultado, no como actividad del sujeto. El razo namiento es, pues, un tipo de pensamiento cuyo rasgo característico es que en él se produce siempre el peso de uno o más enunciados, que tomamos como punto de partida; al enunciado que sigue al razonamiento se le denomina conclusión.

Formalmente válida. Puesto que lo que constituye un razonamiento es la relación que en él se da siempre entro unas premisas y una conclusión, parece razonable dividir los razonamientos según la índole de esa relación. Según ésta los razonamientos se dividen en razonamientos validos y razonamientos no válidos.

Para el razonamiento formalmente válido, hay que distinguir entre verdad y validez. La validez del razonamiento, es el hecho de que sus premisas, su conclusión o ambas, sean verdaderas o que con unas premisas falsas y una conclusión falsa sea válido.

De todas formas no hay razonamiento validado con premisas verdaderas y conclusión falsa. Y ello precisamente porque se dice que un razonamiento es válido cuando sus premisas son verdaderas y su conclusión necesariamente también lo es.

La lógica se ocupa, por tanto de la validez de los razonamientos y no de la verdad o falsedad de los enunciados que los componen. La validez de un razonamiento lo es en función de su forma de esquema; por eso la lógica es lógica formal.

Lo esencial en todo razonamiento formalmente válido es la relación de necesidad que se establece entre premisas y conclusión. Después de esto es fácil entender lo que se quiere decir con “principios”. La lógica pretende realizar esa valoración de una manera estructurada, codificando los principios, leyes o reglas que dirigen el análisis de la validez formal de los razonamientos.

Así pues, la lógica es una ciencia formal deductiva. Sus enunciados son enunciados verdaderos en virtud de su sola estructura. Cada uno de ellos enunciará una forma váalida de razonar.

5.0.3. División de la lógica

Tradicionalmente se ha dividido la lógica en dos partes: material y formal. La segunda estudia el raciocinio desde el punto de vista de su forma, es decir, determina las leyes que se han de seguir para que sea concluyente y válido. La primera estudia el raciocinio desde el punto de vista de su “materia”, es decir, analiza las condiciones de deben reunir las proposiciones de las que ha de partir el raciocinio.

La lógica tradicional o clásica aristotélica y escolástica considera como fundamental el razonamiento, cuya forma verbal por excelencia es el silogismo, y se halla en realidad polarizada en tomo a él. A partir de Kant ha existido la tendencia a conceder esa supremacía al juicio, en tanto que, entre las corrientes contemporáneas se concede la importancia capital a la forma del razonamiento.

Por su parte, la lógica elemental, o lógica de primer orden, se divide en lógica de enunciados y lógica de predicados, o lógica cuantificacional, en la que sólo se cuantifican los predicados referidos a variables de individuo u objeto. Por encima de ella hay la lógica de orden superior o lógica de predicados de segundo orden, que se caracterizan por introducir en la argumentación predicados de predicados y por cuantificar también las variables de predicado. La lógica de clases (predicados monádicos, o simples, o atómicos) y la lógica de relaciones (predicados poliádicos o moleculares) son partes de la lógica de predicados.

5.0.4. La Historia de la Lógica

Hoy la lógica es la misma en todo el mundo. En la antigüedad la lógica de occidente y oriente evolucionan separadas sin ningún contacto.

Si adoptamos los criterios de su carácter autoconsciente y sintomático, es decir, que en primer lugar, la lógica no es simplemente razonar bien, sino reflexionar bien, sobre el razonamiento correcto y, que, en segundo lugar la lógica como reflexión tiene que tener un mínimo carácter sistemático, entonces podemos decir que la lógica nace en Grecia y los primeros lógicos son Parnénides, Heráclito, Anaxágoras, Sócrates, etc.

En Grecia había dos cuerpos fundamentales de conocimiento a los que se podía aplicar la lógica, la geometría y la argumentación; ésta última podía ser política o jurídica.

La geometría está construida a base de enunciados generales y de relaciones de inclusión, por ejemplo: todos los triángulos son polígonos. Sin embargo, la argumentación se basa en enunciados más concretos, reducciones al absurdo.

Hay dos grandes escuelas en el campo lógico, que parten de Sócrates. Una, la de Aristóteles y la otra la de Euclides de Megara, que había pasado por la escuela de Elea. Mientras que Platón y Aristóteles siguen la línea de la geometría, la escuela Megaria sigue la línea de la argumentación cotidiana.

En Platón podemos encontrar muchas reflexiones acerca de la lógica, no de una manera sistemática, pero sí consciente, hasta tal punto que ve la necesidad de una reflexión sobre la lógica y apunta su carácter autorreflexivo.

Con Aristóteles, se da un gran desarrollo de la lógica. Los escritos de Aristóteles sobre la lógica están contenidos en un grupo de tratados que en tiempos posteriores, llegaron a ser conocidos como el Organon:

– Las categorías.

– De interpretatione.

– Primeros analíticos.

– Segundos analíticos.

5.1. HISTORIA DE LA LÓGICA CLÁSICA

Los inicios de la ciencia de la lógica se encuentran en la antigua Grecia. Las polémicas en tomo a la teoría de Parménides y las célebres paradojas de Zenón de Elea, que negaban la realidad del movimiento haciendo un uso indebido del principio de no-contradicción, contribuyeron a la distinción de conceptos, a ver la necesidad de argumentar con claridad mediante demostraciones rigurosas, respondiendo a las objeciones del adversario. Después veremos que en lógica clásica se formulan reglas por las que todos los silogismos bien construidos se identifican como formas válidas o no válidas de argumentación.

Las sutilezas de los sofistas, que reducían todo el saber a palabras, llevaron a Sócrates a defender el valor de los conceptos y a intentar definirlos con precisión. Así, la lógica como ciencia se va formando poco a poco, desde Sócrates y Platón.

La lógica no siempre ha recibido el mismo nombre. Platón hablaba de la “dialéctica” como la técnica de conocer las relaciones entre las ideas. Platón pensaba que cualquier contenido de la mente existía tal cual en la realidad, en el mundo de las Ideas separadas, el cosmos noetós. Contra estas ideas separadas reaccionó Aristóteles, quien en su Oganon o colección de obras lógicas, emplea la palabra “analítica” para referirse a la lógica. Para Aristóteles las ideas existen sólo en la mente humana, pero se corresponden a la realidad; esto trajo consigo el nacimiento de la lógica. Aristóteles distingue, así, entre la metafísica (ciencia de la realidad o del ser y sus principios más profundos) y la lógica (ciencia de las ideas y procesos de la mente), que Platón identificaba.

Por lógica clásica puede entenderse a veces la lógica simbólica moderna estándar, esto es, cálculos como los de Principia Mathematica y sistemas afines, que incluirían la lógica de enunciados, la lógica de predicados de primer orden (incluida la lógica de relaciones) y la lógica de predicados de orden superior. Esto se opondría a las lógicas no clásicas, esto es, aquellas que, o bien no comparten algún presupuesto fundamental de la lógica clásica, o bien constituyen desarrollos complementarios de la lógica clásica (como la lógica modal), o bien constituyen de algún modo concepciones alternativas a la lógica clásica (como la lógica intuicionista). Pero puede entenderse también y más frecuentemente por “lógica clásica) la lógica aristotélica con sus complementos medievales que permaneció con apenas alguna variación hasta Frege.

Parece que Alejandro de Afrodisia (comentarista de Aristóteles en Atenas, ca. 198) fue el primero que usó el nombre de “lógica”; otros afirman que el primero en utilizarla fue Zenón de Elea, antes de Alejandro.

Aunque el contenido de la lógica queda fijado sustancialmente por Aristóteles, los nombres: “dialéctica” y “lógica” perduran más o menos como sinónimos hasta la Edad Media.

En la historia de la lógica hay que mencionar aquí a los estoicos y después a Boecio quien, junto con Porfirio destacan en esta materia al final de la Edad Antigua.

En la Edad Media, los escolásticos estudiaban la lógica formal (llamada “dialéctica” hasta el siglo XII) como parte propedéutica de su preparación para pasar a los estudios de las demás ciencias (filosofia, teología…).

Por su parte, Alcuino de York escribe una Dialéctica para su empleo durante los estudios trivium. El lugar de la lógica en el plan de estudios de la Facultad de Artes (que ahora sería Filosofia y Letras) viene asegurado por casi 1500 años de experiencia académica continua.

Abelardo, en el siglo XII, se vio envuelto en la polémica sobre los universales. Entre sus obras lógicas, incluye una Dialéctica, que es bastante completa, ya que trata no sólo de la lógica formal sino también de las categorías, las definiciones, etc.

El gran teórico medieval de las artes liberales, Juan de Salisbury (+1180), escribe su Metalogicon en 1115. Su compatriota Guillermo de Shyreswood (+ ca. 1266) escribe su De Puritate Artis Logicae Tractatus Longior a principios del siglo XIII.

Santo Tomás de Aquino, San Alberto Magno y otros, siguen las líneas aristotélicas en el siglo XIII, en el que destaca también Pedro Hispano.

Pedro Hispano era portugués, de Lisboa (ca. 1210-1277) fue importante no sólo filosófica, sino también históricamente, ya que fue papa con el nombre de Juan XXI, escribió las Summulae Logicales (1230). Hispano es conocido como instaurador y renovador de la Logica Modernorum, que renueva los trabajos de los “dialécticos” del siglo XII y abre una nueva era de atención a los temas lógicos, que culminará con el movimiento occamista. Esta obra tuvo casi un centenar de ediciones; tuvo una enorme aceptación durante siglos. La obra consta de siete tratados. En el último, titulado “Propiedades de los términos” aparece una terminología que será célebre: su posición, ampliación, apelación, restricción, distribución y exponibles. Y en una célebre que anticipa básicamente las leyes de A. De Morgan, dice: “copulativa et disiunctiva de partibus contradicentibus contradicunt” (“Una conjunción y una disyunción se contradicen mutuamente si sus partes se contradicen”). Es decir, establece lo mismo que De Morgan: que las contradictorias de una conjunción y de una disyunción se consiguen cambiando en cada caso el signo copulativo o el disyuntivo por su contrario, mientras se niegan cada uno de sus miembros.

En el siglo XIV se produce con fuerza el movimiento nominalista, con personajes como Guillermo de Occam y Juan Buridán. Por su parte, Pedro Ramus (+1572) escribió una Dialéctica a mediados del siglo XVI, y el español Juan de Santo Tomás destaca sobre todos los anteriores e incluso sobre la mayoría de los posteriores, comparativamente, con un excelente Curso de Lógica (Árs Logica), publicado en Alcalá de Henares entre 1631-1632, reeditado dentro de sus Cursus philosophicus thomisticus (Alcalá, 1634-35), que ha tenido numerosas ediciones hasta hoy.

En el siglo XVII se destacan las obras de Francis Bacon, la Logica Hamburgensis (1638) de Joachim Jungius (+ 1657) y, sobre todo, La Logique de Port Royal (1662) de Arnauld y Nicole. Hay que mencionar después a Descartes, quien buscaba, desde los días en que conoce a I. Beeckman, y superando a Lulio, una «ciencia totalmente nueva, que permita resolver en principio todas las cuestiones», o un lenguaje universal vinculado a la verdadera filosofía, que elimine la posibilidad de equivocarse razonando. También hay que mencionar a Leibniz, Kant y Hegel. quien fijó el término de “dialéctica” para aplicarlo a su método, donde se reconcilian la afirmación, la negación y la negación de la negación (tesis, antítesis, síntesis).

En 1780 Étienne Bonnot de Condillac (+ 1780) publicó su obra La lógica o los primeros desarrollos del arte de pensar, que había escrito en 1777. Aquí su objetivo consiste en definir lo que es pensar bien o correctamente. No se trata de una teoría de las proposiciones, sino el arte del análisis, que introduce el arte de los sistemas. Pensar bien es hacerlo en conformidad con lo que la naturaleza nos enseña por la vía del placer y del dolor, usando la más natural de las faculta des del espíritu, es decir, el análisis, que nos permite pasar de lo conocido a lo desconocido.

5.2. HISTORIA DE LA LÓGICA SIMBÓLICA

5.2.1. La lógica simbólica

También llamada lógica matemática, o logística. A veces se denomina, sencillamente, lógica moderna, o formal o cálculo lógico.

La lógica matemática o simbólica no es sustancialmente diferente de la lógica formal. por ejemplo, de Aristóteles. En efecto, éste, para resaltar las relaciones y prescindir de los contenidos concretos, materiales, usaba variables; en vez de emplear una proposición del tipo “todo conejo es herbívoro”, utilizaba fórmulas como “todo A es B”; describía las relaciones formales del silogismo con expresiones corno “si B pertenece a A y C pertenece a B, entonces C pertenece a A”.

De este modo, la lógica matemática o formal pretende llevar más adelante el método simbólico de Aristóteles. Así, no sólo simboliza sujetos y predicados, sino también las cópulas o conectivas. Además, se dedica primordialmente a la lógica proposicional, parte de la lógica prácticamente ausente en los manuales de lógica tradicionales, exceptuando la presentación de los llamados “silogismos hipotéticos”.

La lógica matemática es, por tanto, la lógica simbólica o formal llevada a su último refinamiento, tendiendo por objeto la pretensión -entre otras cosas- de hacer resaltar lo puramente formal y de presentar en un solo golpe de vista grupos enteros de frases. Su culminación es establecimiento de los sistemas lógicas o sistemas deductivos.

5.2.2. La lógica simbólica en la historia

Se ha considerado al mallorquín Raimundo Lulio como el inventor de la lógica matemática; en su lógica algebraica los términos son representados por letras; Lulio se interesaba por la lógica para construir la teología. También se encuentran valiosos elementos de lógica formal en Juan de Santo Tomás.

Por su parte Leibniz esbozó sistemas lógico-simbólicos, tanto intensivos como extensivos. Leibniz, en su trabajo como diplomático, observó que la gente no se ponía de acuerdo por la oscuridad de sus explicaciones, por el apasionamiento, etc. Por eso concibió la idea de crear un lenguaje artificial al que se podría traducir nuestra ciencia. Con símbolos artificiales y, por tanto, neutros -supuestamente al menos-, se calcularía de modo mecánico y perfectamente seguro. Leibniz escribió diversos opúsculos lógicos que cayeron en el olvido; su meta diplomática era demasiado simplista, ya que suponía que nuestras posiciones políticas, ideológicas, etc. podrían reducirse a elementos atómicos lógicos o que podrían solucionarse simplemente con entendernos; la condición de posibilidad no es una condición suficiente.

En el siglo XIX hubo un renacimiento de la lógica formal después de unos tres siglos en que se tiende a mezclar la lógica con la psicología.

A mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos George Boole (1815-1864) y Augustus De Morgan. Ch.S. Peirce (1839-1914), que llama a su sistema Algebra General de la Lógica, es uno de los autores que amplían la obra empezada por Boole, elaborando algebraicamente la lógica de las relaciones; ahí surge la idea de que la lógica de enunciados es la base de la lógica en general. Boole tuvo la intuición de que las leyes del pensamiento son algebraicas y, por tanto, absolutamente formales. Ambos abren un nuevo campo a la lógica, hoy conocido como lógica simbólica o moderna, que más tarde fue desarrollada por el matemático Gottlob Frege (1848-1925) y de un modo especial por Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en Principia Mathematica (3 vols., 1910-1913), quienes intentaran deducir la matemática exclusivamente a partir de la lógica. Esta obra marcó, ya en 1910, el apogeo del desarrollo puramente formal de la lógica matemática.

Posteriormente Ludwig Wittgenstein (1889-1951) introdujo el análisis de proposiciones mediante las tablas veritativas.

Jan Lukasiewicz (1878-1956) formaliza una lógica formal en la que la ley del tercero excluso no rige, al menos no de la manera tradicional, ya que se supone que las proposiciones pueden ser verdaderas, falsas, o, además, indeterminadas.

Alfred Tarski (1902-1983) y otros, inician el estudio riguroso de la semántica o condiciones de significación y de verdad.

También son de primera importancia los teoremas lógicas que tratan no ya de principios concretos sino de sistemas enteros de lógica. Kurt Gödel (1906-1978) demostró en 1931 que no hay posible método de decidibilidad para la matemática, es decir, que no hay ni habrá nunca un mecanismo de determinar la validez de las proposiciones matemáticas. Puesto que semejante método o técnica de decisión existe para la lógica, la prueba de Gödel rompe definitivamente el sueño de Russell y de Frege de identificar lógica y filosofia (lo que se llama logicismo).

A partir de la II Guerra Mundial se ha puesto mucho énfasis en la historia de la lógica, sobre todo por parte de la escuela polaca de lógica fundada por I.M. Bochenski (nacido en 1902), que incluye a A. Menne, G. Kung, I. Thomas, etc. Esta escuela ha intentado señalar las semejanzas entre las teorías antiguas, medievales y contemporáneas. Han trabajado en este sentido los filósofos ingleses William y Martha Knelae.

Tanto la lógica simbólica como la clásica asumen en sus formas más corrientes que cualquier proposición bien elaborada puede ser o verdadera o falsa. En años recientes se han desarrollado sistemas de la llamada lógica combinatoria: una afirmación puede tener un valor distinto a verdadero o falso. En algunos supuestos es sólo un tercer valor neutro, en otros es un valor de probabilidad expresado como una fracción que oscila entre O y 1 o entre -l y +1. También se han llevado a cabo serios trabajos por desarrollar sistemas de lógica modal, con el objeto de representar las relaciones lógicas entre las afirmaciones de posibilidad e imposibilidad, de necesidad y contingencia. Otra vía es la que supone lógica deóntica: la investigación de las relaciones lógicas entre órdenes o entre afirmaciones de obligación.

5.3. LA LÓGICA DE ARISTÓTELES

5.3.1. El proyecto de Aristóteles

La opinión de que la lógica comienza con Aristóteles se debe a varias razones. Una es que fue el primero en formalizar las expresiones, esto es, en emplear variables para los términos, para poder analizar mejor las inferencias entre enunciados. Fue también el primero en concebir la lógica como el estudio de la inferencia formalmente válida, y quien construyó el primer sistema de lógica de términos. Pero, además de la lógica sensu estricto, en las obras de Aristóteles aparecen los siguientes temas: estudios acerca del uso de los términos en el lenguaje ordinario; estudios sobre el arte de la argumentación y de la retórica; estudios de metodología de la ciencia, incluida su concepción del método inductivo; el estudio de la organización de los sistemas deductivos; y finalmente la teoría del razonamiento deductivo o silogístico.

La organización del saber en un sistema de ciencias comienza en Aristóteles planteándose el problema de la forma general de la ciencia. Y así, Aristóteles distinguía las ciencias en tres grandes grupos:

a) Ciencias teoréticas, física, matemática y filosofía que tienen como objeto el ser en algunos de sus aspectos especiales o el ser en general[1]

b) Ciencias prácticas o normativas, de las cuales la principal es la política, teniendo por objeto la acción.

c) Ciencias poiéticas, que regulan la producción de los objetos.

Estas tres especies de ciencia, en cuanto son todas igualmente ciencias, poseen en común la forma, esto es, la naturaleza de su proceder. Considerando aparte tal forma mediante la abstracción de que cada ciencia se sirve para aislar y determinar su objeto, se obtiene una disciplina que describe el procedimiento común de todas las ciencias en cuanto tales; y tal disciplina es la lógica, que Aristóteles fue el primero en concebir y fundar como ciencia independiente, utilizando y sistematizando las observaciones y los resultados de sus predecesores y especialmente de Platón. Pero evidentemente el valor de una lógica así entendida depende de la legitimidad de distinguir la forma general de las ciencias de su contenido, esto es, del objeto particular de cada una: depende, es decir, de la legitimidad de la abstracción por cuyo medio cada ciencia singular, incluida la filosofía, logra determinar su objeto. A su vez, la legitimidad de la abstracción se funda en la teoría de la sustancia.

Considerar la forma por separado de cualquier contenido particular, es procedimiento legítimo solamente cuando la forma sea, al mismo tiempo, la sustancia, esto es, la esencia necesaria de lo que se considera. Si la forma no tuviese la validez absoluta que le confiere el ser y no fuese ella sola la sustancia de aquello de que es forma, considerarla aparte mediante la abstracción sería una falsificación injustificable. La abstracción se justifica, por tanto, solamente como consideración de la esencia necesaria de una cosa separada de sus particularidades contingentes. La lógica, como procedimiento analítico, esto es, resolutivo de la forma del pensamiento como tal, se funda, pues, en la metafísica como teoría de la sustancia, y se sostiene o cae con ella.

En la concepción aristotélica de la lógica hay una vacilación entre dos ideas. Por un lado, la lógica es concebida, en tanto que órgano, como prolegómeno de toda investigación científica, filosófica o simplemente perteneciente al lenguaje ordinario. Por eso la lógica no es una parte de la filosofía; es, a lo sumo, el pórtico que permite pasar a cualquiera de sus partes (la teórica, la práctica y la poética o productiva). Por otro lado, la lógica aparece como el análisis de los principios según los cuales se halla articulada la realidad. Así como el primado de la definición y de la dialéctica en Platón podía ser considerado como la consecuencia del interés de este autor por el “qué” de las cosas, el primado del razonamiento (sobre todo silogístico) en Aristóteles podría ser considerado como la consecuencia del interés de este pensador por el “porqué” de las cosas. La lógica de Aristóteles parece seguir el tratado de una ontología general. Esto se manifiesta en una serie de proposiciones que pueden resumirse del siguiente modo: a) la lógica es un instrumento para el pensar y supone un pensamiento; b) el pensamiento supone una realidad pensada, pues el pensar carece de espontaneidad y es sólo relativo, c) es necesario, en vista de ello, desarrollar una teoría del concepto como expresivo del ser “constitutivo” de lo real, d) la lógica puede de este modo convertirse en ciencia de los principios de lo que es.

5.3.2. La lógica como técnica del pensamiento

En un pasaje de la Metafísica[2] en que parece que Aristóteles considera la lógica como técnica indispensable para la investigación, tiene buen cuidado de añadir que la consideración de los principios silogísticos corresponde al filósofo y a quien especula sobre la naturaleza de cualquier sustancia. Así, él mismo reconduce la lógica a su supuesto indispensable: la teoría de la sustancia.

Por otra parte, esta teoría es el fundamento de la verdad de todo conocimiento intelectual. La forma es a la vez ratio essendi y ratio cognoscendi del ser: en tanto que ratio essendi es sustancia, en tanto que ratio cognoscendi es concepto. La forma, pues, garantiza la correspondencia entre el concepto y la sustancia y, por tanto, la verdad del conocimiento y la racionalidad del ser. Por esto Aristóteles puede decir que el ser y la verdad se hallan en relación recíproca: que, por ejemplo, si el hombre existe, la afirmación de que el hombre exista, es verdadera; y recíprocamente si es verdadera la afirmación de que el hombre exista, el hombre existe. Pero Aristóteles añade que en esta relación el fundamento es la realidad y que la realidad no es tal porque la afirmación que la concierne sea verdadera, sino que la afirmación es verdadera porque la realidad es tal como ella la expresa[3]. En otros términos, la verdad del concepto se funda en la sustancialidad de la forma y no viceversa: la metafísica precede y fundamenta la lógica.

5.3.3. La lógica como propedéutica para el estudio del ser

No puede, pues, afirmarse que Aristóteles haya querido fundar la lógica como ciencia formal en el sentido moderno del término, o sea, de ciencia sin objeto o sin contenido, constituida únicamente por proposiciones tautológicas. Según Aristóteles, la lógica tiene un objeto y este objeto es la estructura de la ciencia en general que luego es la misma estructura del ser que es objeto de la ciencia. Precisamente sobre esta base, Aristóteles afirma que la lógica debe analizar el lenguaje apofántico o declarativo, que es el propio de las ciencias teoréticas, en el cual tienen lugar las determinaciones de verdadero y falso según que la unión o la separación de los signos (en que consiste una proposición) reproduzca o no la unión o la separación de las cosas.

5.3.4. El lenguaje apofántico

Y en efecto, la poética y la retórica que se ocupan de lenguajes no apofánticos, los trata Aristóteles aparte y subordinados a la analítica. El lenguaje apofántico no tiene nada de convencional. Según Aristóteles, las palabras del lenguaje son convencionales: tanto es así que de una lengua a otra son distintas. Pero las palabras se refieren a “afectos del alma que son los mismos para todos y constituyen imágenes de objetos que son los mismos para todos”[4].

Por tanto, se puede decir que, para Aristóteles, el lenguaje es convencional en su diccionario, no en su sintaxis: en consecuencia, la lógica ha de mirar a esta sintaxis para analizar la estructura fundamental del conocimiento científico y del ser.

5.3.5. La estructura de la proposición

Las partes del Órganon aristotélico, en el orden en que han llegado a nosotros, tratan de objetos que van de lo simple a lo complejo, comenzando por los más sencillos, por los elementos. Estos elementos se consideran y se clasifican en las Categorías. “Categorías” significa “predicados” o géneros supremos del ser.

En el libro Sobre la interpretación, Aristóteles examina aquellas combinaciones de términos que se llaman enunciados declarativos o proposiciones, es decir, las frases que constituyen asertos pero no plegarias, órdenes, exhortaciones, etc. El aserto puede ser afirmativo o negativo según que “atribuya algo a algo” o que “separe algo de algo”. Además, puede ser universal o singular: es universal cuando el sujeto es universal (entendiéndose por universal “lo que por naturaleza se predica de varias cosas”), por ej., hombre; es singular cuando el sujeto es un ente solo, por ej., Kalias. Pero un mismo término universal puede emplearse en una proposición tanto en su universalidad, como cuando se dice “todo hombre es blanco”, como en su particularidad, como cuando se dice “algún hombre es blanco”. Aristóteles se preocupa de establecer la relación entre la proposición universal y la proposición particular, cada una de las cuales a su vez puede ser afirmativa o negativa.

5.3.6. Los tipos de enunciados: clasificación

Aristóteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma “S es P” donde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es un concepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o entidad concreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos un enunciado singular, mientras que en el segundo caso nos las habemos con un enunciado conceptual o general.

En los Analíticos Anteriores sólo se consideran los enunciados conceptuales o generales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos.

El enunciado es una oración que afirma o niega algo de algo, y es universal, particular o indefinido. “Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidad”[5].

El enunciado universal (afirmativo) contiene un cuantificador universal, es decir, una expresión lingüística como “cada”, “todos”, o “para todo”, y atribuye el predicado universalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es aplicable a todas las cosas a las que se aplica el concepto sujeto.

El enunciado particular (afirmativo) contiene un cuantificador particular, es decir, una expresión lingüística como “algún” o “hay” o “para algún”, y atribuye el predicado particularmente al sujeto, es decir, sólo afirma que el concepto-predicado es aplicable a algunas cosas a las que también se aplica el concepto-sujeto.

El enunciado indefinido es un enunciado conceptual o general que carece de cuantificadores, por lo que no está claro si el predicado se atribuye universal o particularmente al sujeto.

Una de las invenciones más notables de Aristóteles consistió en la introducción de variables o letras esquemáticas en la lógica. No llegó a introducir variables para individuos, pero sí para conceptos o entidades abstractas. Utilizaba letras mayúsculas para referirse indistintamente a conceptos cualesquiera.

División aristotélica de los enunciados simples en ocho tipos, según su cuantificación y su carácter afirmativo o negativo:

   

Afirmativo

Negativo

   

S es P

S no es P

Enunciado

Universal

Todo S es P

Ningún S es P

 

Particular

Algún S es P

Algún S no es P

 

Indefinido

S es P

S no es P

En su exposición definitiva, la lógica aristotélica no conoce mas que cuatro tipos de enunciados (simples), los tipos que los lógicos medievales designaron mediante las letras A, E, I, O, correspondientes a los enunciados universales afirmativos (A), universales negativos (E), particulares afirmativos (I) y particulares negativos (O).

 

A afirmativo

Todo S es P

P pertenece a todo S

Universal

   
 

E negativo

Ningún S es P

P no pertenece a ningún S

     
 

I afirmativo

Algún S es P

P pertenece a algún S

Particular

   
 

O negativo

Algún S no es P

   

P no pertenece a algún S

5.3.7. Oposición entre enunciados. El cuadro lógico

Aristóteles inició su estudio sistemático de las relaciones lógicas entre enunciados con la consideración de la oposición. La oposición entre enunciados puede ser de dos tipos: oposición contradictoria y oposición contraria.

La oposición contradictoria o contradicción se da entre dos enunciados de los cuales uno es la negación del otro. Por el principio del tercio excluso, al menos uno de ellos ha de ser verdadero y, por el principio de contradicción, el otro ha de ser falso. La contradicción se da entre dos enunciados singulares del tipo “s es P” y “s no es P”. Pero estos enunciados no juegan ningún papel en la lógica de Aristóteles. La contradicción se da también – y esto sí juega un papel importante en su lógica – entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado particular negativo, es decir, entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “algún S no es P”. Igualmente se oponen contradictoriamente un enunciado universal negativo y el correspondiente particular afirmativo, es decir, dos enunciados de los tipos “ningún S es P” y “algún S es P”.

“Todo A es B” es el contradictorio de “algún A no es B”

“Ningún A es B” es el contradictorio de “algún A es B”

“Algún A es B” es el contradictorio de “ningún A es B”

“Algún A no es B” es el contradictorio de “todo A es B”

Cada enunciado es equivalente a la negación de su contradictorio. Por tanto, si negamos un enunciado, hemos de afirmar su contradictorio. Si afirmamos un enunciado hemos de negar su contradictorio.

La oposición contraria o contrariedad se da entre dos enunciados que no pueden ser ambos verdaderos, sino que al menos uno de ellos ha de ser falso. También los dos pueden ser falsos. Si el uno es verdadero, el otro es falso. Pero si el uno es falso, el otro puede ser tanto verdadero como falso. La contrariedad se da entre un enunciado universal afirmativo y el correspondiente enunciado universal negativo, es decir, entre dos enunciados de los tipos “todo S es P” y “ningún S es P”.

“Todo A es B” es el contrario de “ningún A es B”

“Ningún A es B” es el contrario de “todo A es B”

Leyes de la oposición contradictoria:

1. Si no (todo A es B), entonces (algún A no es B)

2. Si no (ningún A es B), entonces (algún A es B)

3. Si no (algún A es B), entonces (ningún A es B)

4. Si no (algún A no es B), entonces (todo A es B)

Leyes de la oposición contraria:

1. Si (todo A es B), entonces no (ningún A es B)

2. Si (ningún A es B), entonces no (todo A es B).

Estas dos leyes son inválidas desde el punto de vista de la lógica actual.

Así pues, un silogismo es una proposición hecha de una de estas cuatro afirmaciones posibles. He aquí el famoso cuadro lógico:

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A “Todo A es B” (universal afirmativo) <——CONTRARIAS—– > E “Ningún A es B” (universal negativo)

       
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clip_image004 (Todo hombre es honrado) (Ningún hombre es honrado)

SUBALTERNAS

SUBALTERNAS

CONTRADICTORIAS

I “Algún A es B” (particular afirmativo) <—–CONTRARIAS— > O “Algún A no es B” (particular negativo)

(Algún hombre es honrado) (Algún hombre no es honrado)

En este cuadro se observan las diversas relaciones de oposición que admite un mismo enunciado, según su cualidad y su cantidad.

a) Contradictorias (A-O; I-E). Una es la simple negación de la otra, y por eso no admiten grados intermedios. Si una es verdadera, la otra es falsa, y viceversa.

b) Contrarias: (A-E): No pueden ser a la vez verdaderas, pero como admiten grados intermedios, pueden ser a la vez falsas (como ocurre en el ejemplo propuesto).

e) Subcontrarias (1-O): No pueden ser falsas a la vez, pero sí pueden ser simultáneamente verdaderas.

d) Subalternas (A-I; E-O). Si la universal es verdadera, también lo es la particular; pero no viceversa. Y si la particular es falsa, también lo es la universal, pero no al revés.

Aquí las letras sustituyen a palabras comunes como “hombre”, “animal racional”, o “cosa viviente”, llamadas términos del silogismo. Un silogismo bien formulado consta de dos premisas y una conclusión, debiendo tener cada premisa un término en común con la conclusión y un segundo término relacionado con la otra premisa.

El esquema fue construido en esta forma (que refleja exactamente la doctrina aristotélica) por los lógicos medievales que lo llamaron “cuadrado de los opuestos” y que indicaron las varias especies de proposición con las letras mayúsculas que figuran en el mismo. Aristóteles llamó contraria a la oposición entre la proposición universal afirmativa y la negativa y contradictoria a la oposición entre la universal afirmativa y la particular negativa, y la particular afirmativa y la universal negativa. La relación entre la particular afirmativa y la particular negativa la llamaron los lógicos medievales oposición sub-contraria. Se trata de una oposición para la cual, según Aristóteles, no vale el principio de contradicción. En efecto, de las dos proposiciones “algún hombre es blanco”, “algún hombre no es blanco”, ambas pueden ser verdaderas. En cambio para las proposiciones que se hallan entre sí en oposición contraria y contradictoria, el principio de contradicción es rigurosamente válido. Una de las dos tiene que ser falsa y la otra tiene que ser verdadera. Esta segunda exigencia (esto es, que una de las dos tiene que ser verdadera es la expresada por el principio que mucho después se llamó de “tercero excluso” y que Aristóteles aunque sin distinguirlo del principio de no-contradicción, expresó y defendió repetidamente afirmando que “entre los opuestos contradictorios no hay medio”[6].

5.3.8. Conversión de enunciados

Una de las razones por las que Aristóteles prescinde de los enunciados singulares en su lógica madura estriba en su deseo de poder permutar sujeto y predicado en cualquier enunciado. Ahora bien, si el sujeto es un individuo o entidad concreta, es imposible que haga de predicado y, por tanto, la permutación es imposible. Pero si tanto el sujeto como el predicado son conceptos o entidades abstractas, entonces la permutación es siempre posible. Por eso Aristóteles limita su consideración a los enunciados conceptuales o generales.

La conversión de un enunciado consiste en la permutación de su sujeto y su predicado. El enunciado conserva los mismos conceptos, pero el concepto que hacía de predicado pasa a hacer de sujeto, y a la inversa. Naturalmente, no siempre la verdad de un enunciado garantiza la verdad del enunciado que resulta de la permutación de sus conceptos.

Los enunciados universales negativos y los particulares afirmativos pueden convertirse siempre; los enunciados particulares negativos no pueden convertirse nunca; los enunciados universales afirmativos pueden convertirse sólo a condición de transformar su cuantificación de universal en particular. Aristóteles obtiene las siguientes leyes lógicas de la conversión:

1. Si (ningún A es B), entonces (ningún B es A)

2. Si (algún A es B), entonces (algún B es A)

3. Si (todo A es B), entonces (algún B es A)

5.3.9. El razonamiento y el silogismo en Aristóteles

Los Primeros analíticos contienen la teoría aristotélica del razonamiento. Según Aristóteles el razonamiento típico es el deductivo o silogismo: definido como “un discurso en el que planteadas algunas cosas, se siguen otras por necesidad”[7].

Aristóteles define el silogismo del siguiente modo: El silogismo es un discurso en el cual, puestas ciertas cosas, algo distinto de las cosas puestas se sigue necesariamente de ellas, como consecuencia suya, y sin que sea preciso introducir ningún otro término para justificar la necesidad de la conclusión.

Esta definición vale para cualquier deducción. Sin embargo, Aristóteles usa la palabra “silogismo” para referirse no a cualquier deducción, sino a un tipo muy especial de ella, la formada por tres enunciados (dos premisas y una conclusión), cada uno de los cuales es de uno de los cuatro tipos “todo S es P”, “ningún S es P”, “algún S es P”, o “algún S no es P”, donde S y P son términos generales (o conceptos) cualesquiera, y tales que en los tres enunciados juntos aparecen exactamente tres términos o conceptos, no más ni menos.

Las características fundamentales del silogismo aristotélico son:

a) Su carácter mediato

b) Su necesidad

El carácter mediato del silogismo depende del hecho que el silogismo es la contraparte lógico-lingüística del concepto de sustancia. En virtud de ello, la relación entre dos determinaciones de una cosa se puede establecer sólo sobre la base de lo que la cosa es necesariamente, o sea, de su sustancia: por ejemplo, si se quiere decidir si el hombre es mortal, no se puede más que mirar a la sustancia del hombre (a lo que el hombre no puede no ser) y razonar así: todo animal es mortal, todo hombre es animal, luego todo hombre es mortal. La determinación “animal”, necesariamente incluida en la sustancia “hombre”, permite concluir en la mortalidad del propio hombre. En este sentido se dice que la noción “animal” hace de término medio del silogismo: éste representa en el silogismo la sustancia, o la causa o la razón, que sólo hace posible la conclusión: el hombre es mortal porque, y sólo porque, es animal. Por tanto, el silogismo tiene tres términos:

a) El sujeto

b) El predicado de la conclusión

c) El término medio. La función del término medio es la que determina las figuras del silogismo.

5.3.10. Las cuatro figuras

Según el análisis que hace Aristóteles, para que las premisas impliquen la conclusión, es preciso que en ellas aparezcan los dos conceptos de la conclusión (a los que llamaremos extremos), uno en cada premisa y, además, un concepto nuevo, que no aparece en la conclusión, pero que aparece en ambas premisas (al que llamaremos medio). ¿Cómo clasificar estas combinaciones? En primer lugar, en figuras.

Las figuras (skhémata) son las formas que reviste el silogismo según la posición que el término medio ocupe en las premisas. Caben, según Aristóteles, cuatro figuras.

Así, en la primera figura, el término medio hace de sujeto en la primera premisa y de predicado en la segunda. En la segunda figura, el término medio hace de predicado en ambas premisas (por ej.; “Ninguna piedra es animal, todo hombre es animal, luego ningún hombre es piedra”). En esta figura, una de las premisas y la conclusión son negativas. En la tercera figura, el término que hace de sujeto en ambas premisas (por ej.: “Todo hombre es sustancia, todo hombre es animal, luego algún animal es sustancia”). En esta figura, la conclusión es siempre particular. Cada una de las tres figuras se divide luego en una variedad de modos, según sean las premisas universales o particulares, afirmativas o negativas. Algunos añaden también una cuarta figura. Helas aquí:

Primera Figura

Segunda Figura

Tercera Figura

Cuarta Figura

M es P

P es M

M es P

P es M

S es M

S es M

M es S

M es S

S es P

S es P

S es P

S es P

La primera figura se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una premisa, el predicado de la conclusión es predicado de otra premisa y el concepto medio es predicado de una premisa y sujeto de otra. La formulación aristotélica original de la ley de este ejemplo es la siguiente: Si A se predica de todo B y B se predica de todo C, entonces necesariamente A se predica de todo C[8] .

La segunda figura se da cuando el sujeto de la conclusión es sujeto de una premisa, el predicado de la conclusión es sujeto de la otra premisa y el concepto medio es predicado de ambas premisas.

La tercera figura se da cuando el sujeto de la conclusión es predicado de una premisa, el predicado de la conclusión es predicado de la otra premisa y el concepto medio es el sujeto de ambas.

5.3.11. Los modos silogísticos y sus figuras

Modos son las configuraciones de cada figura, según que las premisas sean A, E, I, 0. Las combinaciones posibles de estas cuatro proposiciones en una figura de 3 proposiciones (43) son 64, que para las 4 figuras da un total de 256 posibilidades. Sin embargo, según las reglas de la deducción, sólo 19 casos son lícitos. Los lógicos medievales los denominaban con reglas mnemotécnicas: cada caso legítimo recibe un nombre cuyas tres vocales indican el tipo de proposiciones de la premisa mayor, la menor y la conclusión.

Cuatro son las combinaciones de la primera figura que Aristóteles reconoce explícitamente como implicaciones, como silogismos, y éstas son sus correspondientes leyes lógicas:

a) BARBARA: Si todo A es B y todo B es C, entonces todo A es C

b) CELARENT: Si todo A es B y ningún B es C, entonces ningún A es C

c) DARII: Si algún A es B y todo B es C, entonces algún A es C

d) FERIO: Si algún A es B y ningún B es C, entonces algún A no es C

En la segunda figura reconoce Aristóteles cuatro combinaciones como dando lugar a la implicación de la conclusión por las premisas, como silogismos.

a) CESARE: Si todo A es B y ningún C es B, entonces ningún A es C

b) CAMESTRES: Si ningún A es B y todo C es B, entonces ningún A es C

c) FESTINO: Si algún A es B y ningún C es B, entonces algún A no es C

d) BAROCO: Si algún A no es B y todo C es B, entonces algún A no es C

En la tercera figura reconoce Aristóteles seis combinaciones en las cuales las premisas implican la conclusión, seis silogismos:

a) DARAPTI: Si todo B es A y algún B es C, entonces algún a es C

b) FELAPTON: Si todo B es A y algún B no es C, entonces algún A no es C

c) DISAMIS: Si algún B es A y todo B es C, entonces algún A es C

d) DATISI: Si algún B es A y ningún B es C, entonces algún A no es C

e) BOCARDO: Si todo B es A y todo B es C, entonces algún A es C

f) FERISON: Si todo B es A y ningún B es C, entonces algún A no es C

Para la cuarta figura los medievales encontraron lo siguiente:

a) BAMALIP: Si todo C es B y todo B es A, entonces algún A es B

b) CAMENES: Si todo C es B y ningún B es A, entonces ningún A es C

c) DIMATIS: Si algún C es B, y todo B es A, entonces algún A es C

d) FESAPO: Si ningún C es B y todo B es A, entonces algún A no es C

e) FRESISON: Si ningún C es B y algún B es A, entonces algún A no es C

PRIMERA FIGURA

BARBARA

CELARENT

DARII

FERIO

MAP

MEP

MAP

MEP

SAM

SAM

SIM

SIM

SAP

SEP

SIP

SOP

SEGUNDA FIGURA

CESARE

CAMESTRES

FESTINO

BAROCO

PEM

PAM

PEM

PAM

SAM

SEM

SIM

SOM

SEP

SEP

SOP

SOP

TERCERA FIGURA

DARAPTI

FELAPTON

DISAMIS

DATISI

BOCARDO

FERISON

MAP

MEP

MIP

MAP

MOP

MEP

MAS

MAS

MAS

MIS

MAS

MIS

SIP

SOP

SIP

SIP

SOP

SOP

CUARTA FIGURA

BAMALIP

CAMENES

DIMATIS

FESAPO

FRESISON

PAM

PAM

PIM

PEM

PEM

MAS

MES

MAS

MAS

MIS

SIP

SEP

SIP

SOP

SOP

Aristóteles desarrolló esta casuística de los modos silogísticos que luego, en la lógica medieval encontraría su complemento incluso en relación con los desarrollos que la lógica misma experimentó en la antigüedad por obra de los aristotélicos y de los estoicos. El silogismo es por definición una deducción necesaria: por eso su forma primaria y privilegiada es el silogismo necesario que Aristóteles llama también demostrativo o científico. De los silogismos necesarios, la primera y mejor especie es la de los silogismos ostensivos que Aristóteles contrapone a los que parten de una hipótesis. Estos últimos no son los que luego se llamarán “hipotéticos (en los que la premisa mayor está constituida por una condicional), sino aquellos cuya premisa mayor no es la conclusión de otro silogismo ni es evidente de por sí, sino que se emplea por vía de hipótesis. Uno de estos silogismos es el que opera la reducción al absurdo. Entre los silogismos ostensivos, los más perfectos son los silogismos universales de la primera figura, a los cuales se pueden reducir todas las otras formas del silogismo. Por último, del silogismo deductivo se distingue el silogismo inductivo o inducción, que es otra de las dos vías fundamentales por las cuales el hombre alcanza las propias creencias.

“Llamo silogismo perfecto al que no necesita nada fuera de lo puesto en las premisas para hacer evidente la necesidad de la conclusión. Llamo silogismo imperfecto al que [para hacer evidente la necesidad de la conclusión] necesita de una o varias cosas que no aparecen explícitamente en las premisas, aunque se siguen necesariamente de ellas”[9].

Un silogismo perfecto es evidentemente válido. Un silogismo imperfecto es igualmente válido, pero su validez no es evidente, sino que ha de ser mostrada con ayuda de un silogismo perfecto. Aristóteles elige como axiomas de la silogística a los silogismos de la primera figura, por ser éstos los únicos perfectos y evidentes.

¿Por qué son evidentes los silogismos de la primera figura? Porque en esta figura y sólo en ella: 1) la primera premisa acaba con el mismo concepto con que empieza la segunda, lo que facilita la intelección; 2) el concepto medio ocupa efectivamente el puesto medio, lo que evidencia su papel mediador; 3) el primer y último conceptos del antecedente (o unión de las dos premisas) son el primer y último conceptos del consiguiente (o conclusión). Además, en el primer silogismo de la primera figura, que es el más evidente de todos, el concepto sujeto de la conclusión o concepto menor tiene una extensión menor que el concepto medio, que tiene una extensión intermedia entre los otros dos y, por tanto, menor que la del concepto predicado de la conclusión o concepto mayor.

Los silogismos de las figuras segunda y tercera son válidos, pero su validez no es evidente, sino que sólo se patentiza reduciéndolos a los de la primera figura.

5.3.12. La inducción y la deducción

La inducción, según Aristóteles, es una deducción que, en lugar de deducir un extremo de otro mediante el término medio (por ej., la mortalidad del hombre mediante el concepto de animal), como hace el silogismo verdadera y propiamente tal, deduce el término medio de un extremo, valiéndose del otro extremo. Por ejemplo, después de haber constado que el hombre, el caballo y el mulo (primer término) son animales sin bilis (término medio) y que el hombre, el caballo y el mulo son longevos (segundo término), deduce que todos los animales sin bilis son longevos: en cuya conclusión aparece el término medio y un extremo. El “ser sin bilis” es, en este caso, el término medio porque es la razón o la causa, por la que el hombre, el caballo y el mulo son longevos. La inducción es válida sólo si se agotan todos los casos posibles; si, en el ejemplo propuesto, el hombre, el caballo y el mulo son todos los animales sin bilis. De ahí que la inducción sea de uso limitado y no pueda suplantar al silogismo deductivo, aunque para el hombre es un procedimiento más fácil y claro. Por eso afirma Aristóteles que la inducción puede usarse, no en la ciencia, sino en la dialéctica y en la oratoria, es decir, como instrumento de ejercicio o de persuasión.

5.3.13. Silogismos: premisas y validez

En los Segundos Analíticos Aristóteles examina las premisas del silogismo y el fundamento de su validez. Aristóteles parte del principio que “toda doctrina o disciplina deriva de un conocimiento preexistente”[10]. Para que el silogismo concluya necesariamente, las premisas de donde deriva deben también ser necesarias. Y para ser tales, han de ser, en sí mismas, principios verdaderos, absolutamente primeros e inmediatos; y respecto a la conclusión, más cognoscibles, anteriores a la conclusión y causas de ella. “Inmediatos” quiere decir que son indemostrables, como evidentes por sí mismos, ya que si no fueran tales, serían principios de los principios y así sucesivamente hasta el infinito. Algunos de estos principios son comunes a todas las ciencias, otros son principios de cada ciencia. Común es, por ejemplo, el principio: si de dos objetos iguales se sustraen objetos iguales, los restos son iguales. En cambio, son propios los siguientes principios de geometría: línea tiene una naturaleza de esta manera; la línea recta tiene una naturaleza de esta manera, etc. Pero los principios, sobre todo los principios propios, según Aristóteles, no son sino definiciones y las definiciones son posibles sólo de la sustancia o de la esencia necesaria. La validez de los principios en que se funda la ciencia, consiste, pues, en ser ellos expresión de la sustancia, o mejor aún, del género de sustancias sobre las que versa una ciencia particular; y como la sustancia es causa de todas sus propiedades y determinaciones como los principios son causa de las conclusiones que el silogismo deriva de ellos, todo el conocimiento es conocimiento de causas.

5.3.14. La dialéctica

Por otra parte, mientras en los Primeros Analíticos y en los Segundos Analíticos Aristóteles se aplica al objeto de la ciencia, los Tópicos se aplica a la dialéctica. Esta se distingue de la ciencia por la naturaleza de sus principios: los de la ciencia son necesarios, absolutamente verdaderos; los de la dialéctica son sólo probables, esto es, “parecen aceptables a todos o a los más o a los sabios y, entre estos, o a todos o a los más o a los más ilustres”. Así, la ciencia que para Platón era la primera, la Dialéctica queda relegada en Aristóteles a una zona marginal de la ciencia, inferior a ella.

Finalmente, en los Electos sofísticos o Refutaciones sofísticas Aristóteles examina los razonamientos erísticos o refutadores de los sofistas. Entiende los razonamientos erísticos aquellos cuyas premisas no son ni necesarias (como las premisas para las ciencias) ni probables (corno las de la dialéctica), sino son sólo aparentemente probables. Los argumentos erísticos son denominados “sofismas” por Aristóteles.

5.3.15. Reglas de la validez de los silogismos

Para que un silogismo sea válido debe cumplir algunas condiciones:

a) Al menos una premisa debe de ser afirmativa

b) Si una premisa es negativa, la conclusión debe ser negativa.

c) Si una premisa es particular, la conclusión también será particular.

c) El término medio ha de ser universal al menos una vez.

d) Si un término es universal en la conclusión, también lo debe ser en su premisa correspondiente.

5.4. LA LÓGICA DE LOS ESTOICOS

5.4.1. La Lógica de los estoicos: introducción

Mediante el término lógica, adoptado por primera vez por Zenón, los estoicos expresaban la doctrina que tiene por objeto los lógoi, o discursos. Como ciencia de los discursos continuos, la lógica es retórica; como ciencia de los discursos divididos en preguntas y respuestas, la lógica es dialéctica.

La dialéctica se define como “la ciencia de lo que es verdadero y de lo que es falso y de lo que no es ni verdadero ni falso”[11]. Con la expresión “lo que no es ni verdadero ni falso” los estoicos probablemente entendían los sofismas o las paradojas, sobre cuya verdad o falsedad no se puede decidir, siguiendo los estoicos las huellas de los megáricos. A su vez, la dialéctica estoica se divide en dos partes, según trate de las palabras o de las cosas que significan las palabras: la que trata de las palabras es la gramática; la que trata de las cosas significadas es la lógica en sentido propio: por lo tanto, ésta tiene por objeto las representaciones, las proposiciones, los razonamientos y los sofismas[12].

Los megáricos y los estoicos fueron los primeros en estudiar la lógica de enunciados, esto es, las relaciones entre enunciados unidos por partículas como ‘y’, ‘o’, ‘si … entonces’, etc. Los megárico-estoicos se interesaron por los razonamientos que tienen la forma de argumento y no de una implicación, esto es, de series de premisas distintas afirmadas y una conclusión derivada de ellas, en vez de enunciados-premisas condicionales que implican un enunciado-conclusión. Pero lo más fundamental es que esta lógica investigaba la lógica de las partículas conectivas entre los enunciados. Los estoicos establecieron algunas leyes lógicas, como el Modus Ponens (si p entonces q, y p, por tanto q), el Modus Tollens (si p entonces q, y no q, por tanto no p) el silogismo disyuntivo (p o q, y no p, por tanto q), etc., aunque ellos los entendieron como reglas de inferencia.

5.4.2. El criterio de verdad

El problema fundamental de la lógica estoica es el del criterio de la verdad. Este es el problema más urgente para toda la filosofía postaristotélica, que considera el pensamiento únicamente como guía de la conducta; ya que si el pensamiento no posee él mismo un criterio de verdad y procede con incertidumbre y a ciegas, no puede servir de guía a la acción.

Según todos los estoicos, el criterio de la verdad es la representación cataléptica o conceptual. Dos interpretaciones son posibles del significado de esta expresión. En primer lugar, la fantasía (kataleptiké) puede consistir en la acción del intelecto que se apodera y comprende el objeto. En segundo lugar, puede ser la representación impresa en el entendimiento por el objeto, esto es, la acción del objeto sobre el entendimiento. Para Sexto Empírico la representación cataléptica es la que viene del objeto real y es impresa y marcada por él en conformidad consigo mismo, de modo que no podría nacer de un objeto diverso. Zenón, sin embargo, ponía el significado de la representación cataléptica en su capacidad de alcanzar y comprender el objeto. Él comparaba la mano abierta y los dedos extendidos a la representación pura y simple; la mano contraída que hace acto de coger, al asentimiento; la mano cerrada en puño, a la comprensión cataléptica. En fin, las dos manos apretadas una sobre otra, con gran fuerza, eran el símbolo de la ciencia, la cual proporciona la verdadera y completa posesión del objeto.

5.4.3. El asentimiento y la epoché

La representación cataléptica es, pues, relacionada con el asentimiento por parte del sujeto cognoscente, asentimiento que los estoicos creían voluntario y libre. Si el recibir una representación determinada, por ejemplo, ver el color blanco, sentir lo dulce, no está en el poder del que lo recibe, porque depende del objeto del cual se origina la sensación, el asentir a tal representación es, en cambio, un acto libre.

El asentimiento constituye el juicio; el cual se define precisamente o bien como asentimiento o como disconformidad o como suspensión, esto es, renuncia provisional al asentimiento de la representación recibida o a disentir de la misma. Según Sexto Empírico, los estoicos posteriores pusieron el criterio de la verdad, no en la simple representación cataléptica, sino en la representación cataléptica “que no tenga nada contra sí”; porque puede darse el caso de representaciones catalépticas que no sean dignas de asentimiento por las circunstancias en que son recibidas. Sólo cuando no tiene nada en contra suya, la representación cataléptica se impone con fuerza a las representaciones divergentes y obliga al sujeto cognoscente a prestar su asentimiento. De esto se deriva claramente que la representación cataléptica es la que está dotada de evidencia no contradicha, tal que solicite con gran fuerza al hombre a prestar su asentimiento, el cual, con todo, es libre. Consecuentemente, definían ciencia como una representación cataléptica o un hábito inmutable para aceptar tales representaciones, acompañadas de razonamiento y afirmaban que no hay ciencia sin dialéctica, siendo propio de la dialéctica presidir los razonamientos.

Por lo que se refiere al problema del origen del conocimiento, el estoicismo es empirismo. Todo el conocimiento humano procede de la experiencia, y la experiencia es pasividad, porque depende de la acción que las cosas externas ejercen sobre el alma, considerada como un papel (tabula rasa,) sobre el cual se registran las representaciones.

Toda representación, después de su desaparición, determina el recuerdo; un conjunto de recuerdos de la misma especie constituye la experiencia. De la experiencia nace, por un procedimiento natural, el concepto común o anticipación; pero cuando se llega al universal por medio de un procedimiento técnico, se tiene el concepto. La anticipación es el concepto natural del universal. Los conceptos son, en cambio, producidos por la instrucción o el razonamiento, y constituyen la ciencia. Es la razón, por tanto, la que procede a la formación de las nociones universales que son el fundamento de la ciencia. Pero la razón actúa, según los estoicos, sobre el material facilitado por la sensibilidad.

5.4.4. El nominalismo estoico

Los conceptos no tienen para los estoicos ninguna realidad objetiva: lo real es siempre individual y el universal subsiste solamente en las anticipaciones o en los conceptos. El estoicismo es, pues, un nominalismo, según la expresión empleada en la escolástica para designar la doctrina que niega la realidad al universal. Los conceptos más generales, las categorías, son reducidos por los estoicos a cuatro:

a) El sustrato o sustancia

b) La cualidad

c) El modo de ser

d) El modo relativo

Estas cuatro categorías están entre sí en una relación tal que la siguiente encierra la precedente y la determina. De hecho, nada puede tener un carácter relativo, si no tiene un modo de ser; no puede tener un modo de ser, si no tiene una cualidad fundamental que lo diferencia de los demás; y no puede tener esta cualidad si no subsiste por sí, y es sustancia.

El concepto más alto y más amplio, o, como decían, el género sumo, es el concepto de ser; por cuanto todo en cierto modo es, y no hay, por tanto, un concepto más extenso que éste. El concepto más determinado, en cambio, es el de especie, que no tiene otra especie debajo de sí, esto es, el individuo, por ejemplo, de Sócrates. Otros estoicos, queriendo hallar un concepto aún más extenso que el del ser, recurrieron al de algo (quid), que puede comprender también a las cosas incorpóreas y a las inexistentes.

5.4.5. La proposición y el razonamiento

La parte de la lógica estoica que ha ejercido mayor influencia en el desarrollo de la lógica medieval y moderna es la que concierne a la proposición y al razonamiento. Como fundamento de esta parte de su doctrina, los estoicos pusieron la teoría del significado que ha conservado su importancia fundamental en la lógica y en la teoría del lenguaje. Tres son los elementos que se coligan: el significado, lo que significa y lo que es. Lo que significa es la voz, por ej., “Sócrates”. El significado es la cosa señalada por la voz y a la que nosotros unimos pensando en la cosa correspondiente. Lo que es, es el sujeto externo, por ejemplo, el mismo Sócrates[13]. De estos tres elementos conexos, dos son corpóreos, la voz y lo que es; uno es incorpóreo, el significado mismo.

En otros términos, el significado es aquella función o representación o concepto que nos viene a la mente cuando oímos una palabra y que nos permite referir la palabra a una cosa determinada. Así, por ejemplo, si con la voz “hombre” entendemos un “animal racional” podemos designar con esta voz a todos los animales racionales, es decir, a todos los hombres. El concepto “animal racional” es el significado que permite la referencia de las palabras al objeto existente. Este concepto sirve de camino entre la palabra (y en general, la expresión verbal) y la cosa real o corpórea, orientada de esta manera la referencia al objeto de las expresiones lingüísticas que de otra manera serian puros sonidos, incapaces de toda conexión con las cosas. Por lo tanto, la referencia a la cosa es parte integrante del significado o, por lo menos, es un aspecto íntimamente unido a ella, pues la información en que consiste el significado no tiene más función que la de hacer posible y orientar tal referencia.

En la lógica medieval y moderna, lo que los estoicos llamaban significado ha sido expresado con otros nombres como connotación, intención, comprensión, interpretante, sentido, mientras que la referencia a la cosa ha sido llamada suposición, denotación, extensión, significado. Pero esta diversidad de terminología no ha cambiado el concepto de significado en los tres elementos fundamentales en que los estoicos lo habían analizado.

Según los estoicos, el razonamiento consiste en una conexión entre proposiciones simples del tipo siguiente: “si es noche, hay tinieblas; pero es noche, luego hay tinieblas”. Como se ve, este tipo de razonamiento no tiene nada de común con el silogismo aristotélico, pues le faltan sus caracteres fundamentales: es inmediato (no tiene término medio) y no es necesario. La falta de estos caracteres permite a los estoicos distinguir la conclusión de un razonamiento de su verdad. El razonamiento antes expuesto es verdadero sólo si es de noche, pero es falso si es de día. Sin embargo, es concluyente en todo caso, porque la conexión de las premisas con la conclusión es correcta.

5.4.6. Tipos de razonamientos

Los tipos de razonamientos concluyentes los llamaban los estoicos apodícticos o razonamientos no demostrativos. No son demostrativos por ser evidentes por sí mismos y son los siguientes:

1. Si es de día hay luz. Pero es de día. Luego hay luz.

2. Si es de día hay luz. Pero no hay luz. Luego no es de día.

3. Si no es de día, es de noche. Pero es de día. Luego no es de noche.

4. 0 es de día o es de noche. Pero es de día. Luego no es de noche.

5. 0 es de día o es de noche. Pero no es de noche. Luego es de día.

Estos esquemas de razonamientos son siempre válidos, pero no siempre son verdaderos ya que son verdaderos solamente cuando la premisa es verdadera, es decir, cuando corresponde a la situación de hecho. Sobre ellos se modelan los razonamientos demostrativos, que no sólo son concluyentes, sino que además manifiestan algo que antes era “oscuro”, es decir, algo que no es inmediatamente manifiesto a la representación cataléptica que se ve siempre limitada al aquí y ahora. Un ejemplo que los estoicos aducían es: “Si una mujer tiene leche en el pecho, ha parido; pero esta mujer tiene leche en el pecho; luego ha parido”. El razonamiento demostrativo en este sentido lo llaman los estoicos un signo indicativo por cuanto permite poner en claro lo que antes era oscuro. En cambio, son signos rememorativos aquellos que, en cuanto se presentan, hacen evidente el recuerdo de la cosa que primero ha sido observada en conexión con ellos y ahora no es manifiesta como lo es, por ejemplo, el humo con respecto al fuego. Evidentemente, los estoicos confiaban la construcción de su doctrina al razonamiento demostrativo; por ejemplo, la demostración de la existencia del alma o del alma del mundo (que es Dios) a partir de los movimientos o de los hechos que son dados inmediatamente a la representación cataléptica, es un signo indicativo en el sentido ahora explicado.

5.4.7. La lógica de los condicionales

Uno de los temas más debatidos fue la lógica de los condicionales. Dos fueron las interpretaciones principales que se dieron acerca de las condiciones de verdad de los condicionales. Según Filón de Megara, los enunciados del tipo “si … entonces” sólo son falsos cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso; en todos los demás casos es verdadero. Este condicional fue denominado por Russell implicación material, y es el usado normalmente en lógica desde Frege.

Por contra, según Diodoro de Cronos, para que un enunciado condicional sea verdadero es menester, no meramente que no sea –en ese instante– el antecedente verdadero y el consecuente falso, sino que nunca sea el antecedente verdadero y el consecuente falso. De este modo, “si es de día entonces es de noche” es siempre falso, independientemente de cuando se emita. Como para Diodoro la verdad del condicional sólo se da si constituye una implicación material siempre verdadera, podemos llamarlo implicación material permanente. Hubo incluso quienes pensaban que sólo tiene sentido considerar a un condicional verdadero cuando se da algún tipo de relación entre el contenido del antecedente y el del consecuente, de modo que no sea posible que siendo el antecedente verdadero el consecuente sea falso. Esto es lo que en este siglo C.I. Lewis ha denominado implicación estricta. Este es el tipo de implicación que se da para Aristóteles entre las premisas y la conclusión de un razonamiento, de modo que el que las premisas de un razonamiento sean falsas no basta para justificar la validez del razonamiento, sino que es menester que si las premisas fueran verdaderas, la conclusión necesariamente lo sería. En suma, sólo en la implicación estricta el consecuente es deducible del antecedente.

5.4.8. La Escuela Megárica

La escuela megárica fue fundada por Euclides (no el geómetra), un seguidor de Sócrates. Entre sus discípulos se encuentra Epimónides, a quien se ha adscrito la antinomia o paradoja del mentiroso. También hay que mencionar a Zenón de Citio (fundador del estoicismo) y a sus sucesores Cleantes y Crisipo.

Crisipo, junto con Aristóteles, fue el lógico más productivo de la antigüedad. Presenta la lógica en forma de reglas y no en forma de leyes como Aristóteles. Sobre la interdefinición de conectivas, podemos decir que gran atención le dedicaron estoicos y megáricos al sentido de las conectivas «si…entonces», «y», «o».

Se advirtió que si nos atenemos a los sentidos correspondientes a la teoría de funciones de verdad, la conectiva «si…entonces» puede ser definida en términos de «no» y de «y», que «o» puede ser definida en términos de «si…entonces» y de «no». De hecho Crisipo recomendaba que, a efectos de claridad, el condicional material se expusiese como una conjunción negada.

Un argumento, según los estoicos, “es”, un sistema compuesto de unas premisas y una conclusión. El ejemplo típico era una instancia de Modus Ponens:

1. Aquél que presenta una proposición condicional seguida de la condición. «si es de día, hay luz; ahora bien, es de día, luego hay luz».

Nótese que corresponde al modo Ponendo pones, pero corresponde más aún cuando comprobamos que los estoicos utilizaban variables de enunciado, no con letras minúsculas, como normalmente se hace en la lógica simbólica, sino con números, y así pudieron presentar este primer esquema de inferencia de la siguiente forma:

Si lo primero, entonces lo segundo, es así que lo primero, luego lo segundo.

Nótese también que aquí «lo primero» y lo «segundo» son auténticas variables de enunciado y realizan la misma función que las letras p y q.

2. Aquél que presenta la proposición condicional y o contrario de su conclusión:

Si lo primero, entonces lo segundo, no es así que lo segundo, luego no lo primero.

3. Aquél que presenta la negación de una conjunción y uno de los miembros de esa conjunción:

No a lo primero y lo segundo, es así que lo primero, luego no lo segundo.

4. Aquél que presenta una disyunción (exclusiva en su caso) y la afirmación de uno de los miembros:

O lo primero o lo segundo, es así que lo primero, luego no lo segundo.

5. Aquél que presenta una disyunción (Inclusiva en este caso) y la negación de uno de sus miembros:

Lo primero o lo segundo, no es así que lo primero luego lo segundo.

Estos tipos de inferencia son los que actualmente conocemos y utilizamos en la lógica simbólica. Bochenski, en su Historia de la lógica formal, no es partidario de hablar de una lógica estoica sin más, pues defiende la tesis de que los estoicos lo único que hicieron fue propagar la lógica megárica en numerosos y excelentes manuales. Por eso es partidario de hablar da una lógica megárico-estoica, insistiendo hay que denominar megárica a las ideas fundamentales y estoica a la elaboración técnica.

El propio Bochenski reconoce que si fue Peirce el primero en observar que la lógica estoica es una lógica sentencial, fue mérito imperecedero de Lukasiewicz haber ofrecido su interpretación correcta.

«…Con megáricos y estoicos surgió una lógica sentencial, la segunda gran creación de los griegos en el terreno de la lógica, justamente lo que faltaba casi por completo en la lógica aristotélica. Al mismo tiempo llevaron la consideración formal hasta una concepción formalista de la lógica, apoyados en una sintaxis y en una semántica pormenorizada. Esta lógica, incomprendida durante siglos, merece también que se la reconozca como grandiosa creación en el orden del espíritu».

5.5. LA LÓGICA MEDIEVAL

5.5.1. Introducción a la Lógica Medieval

La lógica medieval, –entendiendo por tal la que se desarrolla en el occidente cristiano durante la Edad Media, del s. XI al XV-, es heredera de la lógica griega y, en especial, de la silogística aristotélica. A.N. Prior destaca cuatro aportaciones nuevas y fundamentales de la Escolástica: (1) una teoría general de la referencia (suppositio terminorum), (2) una teoría general de la implicación (consequentia), (3) un desarrollo de la lógica de las modalidades, y (4) el tratamiento de paradojas y problemas lógicos del lenguaje.

El primer tratado medieval de lógica es la Dialéctica, de Alcuino, obra escrita en forma de diálogo para ser utilizada en el trivium, base de la enseñanza elemental medieval, que Alcuino restaura a iniciativa del emperador Carlomagno. Durante un largo período de tiempo, la lógica queda relegada a estas nociones elementales de las artes liberales. La aparición de los «dialécticos» del s. XI y las primeras discusiones sobre la naturaleza de los universales renuevan el interés por la lógica y su relación con la gramática.

El primer lógico medieval importante es Pedro Abelardo. Sus obras de mayor interés son la Dialéctica, en la que reelabora la herencia lógica dejada por Boecio, y Sic et Non, en la que introduce uno de los procedimientos más característicos del estudio de las cuestiones en la Escolástica.

A partir de la segunda mitad del s. XII, se conocen ya en occidente el resto de obras lógicas de Aristóteles; la lógica basada en estas nuevas obras se conoció con el nombre de ars nova, o «nueva lógica», la usada ya en las universidades del s. XIII. La doble dirección en el estudio de la lógica que existió en éstas –por un lado, el estudio más formal de la lógica desarrollado con cierta libertad e independencia por las facultades de artes, basado en las primeras obras conocidas del Organon aristotélico, más Analíticos primeros, Tópicos y Elencos sofísticos, y por otra, un estudio de la lógica en consonancia con la metafísica aristotélica y Analíticos segundos, llevado a cabo por las facultades de teología, más fieles al pensamiento aristotélico- dio origen a la lógica antigua, de las facultades teológicas, y a la lógica moderna, de las facultades de artes.

El autor más representativo de esta lógica moderna es Pedro Hispano; sus obras de lógica, Summulae Logicales, fueron los manuales usuales durante los siglos XIV y XV, con más de 150 ediciones. A finales del s. XIII, la lógica moderna se instala en Oxford, donde consigue sus momentos más álgidos con Roberto Kilwarby, Juan Duns Escoto (aunque los tratados lógicos se atribuyen a un Pseudo-Escoto) y, sobre todo, Guillermo de Occam. La doctrina sobre las consecuencias, desarrollada de un modo especial durante esta época, representa una de las influencias de la lógica estoica sobre la medieval. «Consecuencia» es, para los medievales, un condicional o un argumento con la partícula «ergo» uniendo enunciados. Se discute intensamente cuáles son las condiciones de verdad tanto de los condicionales como de estos argumentos y se escriben al respecto tratados titulados De Consequentiis. Tales tratados, aunque no eran independientes de la lógica aristotélica, recogen algunas de las leyes fundamentales de la lógica de enunciados. Se añade la teoría de la suppositio, o de la significación de un mismo término según el lugar que ocupa en un enunciado. Estas teorías guardan relación con la teoría moderna de la cuantificación.

5.5.2. Aportaciones de los medievales a la lógica

Los autores medievales conocieron más a los autores postaristotélicos que al propio Aristóteles. Alguno de éstos es bastante importante, como Galeno y Porfirio (cuya Isagoge suscitó en la edad media el problema de los universales a Alejandro de Afrodisia).

La mayor parte de sus contribuciones fueron examinadas por Boecio. Los comentarios de éste a Porfirio, a las Categorías, a los Analíticos y Tópicos de Aristóteles, sus libros sobre la definición y la división, sus tratados sobre los silogismos categóricos e hipotéticos, constituyeron la base para la mayor parte de los estudios de lógica en la Edad Media, y su influencia persistió, inclusive, después del siglo XIII, en que se conoció por entero en Occidente el Organon. Pero, desde Boecio hasta el siglo XII, la actividad en la lógica no fue sobresaliente. En cambio, a partir del siglo XIV hubo un nuevo florecimiento de la lógica.

A partir de Abelardo se manifestaron signos de creciente interés por esta disciplina, pero el grueso del trabajo lógico en la Edad Media se inició sólo desde Alberto el Magno, prosiguiendo, a través de Santo Tomás de Aquino y otros filósofos, hasta quienes con más empeño cultivaron los estudios lógicos: Pedro Hispano, Guillermo de Occam, J. Duns Escoto, Alberto de Sajonia y Juan Buridán.

El inventario de las contribuciones de la Edad Media a la lógica está todavía en formación, pero ahora, a través de las investigaciones de autores como A. Cromvie, J. Lukasiewicz, I.M. Bochenski se está avanzando mucho en este terreno.

Los trabajos más importantes son los de Pedro Hispano, que presentó sistemas de lógica muy completos y con un elevado grado de formalismo.

Estos autores mezclaron los trabajos lógicos con las especulaciones de índole metafísica y ontológica. A ello deben unirse los numerosos estudios de filosofía del lenguaje, especialmente a través de la gramática especulativa.

En la Edad Media, el uso de la disputatio como ejercicio escolar produjo un desarrollo del arte de discutir, es decir, de la dialéctica propiamente dicha, y un estudio más intenso de la sofística; de ahí se derivaron análisis más detallados sobre las relaciones entre proposiciones y sobre el sentido de los términos. Por eso los lógicos componen tratados que dan las reglas a seguir en las disputationes, pero cuyo sentido en la historia de la lógica es sin duda más importante.

Junto a los tratados sobre las disputationes, se encuentran los tratados “sobre las controversias”, que estudian las inferencias entre proposiciones simples y compuestas y los sophismata. Un sophisma no es un sofisma, o por lo menos no lo es necesariamente (como la fallacia); es una proposición que contiene alguna dificultad, debido a una falta o a una ambigüedad de construcción, o a cualquier otra razón; esa proposición es estudiada por sí misma, y en la práctica escolar sirve de ocasión, en muchos casos, para que el maestro desarrolle un punto particular de la disciplina que enseña. Casos particulares de sophismatason: los “insolubles”, o proposiciones que, tomadas al pie de la letra, se contradicen (como “yo digo mentira”); los “imposibles”, en los que la contradicción no se solventa por una simple distinción lógica, como ocurre en el caso de los “insolubles”.

Además de la teoría de las consecuencias, los lógicos se ocuparon también de los términos y de sus relaciones en la proposición. Enumeraron y analizaron palabras tales como cada, todo, y, o, no…; su característica común es que no significan por sí mismas, sino que tienen que unirse a términos dotados de una significación propia o “categorema”; de ahí proviene su nombre, que es “sincategoremas”.

Otro concepto importante es el de “suposición”; se llama así a la acepción en que es tomado un nombre. Por ejemplo, en la frase “el hombre es animal”, la palabra hombre “supone por” una especie; en el “hombre corre”, por un individuo; en el “hombre es sustantivo”, por una palabra. Con la suposición hay que relacionar la “copulación”, que afecta del mismo modo al predicado. Queda aún la “amplificación”, caso en que un nombre es empleado para designar no sólo los objetos presentes, sino también los pasados, futuros y posibles: esto afecta necesariamente al sentido de la proposición en que se encuentra.

Lo que los lógicos medievales pretendían, en realidad, era estudiar el único instrumento de razonamiento de que se disponía: la lengua latina. Los lógicos construyeron un álgebra del lenguaje y se esforzaron mucho por disipar sus ambigüedades y extraer las reglas de su uso exacto.

Muy común es, entre los escolásticos, distinguir entre una lógica menor o lógica formal y una lógica mayor o lógica material. Esta última suele abarcar sobre todo tratados neoescolásticos, que han adoptado esta división para muchas cuestiones de carácter metodológico y critico y para algunos problemas metafísicos y ontológicos.

5.5.3. Boecio y el “cuadrado lógico de la oposición” de las proposiciones categóricas

En De philosophia rationali Apuleyo se interesa por las relaciones entre las cuatro proposiciones clásicas, que se dividen en universales, particulares, singulares e indefinidas. Una proposición es universal cuando el predicado es atribuido o negado con respecto a todos los entes abarcados por el sujeto: “todos los hombres (o: ningún hombre) son filósofos”. Tenemos una proposición singular cuando el predicado se afirma o se niega de un solo individuo: “Juan es filósofo”. Una proposición particular es aquella en la que el predicado se atribuye o se niega sólo de algunos de los entes abarcados por el sujeto: “algunos hombres son filósofos”. En la proposición indefinida el predicado se atribuye o se niega de un sujeto, pero sin precisas a cuántos individuos se hace referencia: “el tren corre”. Apuleyo, al tratar y analizar todas estas proposiciones, afirma que es conveniente presentarlas en quadrata formula, y las dispone de esta manera. En su cuadro aparecen las contradictorias (alterutrae), las contrarias (incongruae) y las subcontrarias (suppares). Faltan las subalternas.

Boecio vuelve a tomar el cuadrado lógico de Apuleyo, pero lo completa con la subalternación. Habla de proposiciones contradictoriae, contrariae, subcontrariae y subalternae. Introduce asimismo términos como “sujeto”, “predicado” y “contingente”.

Más tarde los medievales indicarán mediante letras las cuatro proposiciones clásicas (véase Pedro Hispano). Colocando de manera oportuna las formas normales de las proposiciones categóricas, se obtiene el clásico cuadrado de la oposición. En él, A y E son una verdadera y la otra falsa, no pueden ser ambas verdaderas, pero pueden ser ambas falsas; A, O y E, I siempre son una verdadera y otra falsa, y no pueden ser ambas verdaderas ni ambas falsas; I y O resultan implicadas, respectivamente, por A yE.

 
 

Este cuadrado no fue concebido como un juego elegante, sino que se consideró que las relaciones lógicas ilustradas mediante el presente diagrama proporcionaban una base lógica que garantizaba la validez de ciertas formas elementales de razonamiento. Éstas eran las que concernían a las inferencias inmediatas, esto es, aquellas inferencias en las que la conclusión surge inmediatamente de la premisa, sin mediación de una segunda premisa. Así, un silogismo es una inferencia mediata, mientras que la inferencia: “todos los hombres son justos y, por eso, algún hombre es justo” es inmediata. El cuadrado tradicional nos ofrece la base lógica para un número considerable de inferencias inmediatas de este tipo, que pueden enumerarse así:

· Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera, O es falsa

· Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa, O es verdadera

· Si I es verdadera: E es falsa, A y O son indeterminadas

· Si O es verdadera: A es falsa, E e I son indeterminadas

· Si A es falsa: O es verdadera, E e I son indeterminadas

· Si E es falsa: I es verdadera, A y O son indeterminadas

· Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera, O es verdadera

· Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa, I es verdadera

Otros tipos de inferencias son aquellos que se obtienen por conversión, por obversión y por contraposición. La conversión se realiza mediante el intercambio de las respectivas proposiciones de los términos del sujeto y del predicado de una proposición. En este caso, se trata de la conversio simplex y se aplica a E y a I; O no tiene proposición conversa, y A la tiene per accidens: además de cambiar la posición de los términos, es preciso cambiar también la cantidad de la proposición, de universal a particular. Por ejemplo: la conversa de “todos los perros son animales” es “algunos animales no son perros”. Se produce obversión cuando el término-sujeto permanece incambiado, y también permanece incambiada la cantidad de la proposición que se desea obvertir, pero se cambia la cualidad, sustituyendo el término-predicado por su complemento.

La obversión se aplica a los cuatro tipos de proposiciones categóricas. Estamos ante una contraposición cuando en una proposición categórica se sustituye su término-sujeto por el complemento de su término predicado y, al mismo tiempo, su término-predicado se sustituye por el complemento de su término-sujeto. La contraposición se aplica a A y a O; I no tiene proposición contrapuesta, y E sólo la tiene per accidens. Pueden resumirse así estos tipos de inferencias inmediatas:

CONVERSIÓN

Convertenda

A: Todo S es P

E: Ningún S es P

I: Algún S es P

O: Algún S no es P

 

Conversa

Algún P es S (per accidens)

E: Ningún P es S

I: Algún P es S

No existe conversa

OBVERSIÓN

Obvertencia

A: Todo S es P

E: Ningún S es P

I: Algún S es P

O: Algún S no es P

 

Obversa

E: Ningún S es no-P

A: Todo S es no-P

O: Algún S no es no-P

I: Algún S es no-p

CONTRAPOSICIÓN

Premisa

A: Todo S es P

E: Ningún S es P

I: Algún S es P

O: Algún S no es P

 

Contrapuesta

A: Todo no-P es no-S

O: Algún no-P no es no-S (por limitación)

No existe contrapuesta

O: Algún no-P no es no-S

Para Boecio las proposiciones hipotéticas son más generales que las categóricas: es posible expresar una proposición categórica a través de una proposición hipotética, pero no es posible llevar a cabo la operación inversa. Distingue entre dos tipos de proposiciones hipotéticas: el primer tipo se da cuando el consecuente está vinculado al antecedente de una manera accidental; en el segundo tipo, el consecuente es una consecuencia natural del antecedente. Por ejemplo, al decir “si el fuego es cálido, el cielo es redondo”, no pretendemos afirmar que el cielo es redondo porque el fuego sea cálido, sino sencillamente que al mismo tiempo que el fuego es cálido, el cielo es redondo.

5.5.4. Pedro Hispano

En las Summulae logicales aparecen por primera vez las vocales, palabras y versos mnemotécnicos que luego se emplearon corrientemente en la enseñanza de la lógica. Así, por ejemplo, se indica con la A la proposición universal afirmativa, con la E la universal negativa, con la I la particular afirmativa y con la O la particular negativa, con arreglo a los siguientes versos:

A adfirmat, negat E, sed universaliter ambae,

I firmat, negat O, sed particulariter ambae.

Para indicar las figuras y los modos del silogismo emplea las palabras mnemónicas Barbara, Celarent, Darii, Ferio, etc., cuyas vocales indican la cantidad y la cualidad de las proposiciones que constituyen las premisas y conclusiones del silogismo.

En el libro 7 de esta obra incluye la lógica terminalista. Las propiedades de los términos son la suposición, la ampliación, la restricción, la apelación, la distribución. Pero la más importante de todas ellas es la suposición. La suposición se distingue de la significación en que, a diferencia de ésta, es propia no del término aislado sino del término en cuanto se repite en las proposiciones y constituye su dimensión semántica.

La suposición y la significación difieren en que la significación es la imposición de una voz a la cosa significada mientras que la suposición es la acepción del mismo término ya significante para cualquier otra cosa; por ejemplo, cuando se dice “el hombre corre” este término “hombre” alude a Sócrates, a Platón, o cualquier otro. La significación es antes que la suposición, pero no son idénticas ya que el significar es propio de la voz y el suponer lo es del término ya compuesto de voz y significación[14].

Distingue entre suposición simple y suposición personal. Existe suposición simple cuando el término común se emplea para la cosa universal que el mismo representa, como cuando se dice “el hombre es una especie”: en cuya proposición el término “hombre” está en lugar del hombre en general y no por un individuo humano determinado. En cambio, hay suposición personal cuando el término común está en lugar de los individuos comprendidos por el mismo, como en la proposición “el hombre corre”, donde el término hombre está en lugar de los individuos humanos, o sea, en lugar de Sócrates, de Platón y de otros.

5.5.5. El Ars Magna de Raimundo Lulio

Entre los lógicos medievales destaca Ramón Llull. Llull piensa que el ser de las criaturas es como una imitación de Dios, y la naturaleza es como un libro en el que pueden leerse los designios de la divinidad. Pero para captar el orden divino deben establecerse unos principios generales. Dichos principios generales –que son los que estaban en la base de su Ars–, eran elementos simples a los que se reducen todas las proposiciones y, debidamente combinados, debían hacer posible una presentación unitaria, rigurosa y encadenada de todo el saber.

El Ars Magna es una grandiosa realización filosófica y que ha dado lugar al llamado lulismo´. Este método lógico ha ejercido un influjo grande en Cusa, Bruno, Descartes, Leibniz y la lógica moderna. Lulio pretendía proporcionar a la apologética católica una técnica rigurosamente racional que permita, con la ayuda del silogismo, convencer a los infieles, demostrando las verdades del cristianismo. Se percibe aquí la influencia formal del Organon de Aristóteles, que fue sistematizada por Pedro Hispano.

Obsesionado por la idea de unidad, Lulio quiso reducir todos los conocimientos a un pequeño número de principios, a fin de expresar todas las relaciones posibles de los conceptos, mediante las combinaciones múltiples, traducida en figuras tipos. Así, ingeniosos procedimientos mnemotécnicos -rimados- harán posible, cree Lulio, a todos los hombres los conceptos más abstractos. La técnica consiste en formar silogismos impecables, cuya combinación se encamina a la edificación de la ciencia. Las dos operaciones esenciales son:

a) Dado un sujeto, encontrar todos los predicados posibles. Lulio representa cada término (sujeto o predicado) con una letra del alfabeto.

b) Combina después estas letras por dos, tres, cuatro, etc., de todas las maneras posibles, estableciendo de este modo las relaciones necesarias entre los términos de un juicio o entre los de diversos juicios.

Encuentra siete figuras, designadas con las letras A (que representa a Dios y los atributos divinos), S (el alma racional y sus potencias), T (los principios y los significados), V (las virtudes y los vicios), X (los opuestos o la predestinación), Y (la verdad) y Z (la falsedad).

Cada grupo lógico de estas letras se denomina una “cámara”; se trata de “hacer cámaras” correcta y fecundamente. Conforme a reglas formales e inalterables, el lógico, situado ante los términos de una cuestión cualquiera que sea, encontrará indefectiblemente, con la ayuda de las razones necesarias, la solución adecuada. Lulio enumera, de este modo, en un cuadro enorme de nueve columnas, simbolizadas por las letras de la B a la K, nueve predicados absolutos, que son los atributos divinos, correspondiendo a cada uno un adjetivo, una virtud, un vicio, etc, opuesto a estos atributos. Esas letras se articulan en esquemas triangulares o circulares (cuatro figuras), fijos o móviles, de forma que la mera colocación inicial o deducida nos dará como resultado una definición estricta. Haciendo girar los círculos concéntricos darán como resultado 84 combinaciones ternarias, y cada columna se compone a su vez de 20 cámaras o combinaciones, lo que arroja para la tabla un conjunto de 1680 cámaras.

La lógica en la que se basaba era, fundamentalmente, la silogística de Aristóteles, que supone unos principios ciertos (que incluso los infieles han de aceptar), y consideraba que había la posibilidad de encontrar todos los términos medios posibles que unan cualquier sujeto con el predicado que le conviene. De esta manera, se podrían enumerar todos los predicados posibles de un sujeto y determinar de acuerdo con las reglas lógicas, cuáles le pertenecían. Pensaba que así incluso se podría demostrar lógicamente el misterio de la Trinidad. De esta manera, aunque basándose en la lógica demostrativa de Aristóteles, Ramón Llull la concebía como una lógica capaz de ser inventiva, que no se limita a resolver las verdades conocidas, sino que es capaz de descubrir las nuevas. Además de este cálculo general, que influyó decisivamente en Leibniz (y que, por intermedio de éste, se puede considerar un precedente de la lógica moderna), Llull defendió también una metafísica ejemplarista y un realismo neoplatónico, muy influido por el agustinismo que imperaba entre los franciscanos a los que Llull estaba próximo.

No obstante, en Llull se trata de poco más que de una idea visionaria. Fue Descartes quien concibió la idea de un lenguaje general como una suerte de aritmética, como parte del método de una filosofía verdadera, si bien se cuidó de tratar él mismo de constituir tal lenguaje y lo planteó como un proyecto para la posteridad.

5.5.6. La lógica de Occam

La lógica de Occam ha adquirido en nuestro tiempo una relevancia singular, por su incidencia de temas con la lógica contemporánea, pero con frecuencia no han advertido los historiadores la importancia de la lógica de Occam (y la de sus seguidores) en la formación de la ciencia moderna. De su lógica destacamos los aspectos más interesantes. El nominalismo o terminismo condujo a excesos extravagantes. Se concedió mucha importancia a la significación de los términos, sin hacer caso de la materia a la que designaban, y las palabras por sí solas constituyen el objeto de discusiones académicas. El occamismo tuvo que sc portar a lo largo del siglo XIV diversas condenas por la defensa de proposiciones más o menos heréticas. Pero el desprecio con el que es mirada a partir del siglo XV, y descalificada ya con el apelativo de “escolástica”, se debe a la inmoderada atención a las palabras, al uso de las mismas, a la formación de neologismos sin referente concreto (contraviniendo la propia “navaja de Occam”). Esto explica el desprecio que algunos renacentistas sentían hacia el occamismo (como Erasmo, Luis Vives, etc.).

El nominalismo tendía a considerar corno ciertas las proposiciones analíticas, es decir, la verdad de una proposición se alcanza al advertir que el enunciado opuesto es contradictorio. Pero este tipo de verdad no puede aplicarse a los enunciados experimentales. Por tanto, los conocimientos físicos y cosmológicos, por ejemplo, no pasan de ser probables. Y la probabilidad de una proposición sugiere que también podemos formular otra u otras proposiciones distintas (exceptuando las verdades de la fe revelada), con las que también se podría buscar explicar el mismo fenómeno. El camino para buscar nuevas hipótesis quedaba completamente abierto.

En el siglo XIV la metodología académica no había superado el método “sic et non” de Pedro Abelardo, la llamada “quaestio”[15]. Esto condujo frecuentemente a una espiral infantil de búsqueda estéril de sutilezas, buscándose la defensa de los argumentos más disparatados (v.g. el sexo de los ángeles) con el fin de sobresalir. Pero si esta deformación del método condujo a una palabrería inútil y sin sentido, también posibilitó el probabilismo, en cuanto los argumentos acumulados en favor de una proposición, falsa por el momento, son tantos y tan razonables que inclinan en su favor la inteligencia. O en todo caso, la aceptación de que hay tantas pruebas a favor como en contra, reforzando ese probabilismo. Así sucede con los argumentos en pro o en contra del movimiento de la Tierra, como vemos en Oresmes.

La apertura intelectual propiciada por Occam y el nominalismo, transporta muchos elementos sobre los que se construirá la ciencia moderna.

5.5.7. Los “calculatores” de la Escuela de Oxford

Bajo el influjo de Occam, en la llamada Escuela de Oxford se presentan unos rasgos peculiares que sirven para caracterizarla, además de su hincapié en las formulaciones algebraicas. Estos rasgos están constituidos por la exagerada importancia sobre la intensio et remissio qualitatum seu formarum. Ambos aspectos tienen su proyección también en la Escuela de París.

Los sophismata, al igual que los insolubilia, y otras colecciones semejantes constituían series de proposiciones falsas o de razonamientos capciosos en los que se debía descubrir fallos de deducción, los falsos presupuestos o principios utilizados, etc. Constituían una especie de libros de problemas lógicos. Si bien estos ejercicios indican la alta estima otorgada a la lógica, el prestigio en el ámbito escolar de quienes dominaban las sutilezas de este método conduce a una palabrería vacía. Cuando se han rebatido todas las proposiciones en contra, se cree que se ha demostrado una afirmación, no cuando se ha examinado el hecho o el concepto mismo.

El uso de la aritmética y de una incipiente álgebra conlleva también un significado ambivalente. Por una parte, como hemos visto en el caso de Bradwardine, conduce a la concepción de escalas numerables en las que se establece la relación entre diversas variables. También a la introducción de conceptos y términos de posterior relevancia en la formación de la ciencia moderna, como formae uniformes, formae uniformiter difformes, etc.

5.6. LA LÓGICA MODERNA

5.6.1. La lógica de la Edad Moderna: introducción

La época moderna se suele considerar como un período particularmente decadente hasta la aparición de Boole. Aunque para otros autores, esta opinión es excesiva.

Ni Descartes, ni los otros grandes filósofos modernos (con la excepción de Leibniz) se distinguieron como lógicos formales su contribución a la historia de esta disciplina no es completamente nula, cuando menos de una forma indirecta en el terreno metodológico en Descartes y en la esfera de la semiótica en Hobbes. Lo que sucedió es que muchos filósofos de dicha época se interesaron menos por la lógica formal que por el estudio de los métodos de la ciencia natural.

La crítica en cuestión puede, pues, aplicarse mejor al Renacimiento que a la época moderna propiamente dicha. Los autores renacentistas, en efecto, con sólo algunas excepciones, como la de Pedro Ramus, se limitaron a criticar el uso y abuso de la silogística y de las sutilezas semióticas en los autores escolásticos, confundiendo con frecuencia dentro de un sólo grupo a los lógicos y semióticos verdaderamente creadores y rigurosos, y aquellos que no hicieron sino introducir inútiles o falsos razonamientos.

Podemos mencionar también la Lógica de Port Royal, inspirada en el cartesianismo, que hizo intentos para desarrollar la lógica como un cálculo.

Pero la figura capital de la edad moderna es sin duda Leibniz, que durante un tiempo fue considerado como el “fundador de la logística”. Pero otros nombres deben añadirse al suyo: Jacobo y Juan Bernoulli, J. H. Lambert. Todos ellos estuvieron dominados por el deseo en el que había abundado ya LlulI, tan apreciado por Leibniz a causa de su Ars Magna, de constituir una característica universalis y un calculus ratiocinator que les sirviera de instrumento.

Debemos advertir que las ideas formuladas al respecto no eran siempre muy claras; a veces se trataba de una ciencia universal análoga a una metodología universal; en ocasiones se insistía más bien en una pasigrafía, gramática artificial, álgebra general del lenguaje. Estas últimas tendencias, que se extendieron especialmente durante los siglos XVII y XVIII, han sido consideradas por algunos como una continuación de la gramática especulativa.

Observemos que en lo tocante a la semiótica, la época moderna contiene posiblemente elementos más ricos de lo que se ha venido sospechando; aparte de los intentos mencionados, los trabajos al respecto de autores como Locke, sobre todo Condillac (y su escuela) merecen una investigación cuidadosa.

Común a Leibniz y a los autores citados inmediatamente después del mismo, es el haber basado sus cálculos lógicos en la intención. Los cálculos en cuestión son, pues, casi siempre cálculos de conceptos. Los trabajos lógicos de los autores citados no se limitan empero a ello. Leibniz, en particular, tocó muchos de los puntos desarrollados por la posterior lógica simbólica, por ejemplo, el enlace del álgebra con los números, pero su fragmentarismo y en parte sus finalidades filosóficas generales le impidieron llevar a cabo una labor completa en ninguna de las muchas vías iniciadas.

Por lo demás, la idea de la formalización leibniziana de la lógica estaba estrechamente vinculada a la idea de que los principios lógicos son “invariantes para todos los mundos posibles”. De ahí que las proposiciones lógicas fundamentales para Leibniz sean a la vez proposiciones ontológicas.

Otro caso muy distinto es Kant. Hay dos características con respecto a su posición frente a la lógica. Tiene una clara visión de la lógica formal y a la vez una actitud poco inteligente de la historia de la lógica. Para Kant, la lógica no es un Organon, sino un Canon, criterio y procedimiento para detectar falacias, criterio purificador. La distingue de lo que él llama la lógica trascendental, un estudio de las implicaciones filosóficas de la lógica formal.

Lo que resulta paradójico es que para Kant, la lógica salió de Aristóteles, y es una lógica entera, conclusa y perfecta. Este error de Kant además es doble, puesto que lo que consideró lógica de Aristóteles es una lógica empobrecida, la de los manuales escolásticos de la Baja Edad Media.

5.6.2. El preludio de la lógica matemática: Leibniz y su proyecto de “Scientia Universalis”
a) La lógica de Leibniz

Para Leibniz el saber conceptual se reducirá en último término a descubrir todas las combinaciones posibles de los primeros elementos primitivos y sus conexiones en este reino de las verdades esenciales. Ya a sus veinte años había escrito sobre un género de arte combinatoria, que tendría por cometido “hallar una especie de alfabeto de los conocimientos humanos, que permitiera, mediante la combinación de sus letras y el análisis de las palabras compuestas de aquéllas, descubrir y juzgar todo lo demás”.

Leibniz era un gran admirador de la silogística aristotélica, aunque no creía que todos los argumentos pudiesen ponerse en forma de silogismo; por ejemplo, los argumentos por inversión de la relación, como “Tito es más alto que Cayo. Por tanto, Cayo es más bajo que Tito”. Sin embargo, no llegó a crear una lógica de relaciones debido a que pensaba que éstas podían reducirse a conjunciones o concatenaciones de predicados monádicos. Sostuvo también que las figuras de los silogismos no son tres, sino cuatro, obteniéndose entonces veinticuatro, y no catorce, formas de silogismo válidos.

Leibniz se entregó al estudio de la lógica desde joven. A los dieciocho años ya concibió el proyecto de Alphabetum cogitatiunun humanarum, que expuso en su obrita De Arte combinatoria; aunque después siguió otro camino, no desdeñó nunca este proyecto. Se trata de aplicar el método matemático a la ciencia en general, aspirando a construir una ciencia a priori independientemente de la experiencia. Consistiría en un catálogo reducido de nociones fundamentales, simples y evidentes, expresadas por símbolos, de las cuales, combinándolas entre sí, podrían deducirse todas las demás ideas y todas las ciencias. La lógica sería, pues, una especie de álgebra del pensamiento, un arte de invención y de combinación, cuya función consistiría en lograr un “catalogus eorum quae per se concipiuntur; et cuius combinatione caeterea ideae nostrae exurgunt”.
Su fundamento sería el siguiente:
1. Todos los conceptos son simples o compuestos, y éstos pueden descomponerse en conceptos simples (idea precursora del “atomismo lógico” de Russell).
2. El número de conceptos simples es muy reducido.
3. Los conceptos simples pueden representarse con un símbolo, o con una palabra, de lo cual resultaría el Alphabetum cogitationum humanarum.
4. Una vez obtenidos los conceptos simples, por análisis o descomposición de los compuestos, comprobada su verdad, pueden obtenerse nuevos conceptos compuestos, combinándolos según las reglas de la aritmética.
5. Este procedimiento permitiría la unificación de todas las ramas del saber en una ciencia universal.
b) El proyecto de una characteristica universalis

En De arte combinatoria pensó en la creación de una característica universalis o lenguaje simbólico universal que fuese un instrumento de cálculo del pensamiento. Su ideal era que las disputas y diferencias de opinión se pudiesen resolver mediante el cálculo. De acuerdo con eso, los disputantes se sentarían, tomarían sus plumas y dirían: “Calculemus”. Quería además crear una lógica del descubrimiento o lógica inventiva.

La “característica universal” (characteristica universalis) es una expresión con la que Leibniz se refiere a un lenguaje universal, basado sobre todo en el simbolismo y reglas combinatorias, que representaría el “verdadero alfabeto del pensamiento humano”-basado en las ideas innatas-, y con el que sería factible razonar y mostrar todas las posibles relaciones de los conceptos entre sí. La utilidad de este lenguaje, además de su universalidad, radicaría en la posibilidad de eliminar las controversias en ciencia, filosofía y religión, pues “razonar no sería más que calcular”[16]. El proyecto de su Enciclopedia no era más que un medio para realizar el Alphabetum cogitationum humanarum, esto es, para llegar a un conjunto reducido de símbolos representativos de unas cuantas ideas simples, a base de las cuales pudieran reconstruirse todas las ciencias mediante el “arte combinatoria”. Los signos deberían representar los objetos, a la manera de jeroglíficos egipcios, y serían muy sencillos y rápidos de aprender; también se parecen a los signos de los “alquimistas”. El modelo debería ser el álgebra, ya que permite realizar todas las operaciones con un número reducido de símbolos. Leibniz proyectaba aplicarla a todas las ciencias, con lo que esperaba conseguir que todas tuvieran el mismo rigor deductivo y el mismo grado de certeza que las matemáticas, excluyendo finalmente todo error en virtud de un método deductivo riguroso.
Para conseguir esto era necesario un método o una lógica que Leibniz divide en dos ramas:
1. Lógica demostrationis: o “método de la certeza”, consistente en los Elementa veritatis aeternae, y que serviría para comprobar las verdades descubiertas hasta llegar a la certeza de su verdad.
2. Logica inventionis: su objeto es facilitar la investigación y realizar nuevos descubrimientos con un método deductivo seguro, riguroso y sistemático[17]
c) La lógica como philosophia perennis
Con los procedimientos descritos se llegaría a convertir todas las ciencias en ramas de la Matemática, y esa matemática “universal” sería la Philosophia perennis. Leibniz esperaba los mayores resultados de la aplicación de su método. La verdad se descubriría con facilidad y de modo infalible; con ello desaparecerían los avances y retrocesos del conocimiento, así como las disputas entre los filósofos y las escuelas. Las ciencias progresarían, se lograría la paz religiosa entre las distintas iglesias, y en todo el inundo se iniciaría una era de paz, felicidad y bienestar. Pero sus proyectos fracasaron. En primer lugar, porque para llegar a la Characteristica era necesario previamente realizar la Enciclopaedia, y ésta no pudo llevarse a cabo por no haber conseguido la colaboración necesaria. Y además, porque tanto una como otra dependían de la posesión de la verdadera filosofía; y a esta “verdadera filosofía” perenne, Leibniz no llegó, según su parecer, hasta 1685 (pues un año antes descubrió el “cálculo infinitesimal”).
d) Cálculos y desarrollos lógicos

Leibniz ensayó varios cálculos lógicos: 1) trató de simbolizar los conceptos mediante números enteros, “aritmetizando” la lógica, 2) utilizó letras en lugar de números, 3) elaboró un cálculo de la inclusión, o sea, una lógica intencional, y 4) esbozó un cálculo con el concepto de sustracción (diferente del de negación) de las comprensiones de los términos.

De acuerdo con su tesis de que el concepto de predicado está incluido en el concepto de sujeto, intentó elaborar una lógica en que lo importante fuese la relación conceptual entre el predicado y el sujeto, independientemente de la existencia o no existencia del objeto designado por el sujeto. «En las escuelas [i.e., en la escolástica] hablan de otra manera, no considerando las nociones, sino ejemplos sujetos a nociones universales… En verdad, preferí considerar las nociones universales o las ideas y sus compuestos, porque no dependen de la existencia de los individuos». A la lógica basada en esta idea se le ha llamado lógica intensional.

En Algunas dificultades de la lógica, Leibniz propone dos lecturas de las proposiciones categóricas. Son las siguientes:

Todo A es B

AB = A

A no B es no-ente

Algún A no es B

AB ¹ A

A no B es ente

Ningún A es B

AB ¹ AB ente

AB es no ente

Algún A es B

AB = AB ente

AB es ente

En la versión de la segunda columna puede observarse que, dada la tesis de la contención o inclusión del predicado en el sujeto, tanto A como el predicado B están incluidos en el sujeto A, es decir, AB Ì A; pero también podemos ver que A Ì AB, y esto se debe a que para Leibniz todo enunciado o proposición, tanto de razón como de hecho, afirma en el fondo una identidad (o su negación). Si la identidad es una verdad de razón, ésta se demuestra en un número finito de pasos; si es una verdad de hecho, se necesita, para su demostración por parte de nosotros (no de Dios), un “análisis infinito”, es decir, una aproximación continua e interminable a una identidad que sólo es vista por la mente divina. La versión de la tercera columna muestra que todas las oraciones de sujeto-predicado, unidas por la cópula (llamadas oraciones de tercer adyacente) son equivalentes a oraciones en que el sujeto es la unión del sujeto y predicado, del cual se predica la entidad o la no entidad (oraciones de segundo adyacente).

5.6.3. La lógica de Port Royal

El Centro del jansenismo fue el antiguo monasterio femenino Cisterciense de Port-Royal, situado cerca de Versalles, que a comienzos de siglo había sido reformado por una joven abadesa, Jaequeline Arnauld (llamada madre Angélica). En las proximidades del monasterio se retira a vivir un grupo de laicos, impulsados por el deseo de la perfección cristiana. Al principio, fue Saint Cyran quien actuó como guía espiritual de este grupo de laicos, y a su muerte, le sucede Louis Le Maétre de Saci.

Además de la doctrina jansenista, la mayor aportación filosófica de Port-Royal fue su lógica, la llamada Lógica de Port-Royal o arte de pensar. Se basa en la obra, escrita por Antoine Arnauld (1612-1694) y Pierre Nicole (1625-1695), titulada La lógica o arte de pensar, que apareció anónima. Este libro gozó de una enorme fortuna. Durante dos siglos las “personas de bien” estudiaron la lógica en él, especialmente -pero no de modo exclusivo- en Francia. Durante estos dos siglos se realizaron más de cincuenta ediciones francesas, bastantes traducciones inglesas y una docena de traducciones latinas.

Como indica el título de la obra, la lógica no era una ciencia sino un arte: el arte que enseña no a combinar palabras y fórmulas, sino a pensar correctamente.

1. Así, la lógica tiene que convertirse en un instrumento adecuado para servir a las demás ciencias. Por consiguiente, en primer lugar, es inútil perder el tiempo -como ocurre en la enseñanza de la lógica escolástica- con silogismos elaborados mediante ejemplos artificiosos. Si la enseñanza quiere ser no sólo entretenida sino también conseguir resultados válidos y útiles, debe basarse en ejemplos de razonamientos que se utilicen de modo efectivo en los diversos ámbitos del saber, la literatura y la vida.

2. En segundo lugar, la lógica escolástica se propone ofrecernos las reglas de los razonamientos correctos, y su utilidad consiste, sin duda, en tales reglas. Sin embargo, según Arnauld y Nicole, no debemos creer siquiera que tal utilidad vaya muy lejos, ya que la mayor parte de los errores humanos no consiste en verse engañados por consecuencias erróneas, sino en caer en juicios falsos, de los que se extraen consecuencia erróneas. Los hombres, en suma, razonan en general de un modo correcto, es decir, no se engañan al extraer determinadas consecuencias de las premisas; lo que ocurre es que a menudo juzgan equivocadamente, es decir, no saben establecer las premisas.

3. En resumen: no es cuestión de corrección, sino que es problema de la verdad, por lo cual el arte de razonar (esto es, deducir consecuencias basándose en premisas) debe estar precedido por el arte de pensar (el arte que enseñe a establecer premisas válidas), por un arte que enseñe a juzgar adecuadamente.

No se trata de que haya que rechazar las reglas escolásticas, sino de encuadrarlas en realidad en un proyecto de tipo diferente: La aversión a todo lo que amenace el estado de alerta del pensamiento, el continuo apelar a ideas claras y distintas, a las luces naturales de la razón, al “sentido común”, muestran sin ninguna duda que esta lógica es de espíritu cartesiano. El influjo de Descartes sobre Arnauld y Nicole se combina con el que Pascal ejerce sobre éstos: las reglas de Descartes y Pascal son reglas metodológicas.

Mientras las tres primeras partes del citado libro versan respectivamente sobre las ideas, los juicios y los razonamientos, la cuarta parte está dedicada al método: la substancia de esta parte de la Lógica o arte de pensar fue extraída de las Regulae y del Discurso del método de Descartes y del fragmento Sobre el espíritu geométrico de Pascal. Si el método fue discutido en la cuarta parte, la segunda está dedicada a análisis lingüísticos que se proponen esclarecer las formas lógicas estructurales o fundamentales, que en ocasiones se esconden bajo las más variadas formas lingüísticas. El pensamiento asume la forma de lenguaje, pero el lenguaje no debe enclaustrar o distorsionar el pensamiento. La forma lingüística no debe torcer o viciar las operaciones lógicas.

La función de la lógica, arte de pensar, consiste en poner en claro el auténtico pensamiento que se halla debajo de las apariencias de la forma verbal, ayudándonos a remontarnos desde la forma hasta el significado. Este es el que debe permitir una interpretación de la forma, por lo que no es la forma la que impone el significado. En efecto, dos años antes que la Lógica, se publicó una Gramática general y razonada, escrita por Arnauld y Lancelot. La intención específica que manifiesta dicha Gramática general es precisamente el llegar a aquellas estructuras fundamentales que rigen la mente humana en general, y que puede constatarse en el interior de las diferencias existentes entre las lenguas históricas. En otros términos, Arnauld y Lancelot trataron de convertir en lógico aquel hecho histórico que es el lenguaje. Trataron de demostrar que el substantivo define la substancia y el adjetivo sólo puede denotar el accidente. De este modo, la teoría del verbo lleva a condenar la retórica de Aristóteles en nombre de su lógica. Para los lógicos de Port-Royal, el verbo posee la función principal de significar la afirmación lógica pura y simple, es decir, señalar que el discurso en el que se utiliza aquella palabra es el discurso de un hombre que no sólo concibe las cosas, sino que las juzga y las afirma. En resumen, la proposición gramatical y la proposición lógica -la lengua y la razón- deben coincidir. De Saussure dirá que el programa de Port-Royal es un programa estrictamente sincrónico. Y Noam Chomsky ha afirmado que la gramática de Port-Royal es un precedente de su gramática transformacional.

5.6.4. Kant: lógica formal y lógica trascendental

Según Kant, además de la sensibilidad, el hombre posee una segunda fuente de conocimientos: el intelecto. Mediante aquélla, los objetos nos son dados, y a través de la segunda son pensados. Para Kant la intuición y los conceptos constituyen los elementos de todos nuestros conocimientos, de manera que ni los conceptos, sin que les corresponda de algún modo una intuición, ni la intuición, sin los conceptos, pueden darnos un conocimiento. Más aún, ninguna de estas dos facultades debe anteponerse a la otra. Sin sensibilidad no se nos daría ningún objeto y sin intelecto no podría pensarse ninguno. Los pensamientos sin contenido están vacíos; las intuiciones sin conceptos son ciegas… Estas dos facultades o capacidades no pueden intercambiar sus funciones. El intelecto no puede intuir nada y los sentimientos nada pueden pensar. El conocimiento sólo puede surgir de su unión. Pero no por esto hay que confundir sus partes: por el contrario, es muy razonable separarlas adecuadamente y mantenerlas divididas.

Por ello, Kant distingue entre la ciencia de las leyes de la sensibilidad en general – la estética- y la ciencia del intelecto en general- la lógica.

La lógica es la ciencia del intelecto en general y se divide en:

a) Lógica general

b) Lógica trascendental

La primera prescinde de los contenidos y se limita a estudiar las leyes y los principios en general del pensamiento, sin los cuales no existiría una utilización del intelecto. Esta es la célebre lógica formal descubierta por Aristóteles, y según Kant, nació casi perfecta, hasta el punto de que «no tuvo que dar ningún paso atrás» y se ha limitado a sufrir correcciones sólo de detalle.

A Kant, en la Crítica de la Razón Pura no le interesa la lógica formal sino la trascendental, que no prescinde del contenido. ¿Cuál será el contenido que la lógica trascendental tiene por objeto, además de las formas mismas del pensamiento? Kant distingue entre conceptos empíricos y conceptos puros; los empíricos son aquellos conceptos que contienen elementos sensibles; puros, en cambio, son aquellos que no están mezclados con ninguna sensación.

En la Estética Trascendental nos encontramos con una distinción análoga, cuando Kant habla de intuiciones puras e intuiciones empíricas: intuiciones puras son las formas del espacio y del tiempo; intuiciones empíricas son aquellas en las que las sensaciones se mezclan con el espacio y el tiempo. Ahora bien, prescindiendo de todo contenido empírico, el intelecto puede tener como contenido las intuiciones puras de espacio y de tiempo. Precisamente en esto consiste la lógica trascendental, que hace abstracción de los contenidos empíricos, pero no de los vínculos con las intuiciones puras, esto es, de los vínculos que mantiene con el espacio y el tiempo.

Además, la lógica formal no considera el origen de los conceptos, sino que se limita a estudiar las leyes que regulan los nexos que hay entre ellos. En cambio, la lógica trascendental estudia el origen de los conceptos y se ocupa específicamente de aquellos conceptos que no provienen de los objetos, sino que provienen a priori del intelecto, y que sin embargo se refieren a priori a los objetos mismos.

5.6.5. La lógica del siglo XIX

Entre 1825 y 1900 el álgebra y la geometría experimentaron grandes cambios, que hacia 1900 dieron lugar a una nueva concepción de la filosofía de la matemática. Una ecuación es un enunciado que establece que dos grupos de números o de signos representativos de ellos son iguales. Hasta 1825 el álgebra no era sino la teoría de las ecuaciones. El fin de la teoría era obtener un conocimiento del modo en que tales ecuaciones podían ser manipuladas para asignarles valores numéricos que las hiciesen verdaderas, como también obtener un conocimiento de las condiciones que controlan la existencia entre esos valores numéricos. Las cuatro operaciones básicas se efectuaban siguiendo un criterio más o menos intuitivo, según los pasos que parecían más “naturales”. Las reglas que las apoyaban continuaban en la oscuridad. No se pensaba que fuese necesario el establecimiento de tales reglas.

Peacock adelantó la idea de que el álgebra es una ciencia deductiva como la geometría. Defendía, primero, que todos los procesos del álgebra habrán de estar basados en un establecimiento completo del cuerpo de leyes que conciernen a las operaciones utilizadas en esos procesos, no pudiéndose usar ninguna propiedad de una operación si no ha sido puesto de manifiesto que tal propiedad pertenece a esa operación, y no se ha establecido como una ley verdadera desde el comienzo o no ha sido obtenida por deducción a partir de las leyes iniciales. En segundo lugar, que los signos de las operaciones no tienen, a efectos deductivos, otros sentidos que aquellos que les han sido asignados por leyes.

5.6.6. La lógica inductiva de John Stuart Mill

Para Mill la lógica es una elaboración posterior de nuestras intuiciones sensibles. Pero no todo es percepción inmediata; éstas son ciertas y contra ellas no hay apelación. Sin embargo, la mayor parte de nuestro saber lo obtenemos por deducciones (inferences). Después de las observaciones particulares siempre queremos establecer leyes generales y conceptos. Y estas leyes implican siempre una conexión y dependencia entre un A y un B, C, etc. Mill se propone mostrar los pasos seguros en las deducciones. En su obra A System of Logic, Rationative and Inductive (Londres, 1843), establece algunas reglas:

1. Método de concordancia: si dos o más casos, en los que tiene lugar un fenómeno, tienen una única circunstancia común, ésta es causa o efecto de aquel fenómeno.

2. Método de diferencia: si dos casos contienen un fenómeno W siempre que se da la circunstancia A, y no la contienen si A falta, W depende de A.

3. Método combinado de concordancia y diferencia: si varios casos, en que está presente A, contienen un fenómeno W, y otros casos, en que no está presente A, no contiene W, A es condición de W.

4. Método de los residuos: si W depende de A = A1, A2, A3, mediante la comprobación de las dependencias de A1 y A2, queda también comprobado en qué grado depende W de A3.

5. Método de las variaciones concomitantes: si un fenómeno W cambia siempre que cambia otro (fenómeno U), de modo que todo aumento o disminución de U va acompañadio de un aumento o disminución de W, W depende de U.

De este modo una importante contribución a la lógica inductiva la hallamos en su Sistema de lógica, donde Mill estructuró los métodos de prueba que, según su interpretación, iban a caracterizar la ciencia empírica. Este estudio ha desembocado, en el siglo XX, en el campo conocido como filosofía de la ciencia. Muy relacionada con ésta se encuentra la rama de las matemáticas llamada teoría de la probabilidad.

Así, Mill supera a Hume en cuanto a la táctica, pero no en cuanto a los principios empiristas; el psicologismo de Hume es continuado por el empirismo lógico de Stuart Mill.

5.7. LÓGICA SIMBÓLICA.

5.7.1. La lógica matemática o simbólica contemporánea: Introducción

El desarrollo de la forma matemática de la lógica no ha concluido todavía, existiendo hasta hoy, discusiones sobre su contenido peculiar, e incluso sobre su mismo nombre. Se la denomina «lógica matemática», «lógica simbólica», «logística».

Características específicas de la lógica simbólica:

1. En primer lugar, esta forma de la lógica se trata siempre de un cálculo, es decir, de un método formalístico, que consiste fundamentalmente en que las reglas de las operaciones se refieren a la forma de los signos y no a su sentido, exactamente igual que en matemáticas. Es verdad que el formalismo se ha empleado de vez en cuando en otras formas de la lógica, sobre todo en la escolástica, pero ahora se ha convertido en un principio universal de método lógico.

2. Íntimamente relacionado con esto, hay una novedad profundamente revolucionaria. Todas las demás formas conocidas de la lógica se sirven de un método abstractivo: las proposiciones lógicas se obtienen del lenguaje natural mediante abstracción. Los lógicos matemáticos proceden de una forma inversa: primero construyen un sistema puramente formal, y sólo después le buscan una interpretación en el lenguaje ordinario. Es verdad que este procedimiento no aparece siempre en toda su pureza, e incluso no es imposible encontrarle ciertas correspondencias en otras formas de lógica, pero, a partir de Boole, este principio se ha asentado de una manera clara.

3. Las leyes se formulan en lenguaje artificial, que consiste en símbolos semejantes a los matemáticos (en el sentido estricto de la palabra). La verdad es que también las constantes se expresan por medio de signos artificiales; éstos se empleaban para las variables ya desde Aristóteles.

5.7.2. La lógica simbólica: cronología de los pensadores

En general todos los autores suelen señalar a Leibniz como el fundador de la lógica matemática, aunque el fundador de una escuela y el punto de partida del ininterrumpido desarrollo de la lógica matemática sea George Boole, cuyo primer escrito, innovador y revolucionario, The Mathematical Analysis of Logic apareció en 1847. El mismo año Augustus de Mergan publicó su Formal Logic.

La idea de Boole han sido desarrolladas en diversas direcciones por: R. Lellis (1863), R. Grassemann (1872), W.S. Jevons (1864), J. Venn (1880), y sobre todo por E. Schröder (1877).

Contemporáneos de los últimos autores citados, son los trabajos de una escuela de lógicos matemáticos, cuyos principales representantes son, C.S. Pierce (1870), Gottlob Frege (1879) y G. Peano (1880). De estos pensadores sólo Peano, creó una escuela más numerosa; Pierce y Frege pasaron prácticamente desapercibidos.

El descubrimiento del pensamiento de Frege es un mérito de Russell (1903), que junto con Whitehead, elaboraron su gran obra Principio Mathematica (1910-1913); en ella se utiliza el simbolismo de Peano, combinándolo con sus propios conocimientos.

Y antes de la aparición de los principios, habían entrado en actividad Hilbert (1907), Brouwer (1907), el primer trabajo de Lukasiewicz (1910), Tarski (1921) y Carnap (1930).

5.7.3. Boole

Probablemente puede considerarse el análisis matemático de la lógica de Boole como el nacimiento de la lógica matemática. Boole esta influido, además de por las ideas de la lógica clásica, por las de Hamilton y De Morgan, relativas a la teoría que se basaba en el cambio de las cuatro formas de enunciado categórico (A, I, E y O) en un número mayor en las cuales se toma en consideración la cuantificación del predicado. Por ejemplo, Hamilton advirtió dos tipos de enunciados universales: “Todo S es todo P” y “Todo S es algún P”. Si se tiene en cuenta también la cuantificación de predicados, entonces todo enunciado de la forma sujeto-predicado puede transformarse en una ecuación o en la enunciación de que esa ecuación es falsa, aproximando de este modo la lógica al álgebra.

En la teoría de Hamilton y De Morgan, S y P se convierten en signos de las cosas mismas que poseen las cualidades (y no como signos de cualidades, tal como ocurría en Aristóteles). Este es el cambio de “todo S es P” a “todos los S son P” (p.e., de “toda hoja es verde” a “todas las hojas son verdes”). Este cambio de un enfoque intensional (en términos de cualidades de las cosas) por uno extensional (en términos de clases de objetos) permitió una estricta matematización de la lógica, y así un avance más rápido, pues los conceptos extensionales siempre poseen unos criterios de aplicación más claros.

El nombre que se emplea en lógica y matemáticas para designar un grupo formado por todas las cosas que poseen una cierta propiedad es el de clase o conjunto, y de las cosas que poseen esa propiedad se dice que son elementos de la clase o del conjunto. Las ideas de clase y elemento son básicas en la matemática actual. El resultado de la teoría de Hamilton y De Morgan fue posibilitar una concepción de la lógica como un álgebra de clases. Y Boole fue el primero en tener claramente esta concepción.

Boole da cuenta de la antigua lógica como un álgebra, mostrando cómo los enunciados A, I, E y O pueden traducirse en forma de ecuaciones simples; cómo las consecuencias necesarias de cualquiera de estos enunciados pueden obtenerse algebraicamente partiendo de su ecuación correspondiente; cómo la validez de un silogismo puede comprobarse convirtiendo el grupo de enunciados que lo integran en un sistema de ecuaciones simples y viendo si la ecuación correspondiente a la conclusión puede ser obtenida algebraicamente a partir de las ecuaciones correspondientes a las premisas; y cómo si se dan ciertos enunciados como premisas de un silogismo, pero sin especificar conclusión alguna, es posible obtener algebraicamente de ellos una conclusión necesaria partiendo de sus correspondientes ecuaciones.

Pero Boole expuso, además, una teoría de la lógica de enunciados considerada como un álgebra. Como su teoría de la lógica de enunciados fue, en cuanto a la forma, la misma que la del álgebra de clases, fue el primero en ofrecer una teoría unificada de la lógica. De este modo, el álgebra de Boole es como una teoría con dos interpretaciones. Así, en álgebra de clases “1” significa “todo”, esto es, la clase de todos los elementos posibles, “0” es “nada”, o sea, la clase que no tiene por elemento nada que sea elemento de “todo”, “x + y” es la clase cuyos elementos son las cosas de “todo” que son elementos de x o y de y, pero no de ambos; “x ( y” es la clase de elementos comunes a x e y. Pero esas cuatro fórmulas significan respectivamente en lógica de enunciados: “lo verdadero”, “lo falso”, que x es verdadero o y es verdadero, pero no ambos, y finalmente que x es verdadero e y es verdadero.

5.7.4. La teoría de las relaciones de Pierce

Pierce hizo una completa exposición de su teoría de las relaciones en su artículo The Logic of Relative. Su teoría está basada en el álgebra de Boole y en la lógica formal y otros ensayos de De Morgan.

Una lógica de relaciones es necesaria para una lógica de la matemática, porque existe una gran cantidad de relaciones que juegan un importante papel en matemáticas. Además, Pierce ideó un «procedimiento de decisión» para evaluar si un complejo de signos en un sistema de juntores es o no representativo de una ley verdadera de lógica. Se dice que un procedimiento es un procedimiento de decisión si es completamente automático, capaz de ser realizado por una máquina, y suministra una comprobación de que, lo que formulas en un sistema, son leyes del mismo, siendo una fórmula, una ley si sólo se cumple una cierta propiedad «p».

Pierce tenía la intención de construir una teoría de la lógica de juntores como un sistema basado en axiomas.

5.7.5. El álgebra de la lógica de Schröder

Las principales obras de Ernot Schröder sobre lógica matemática fueron «El campo de Operaciones de Cálculo lógico» y «Lecciones sobre el álgebra de la lógica».

Gran parte de lo que hizo Schröder era nuevo, aunque a menudo basado en material más antiguo. Entre sus teoremas más valiosos figura el de dualidad, según el cual todas las leyes del álgebra de la lógica pueden ser agrupadas por parejas, siendo posible pasar del conocimiento de uno de los dos componentes de la pareja, al conocimiento del otro, por medio de una sencilla regla de mutación.

5.7.6. Frege y la fundación de la lógica formal

Muchos consideran que la lógica simbólica moderna nace con la publicación, por G. Frege, de su obra Conceptografía (1879), breve ensayo que pasó inadvertido hasta que la obra de Russell, Principia Mathematica (1903), llamó la atención sobre su contenido. La Conceptografía representa la primera formalización de la lógica elemental o de primer orden, y muestra que la aritmética se identifica con la lógica, o que es una parte de la lógica, en aparente contraposición con la postura de Boole.

Según Jesús Mosterín[18], la obra de Frege puede dividirse en cuatro períodos:

1. Construcción de un formalismo lógico (Ideografía o Conceptografía).

2. Fundamentación de la Aritmética (Los fundamentos de la Aritmética).

3. Elaboración de su Semántica. Intento de reducción de la Aritmética a la lógica.

4, Disputas con Hilbert. Investigaciones Lógicas.

En sus Fundamentos de la aritmética (1884), tras una crítica de las doctrinas que hacían del número una propiedad de las cosas del mundo, una realidad subjetiva o una colección, Frege se aplica a presentar su teorías: un número es enunciar alguna cosa de un concepto. De esta forma, desarrolla una teoría de la reducción de la aritmética a la lógica, de influencia platónica en cuanto a su concepción de la matemática.

Los Grundgesetze (constitución o ley fundamental) de Frege (2 vols. 1893 y 1903) debían desarrollar lo apuntado en sus Fundamentos de la aritmética y proseguir el gran proyecto de la Begriffsschirft (Conceptografía) de 1879. La acogida de la obra fue escasa; y también el segundo volumen tuvo igual suerte, por lo que Frege abandonó el proyecto (pese a que haría de él el fundador de la lógica formal y matemática contemporánea). Renunció a elaborar un tercer volumen desanimado por las críticas de Russell[19].

El propósito de Frece en los Grundgesetze es claramente logicista. Pretende deducir las leyes básicas de la aritmética y la matemática partiendo exclusivamente de la lógica. Las leyes de la aritmética no son las reglas formales de un juego, sino que las matemáticas son una ciencia real, cuyo fin es la verdad. Esta obra está escrita en simbolismo (quizás lo más perdurable), son tan complicados que ha impedido que tenga una buena acogida. Russell reconoció esta importancia simbólica; pero, pese a ello, se acogerá a la simbología de G. Peano.

La teoría de los cuantificadores ha sido considerada como la novedad de mayor relieve introducida por Frege y una de las aportaciones lógicas de mayor importancia del s. XIX; aplicada a los enunciados categóricos representa un punto claro de unión entre la lógica aristotélica de términos y la lógica de enunciados iniciada por los estoicos.

Pero el punto capital de la Aritmética de Frege es su definición de número cardinal, cuya más sencilla ejemplificación son los elementos de la serie 0,1,2,3,… Para Frege, un número cardinal es una propiedad de una clase. Así, por ejemplo, a la pregunta: ¿Cuál es el número de hombres en el ejército ruso en la actualidad?, se responderá correctamente indicando un número cardinal, cuyo número vendría a ser, según Frege, una propiedad de la clase «hombre en el ejército ruso en la actualidad». Ahora bien, conviene advertir que lo que Frege, a diferencia de Russell, tiene aquí en mente por «clase» es la idea-clase, es decir, la clase considerada como una idea, y no número cardinal, sería una propiedad de la idea-clase; Así pues, número cardinal sería una propiedad de la idea-clase, y en nuestro ejemplo, una propiedad de la idea-clase «hombre en el ejército ruso actualmente».

La definición que da Frege del número cardinal de una clase x se formula rigurosamente diciendo que ese número es la clase de todas las clases y tal que x e y tienen entre sí una relación de uno- a-otro.

En definitiva, Frege, con su Fundamentos de la aritmética quiso relacionar la aritmética con la lógica, reduciendo el concepto de número natural a una combinación de conceptos meramente lógicos. Trató de convertir en verosímil el hecho de que la aritmética sea una rama de lógica y no tenga necesidad de solicitar en préstamo el fundamento de sus demostraciones a la experiencia o a la intuición. Por eso, Frege se propuso realizar la obtención de las leyes más simples de enumerar a través de medios puramente lógicos.

De este modo, con Frege se pasó de la aritmetización del análisis a la logización de la aritmética y se inició la tendencia logicista con respecto a la fundamentación de la matemática, tendencia que Bertrand Russell asumirá y desarrollará a continuación.

5.7.7. Peano y la Lógica matemática

Giuseppe Peano (1858-1932) era un matemático italiano que creó un sistema descriptivo que permitía enunciar cualquier proposición de lógica o de matemáticas sin recurrir al lenguaje. Propuso en sus escritos la denominada “aritmética de Peano”, que es una exposición axiomática y deductiva de la aritmética de los enteros naturales. En 1890 creó la ‘curva de Peano’, el primer ejemplo de fractal[20]. En 1903 sus trabajos de búsqueda de una lengua internacional llevaron al ‘latín sin flexiones’, también llamada “interlingua”, cuyo vocabulario comprende las palabras latinas comunes al francés, al inglés y al alemán. Como se ve, se trataba de que los hombre pudiéramos entendernos. De aquí su importancia en la lógica.

Quizá sea él el fundador de la metamatemática (y la metalógica), entendida como ciencia que trata de las propiedades formales de un sistema deductivo. El recurrió a la lógica para que le sirviera de instrumento a las matemáticas. Pensaba que cualquier enunciado matemático es en realidad un condicional, o una implicación, con la forma “p → q”.

A G. Peano debemos el nombre de “lógica matemática”, para referirse a la moderna lógica simbólica, que él quiso diseñar para su aplicación a las matemáticas. El creó el sistema de signos o notación simbólica que después utilizarán Russell y Whitehead en su obra Principia Mathematica.

Russell llamará a Peano el “gran maestro del arte del razonamiento formal”. Russell conoció a Peano en 1900, en el Congreso Internacional de Filosofía de París. Allí descubrió Russell la importancia que tenía una reforma lógica en la filosofía de la matemática; Peano era siempre más preciso en sus argumentaciones que todos sus contrincantes en ese Congreso. Los libros de Peano fueron los que empujaron a Russell a realizar sus trabajos sobre los principios de la matemática.

5.8.8. Russell: lógica matemática

a) Principia Mathematica

En su libro Los principios de la matemática (1903) Russell se propuso demostrar:

a) Que toda la matemática procede de la lógica simbólica

b) Descubrir en la medida de lo posible cuáles son los principios de la misma lógica simbólica

Russell ilustró el primer objetivo a través del citado libro de 1903; y quiso desarrollar el segundo propósito con su obra Principia Mathematica (tres gruesos tomos, redactados con su maestro A.N. Whitehead), publicados en 1910, 1912 y 1913.

Russell considera, junto con Frege, que la matemática puede reducirse a una rama de la lógica. La matemática pura es la clase de todas las proposiciones que toman la forma “p → q” (como también afirmaba Peano). No existen conceptos típicos o propios de la matemática que no puedan verse reducidos a conceptos lógicos (de la lógica de clases). Y, con mayor motivo todavía, no existen dentro de la matemática procedimientos de cálculo o de derivación que no se puedan transformar en derivaciones de carácter puramente formal.

En los Principia Mathematica Russell afirma que matemáticamente un número no es más que una clase de clases equipotentes. Estaba convencido de que la matemática y la lógica son idénticas, y de que toda la matemática pura trata exclusivamente de conceptos definibles en términos de un número pequeñísimo de conceptos lógicos fundamentales. Inspirándose en la técnica lógica y terminológica de Peano, elaboró este libro empeñándose en construir toda la matemática a partir de la lógica, llevando a cabo el proyecto de Frege. Pero entre 1901-1902 Russell puso en crisis la lógica de clases, con lo que hirió de muerte la fundamentación de la aritmética de Frege, que se basaba precisamente en la lógica de clases.

b) La paradoja de Russell

La “paradoja de Russell” muestra que la aritmética de Frege es autocontradictoria. En efecto, pensemos en un conjunto que no se contenga en sí mismo como elemento (el conjunto de los libros de mi biblioteca; el conjunto de estos libros no es él mismo un libro) y llamemos “normal” a este libro. No puede excluirse que exista algún conjunto no normal. Por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos es él mismo un conjunto y, por tanto, no es normal, o es no normal. Y ahora formemos el conjunto X de todos los conjuntos normales; y preguntémonos si es normal. Supongamos que X se contenga a sí mismo como elemento: en ese caso, es conjunto normal (porque los elementos de X es un conjunto normal), y en cuanto tal conjunto normal, no puede contenerse a sí mismo como elemento. En ese caso, por definición, es normal; pero como todos los conjuntos normales, tiene que ser elemento de X, y, por tanto, debe contenerse en sí mismo. En ambas hipótesis se incurre en contradicción.

d) La teoría de los tipos

Cuando Russell comunicó a Frege esta paradoja, éste se vino abajo y abandonó su proyecto. Por su parte, Russell se propuso superar esta antinomia, en el Apéndice de su Principia Mathematica exponiendo la teoría de los tipos. Aquí Russell propone la regla siguiente: Se puede atribuir un predicado de tipo “n” sólo a un sujeto de tipo “n -1”. Es decir, un concepto nunca puede ser necesario como predicado en una proposición cuyo sujeto sea de un tipo igual o mayor al concepto mismo. Las clases no son “cosas” sino únicamente expresiones, que pueden utilizarse correcta o incorrectamente.

Así describe Russell su descubrimiento:

Comuniqué la desgracia a Whitehead, que no pudo consolarme […]. Llegué a esta contradicción al considerar la prueba de Cantor de que no existe un número cardinal mayor que todos. Yo pensaba, en mi inocencia, que el número de todas las cosas que existen en el universo debe ser el número más grande posible, y apliqué su prueba a este número para ver qué ocurría. Esta operación me llevó a considerar una clase muy peculiar. Pensando dentro de la línea que hasta entonces había parecido adecuada, me parecía que una clase es a veces, y a veces no es, miembro de sí misma. La clase de las cucharillas, por ejemplo, no es otra cucharilla, pero la clase de las cosas que no son cucharillas sí que es una de las cosas que no son cucharillas. Parecía haber ejemplos que no eran negativos: por ejemplo, la clase de todas las clases es una clase. La aplicación del argumento de Cantor me llevó a considerar las clases que no son miembros de sí mismas; y éstas, al parecer, deben formar una clase. Me pregunté si esta clase es un miembro de sí misma o no. Si es un miembro de sí misma, debe poseer la propiedad definitoria de la clase, que es no ser miembro de sí misma. Si no es miembro de sí misma, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase y por tanto debe ser miembro de sí misma. Así, cada alternativa conduce a la contraria, y hay una contradicción.

Al principio pensé que debía de haber algún error trivial en mi razonamiento. Examiné cada paso bajo un microscopio lógico, pero no pude descubrir nada incorrecto. Escribí a Frege acerca de ello, y me replicó que la aritmética se tambaleaba que ahora veía que su ley V era falsa. Frege quedó tan desasosegado por esta contradicción que dio de lado el intento de deducir la aritmética de la lógica, al cual, hasta entonces, había dedicado principalmente su vida. Como los pitagóricos cuando tropezaron con los inconmensurables, buscó refugio en la geometría y al parecer consideró que el trabajo de su vida hasta aquel momento había estado mal orientado. Por mi parte, me di cuenta de que la dificultad residía en la lógica más que en las matemáticas, y era la lógica lo que había de reformarse[21].

e) Recapitulación

En definitiva, el sistema lógico de Russell y Whitehead cubre un espectro mayor de posibles argumentaciones que las que se pueden encontrar en la lógica silogística. Introduce símbolos para frases enteras y para las conjunciones que las unen, como “o”, “y”, “si … entonces…”. Cuenta con símbolos diferentes para el sujeto lógico y el predicado lógico de una frase y adjudica símbolos para distinguir las clases, para los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a una clase y la inclusión en una clase. También se aleja de la lógica clásica en sus suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones universales. La afirmación “Todo A es B” significa en lógica moderna que “Si algo es A, entonces es B “; lo que, a diferencia de la lógica tradicional, no significa que todo A existe.

Tanto la rama clásica como la moderna implican métodos de lógica deductiva. En cierto sentido, las premisas de una proposición válida contienen la conclusión, y la verdad de la conclusión se deriva de la verdad de las premisas. También se han hecho esfuerzos para desarrollar métodos de lógica inductiva como las que sostienen que las premisas conllevan una evidencia para la conclusión, pero la verdad de la conclusión se deduce, sólo con un margen relativo de probabilidad, de la verdad de la evidencia.

5.8.9. La lógica como tautología: Wittgenstein

Para Wittgenstein, el que propuso las tablas de verdad las “proposiciones de la lógica son tautologías”[22]. “Por consiguiente, las proposiciones de la lógica no dicen nada; son proposiciones analíticas”[23]. Aquí se refleja la doctrina kantiana de los juicios analíticos. Pero Wittgenstein radicaliza a Kant; aquél, siguiendo la tradición de Frege y Russell, sitúa la base de la lógica en el cálculo proposicional, y traslada al plano de este cálculo su noción de tautología. Las proposiciones de la lógica no dicen nada que pertenezca al mundo, son proposiciones “carentes de sentido” (sinnlos), pues ni afirman ni niegan nada ni son figuras de la realidad. Pero esto no significa que sean “sinsentidos” (unsinnig), esto es, algo absurdo. Pertenecen, en realidad, al simbolismo, en donde ocupan un lugar límite, a la manera del cero en la serie de los números naturales. “La señal característica de las proposiciones lógicas está en que pueda reconocer sólo en el símbolo que son verdaderas o falsas; y este hecho contiene en sí toda la filosofía de la lógica”[24]. Pero la lógica es un a priori, pues no se puede pensar ilógicamente, por ello, “en lógica jamás puede haber sorpresas”[25].

De este modo, las soluciones de los problemas lógicos representa, para Wittgenstein, el canon de la simplicidad por la simetría de sus respuestas aprióricas. Por ello, la prueba en lógica es un mero expediente mecánico (de ahí sus tablas de verdad) que aclara la estructura de la ontología cuando ésta es complicada. “La lógica no es una doctrina, sino un reflejo del mundo. La lógica es trascendental”[26]. La lógica no es una doctrina, una teoría que diga algo concreto sobre los hechos del mundo; pero sí es un reflejo del mundo, ya que sus proposiciones, al ser vacías y tautológicas, descubren la invisible estructura formal del lenguaje y, con ello, la trama del mundo.

He aquí, finalmente, lo que Wittgenstein denomina su “pensamiento fundamental”: “Mi pensamiento fundamental es que las ‘constantes lógicas’ no representan. Que la lógica de los hechos no puede ser representada”[27]. De este modo, en opinión de M. Garrido, para el autor del Tractatus, la teoría de las funciones veritativas convierte en castillos de naipes los vistosos edificios axiomáticos de Frege y Russell.


[1] Metafísica, XI, 7, 1064 h.

[2] IV, 3, 1005 b, 6.

[3] ARISTÓTELES, Categorías, 12, 14b, 21.

[4] De interpretatione, 1, 16, a, 3.

[5] Analíticos Anteriores, I, 24 a 16

[6] Metafísica, IV, 7, 1011 b, 23; X, 7, 1057 a, 33.

[7] Primeros Analíticos, 24 b, 18.

[8] Analíticos anteriores, I, 26 a 37.

[9] Analíticos anteriores, I, 24 b 22.

[10] Segundos Analíticos, 71 a, I.

[11] SÉNECA, Epístola, 89.

[12] DIÓGENES LAERCIO, Vita, VII, 43-44.

[13] SEXTO EMPÍRICO, Adv. Math., VIII, 12

[14] Summulae, 6, 03

[15] “Palabra latina que significa ‘pregunta” o “cuestión”. Corresponde al método de estudio y enseñanza que se hizo común a partir del siglo XII, tanto en la filosofía como en la teología escolásticas, donde tras hacerse una pregunta, se respondía a la misma, respondiendo también a las posibles objeciones, normalmente en el transcurso de una lección oral o basándose en algún texto. Desde Aristóteles existen diversos tipos de cuestiones sobre las cosas: a) si algo es o existe; es la pregunta por la existencia de algo; b) qué es propiamente eso que es o existe, cuestión sobre su esencia; e) cómo es eso que es o existe; es la pregunta sobre sus cualidades básicas; d) por qué es o existe eso; es la cuestión sobre su causa. Quizá el fundador de este método de enseñanza y exposición de los temas o al menos uno de sus iniciadores, fue Pedro Abelardo, que en su obra Sic et non (si y no), de 1121, se hacía eco de todos los argumentos a favor y en contra de la cuestión que se había dado históricamente o que pudieran establecerse de forma lógica, que proponía al análisis en sus lecciones, debiendo refutar los argumentos contrarios para llegar a la conclusión que él sostenía. Un método similar utiliza, por ejemplo, santo Tomás de Aquino en su conocida Suma de Teología. En esta obra cada artículo consta de cinco partes: l) formulación de una quaestio o pregunta; 2) exposición de las objeciones de los autores que no sostienen la veracidad de la cuestión, aduciendo textos de estos oponentes; 3) por el contrario: refutación de esos argumentos o autores, sosteniendo razones que se pueden apoyar además en otros textos que sostienen lo contrario que en el paso segundo; 4) donde se expone la respuesta que santo Tomás da a esta cuestión; 5) respuesta a las objeciones: donde se refutan una por una, y en el mismo orden en que han sido expuestas, esas ideas y a sus autores. Se denominaban quaestiones disputatae a las preguntas ordinarias en el desarrollo de sus lecciones entre los profesores de filosofía o teología. Y se llamaban quaestiones quodlibetales a las interrogaciones fundamentales que, siguiendo algunos textos de la Biblia, de Aristóteles, del libro de las Sentencias de Pedro Lombardo, etc., debían responder, en forma de examen, los que pretendían obtener algún grado en materia teológica (Bachiller, Licenciado, Magister, etc.)”M. Moreno Villa, La Filosofía y la Etica, de la A a la Z, San Pablo, Madrid, 2000, voz “questio”.

[16] Una de las fuentes de Leibniz en esta cuestión es el Ars Magna, de Ramon Llull, a quien ya nos hemos referido, obra la que, a los 20 años, dedicó un estudio crítico: Dissertatio de arte combinatoria (1666); posteriormente publicó Elementa characteristicae universalis (1678).

[17] Este proyecto o quizás, esta “tentación” ha estado presente en muchos otros pensadores, desde Aristóteles hasta los representantes del Circulo de Viena, pasando por Russell. Así, Rudolf Carnap (1891-1970), alumno de G. Frege emprendió también una obra ambiciosa en extremo para realizar una “estructuración lógica del mundo”. En ella parece realizarse el sueño de Descartes. Movido por una “actitud científica”, Carnap se tenía así mismo por ejecutor de las ideas de Leibniz: las ideas de una matemática universal, de un arte combinatoria y de un lenguaje simbólico Anteriormente Whitehead y su discípulo Russell habían elaborado en sus Principia Mathematica el más completo sistema de “lógica simbólica” o logística, de orientación matemática, como veremos.

[18] Introducción a la edición española de los Estudios sobre Semántica de Frege

[19] La célebre “paradoja de Russell” se dirige contra Frege. Russell demostró la inconsistencia de la teoría conjuntos de Frege y Cantor, pues hay clases que son elementos de sí mismas. Así, la clase de “el libro contiene todos los libros”, no contiene en sí a ese libro. De este modo Russell demostró que la clase no es, sin rnás aplicable a la noción “intuitiva” de conjunto, como después explicaremos.

[20] Objeto matemático que se caracteriza por conservar su forma esencial, fragmentada o irregular, cuando varía la escala de la observación. La curva de Peano (1890) es el primer ejemplo de curva que llena una superficie y fue definida por un proceso iterativo.

[21] RUSSELL, B., La evolución de mi pensamiento filosófico, Alianza, Madrid 1982, pp. 77-78.

[22] Tractatus Logico-Philosophicus, 6.1.

[23] Ibid., 6.11.

[24] Ibid., 6.113.

[25] Ibid., 6.151.

[26] Ibid., 6.13.

[27] Ibid., 4.0312.

Publicado: enero 22, 2016 por Santiago

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