Tema 7A – La lógica como sistema formal axiomático: los límites de los sistemas formales axiomáticos

7.1. INTRODUCCIÓN

7.1.1. Lógica y sistemas formales axiomáticos

El hombre siempre ha perseguido la idea de razonar de un modo correcto, sin ambages, procurando deshacerse de todos los malentendidos y errores. De ahí la búsqueda de un método que nos permita confiar en la coherencia interna de lo que se nos comunica.

La lógica moderna se ocupa de la consecución de un cálculo que nos permita, al igual que el otro sistema formal clásico (la matemática), deducir teoremas de axiomas determinados, es decir, constituir a la lógica como un sistema formal axiomático. En este sentido, sostenemos con A. Deaño que los lenguajes formales (lenguajes construidos y de precisión) se constituyen en instrumentos de expresión construidos por los científicos con el propósito de formular con mayor rigor y exactitud las relaciones entre los objetos, que van a ser estudiados por las ciencias que correspondan a los diferentes tipos de objetos.

7.1.2. Nociones básicas

a) Exposición de la noción de cálculo

Un cálculo es un sistema de relaciones, un mero armazón; por tanto, ni siquiera es propiamente un lenguaje. El cálculo es construido y artificial e implica:

a) Los símbolos primitivos o conjunto de símbolos primitivos.

b) Las reglas de formación que indican como se pueden combinar

y utilizar los símbolos primitivos.

c) Las reglas de transformación. Al utilizar correctamente estas reglas podemos cambiar una combinación bien construida de símbolos en otra combinación bien construida.

Tanto por lo que se refiere a los símbolos primitivos como por lo que se refiere a las reglas de formación y transformación, estos han de resultar perfectamente definidos pues hemos de juzgar si un símbolo es correcto, una regla de formación es una expresión bien formada del cálculo y si una transformación ha sido efectuada correctamente.

El cálculo debe su existencia a que es autárquico (en expresión de A. Deaño), es decir, no hace referencia a nada ajeno a él y su cometido no es otro que el mero y simple calcular. En definitiva, lo esencial de un cálculo es su carácter intrínsecamente formal. Como dirá Deaño: “Lo esencial de un cálculo… es su naturaleza puramente sintáctica”. “Un cálculo no es, por lo tanto, un lenguaje, en la medida en que no es un medio de comunicación, sino un puro armazón sintáctico. Sus elementos carecen de significado. No son signos, sino entidades opacas que manipulamos de acuerdo con una serie de reglas.

Podemos, sin embargo transformar un cálculo en un lenguaje. ¿Cómo? Interpretando sus símbolos, proveyendo a sus símbolos de un significado”.

Estamos, por lo que ha dicho Deaño, ante un lenguaje con posibilidad de ser formal si se somete a interpretación, un lenguaje, en fin, con estructura de cálculo, un lenguaje en el que gozan de artificialidad tanto el vocabulario como su sintaxis. Y parafraseando a Deaño:

“De entre todos los cálculos que podemos construir hay algunos que por su especial estructura y su buen rendimiento son particularmente aptos para ser aplicados a un ámbito específico de problemas, el ámbito de los problemas lógicos”.

b) El concepto de “axiomático”

“Axioma” deriva del griego axiôma, “lo que parece justo”, derivado del verbo axióô, “yo estimo justo”, y éste de áxios, “digno”. Es aquel postulado propositivo que por su propia dignidad, esto es, por ocupar un determinado lugar en un sistema de proposiciones, debe ser considerado verdadero. Suele ser considerado un principio intuitivo y evidente y, por tanto, que no necesita ser demostrado-, que se constituye como el fundamento de cualquier ciencia; es el punto de partida de la demostración del teorema de un sistema. Un principio intuitivo y evidente, un axioma, que no tiene que ser demostrado es, por ejemplo: “una parte de una cosa es más pequeña que la cosa entera”. Así, en la lógica y en la matemática actuales se distingue entre el axioma y el teorema; mientras el primero se postula como verdadero sin precisar ninguna prueba, el segundo es un enunciado que se acepta una vez que ha sido probado. Actualmente se pide a un teorema no tanto que sea verdadero a priori cuanto que sea útil para explicar la realidad o para que sea asumido por otros ámbitos científicos.

“Postulado”. En la actual lógica es sinónimo de axioma. Un postulado es una proposición (también una función proposicional), que, en los sistemas lógicos axiomáticos se toma o se “pide” (postulare significa “pedir”) como punto de partida o principio para la demostración de teoremas No son simples definiciones, ni tampoco es algo que haya sido deducido de un enunciado más primitivo. En la lógica hasta el siglo XIX se distinguía un postulado de un axioma en que éste era considerado evidente y no derivado ni demostrado, mientras que los postulados no eran evidentes, ni demostrables, sino que se “postulaban”.

“Teorema”. Del griego theôrêma. Término matemático que designa cualquier proposición que sea demostrable -pues no es evidente- partiendo de otras proposiciones (axiomas, postulados, definiciones e incluso otros teoremas previamente demostrados, etc.); en definitiva, es cualquier proposición que se demuestre, al ser una consecuencia lógica de los axiomas o las definiciones introducidas como premisas en una proposición, utilizando las reglas de inferencia o deducción lógica. En lógica es también la conclusión demostrable o demostrada partiendo de un conjunto vacío de premisas; aquí coincide con la tautología, con la verdad lógica, o con el enunciado analítico. Por ejemplo, la proposición: “Si como y camino, entonces camino”, es un teorema semántico.

c) ¿Qué entendemos cuando afirmamos que la lógica es un sistema formal axiomático?

Tanto en las matemáticas como en la lógica, en primer lugar, y como primer paso, se tratará de elegir unos principios que vamos a denominar axiomas. En segundo lugar, y como segundo paso, se planteará no aceptar más enunciados que los que se infieran de los axiomas por deducción lógica. Estos enunciados se llaman teoremas. Tal procedimiento desencadenado o susceptible de desencadenarse es lo que denominamos propiamente sistema axiomático.

Una teoría axiomática es aquella que se produce ordenadamente y que va de los axiomas a las reglas según normas de inferencia. El hecho de la axiomatización llega a su punto más eleva do cuando se hace acompañar por la formalización de la teoría cientí fica que se trate de axiomatizar. De lo que deducimos que si formaliza mos y axiomatizamos una teoría cien tífica, obtendremos un sistema for mal axiomático que estará compuesto por:

a) Un vocabulario primitivo.

b) Un conjunto de reglas de forma ción de fórmulas.

c) Cierto número de axiomas que son las fórmulas primeras del sis tema.

d) Un conjunto de reglas de infe rencia o transformación.

El vocabulario primitivo y las re glas de formación de fórmulas vie nen a ser algo así como la gramáti ca. El conjunto de axiomas y las reglas de inferencia componen la lógica del sistema.

Sólo nos falta para una perfecta comprensión del sistema tratar el problema de la demostración como elemento teórico-práctico que cie rra la interrogación a la pregunta

¿que es un sistema formal axioma tico?. La demostración adara que una fórmi.ila del sistema es o un axio ma o una consecuencia inmediata (de algunas que son anteriores a ella) por medio de una regla de trans formación. Por tanto, la fórmula final es un teorema o fórmula derivada.

Sólo nos queda decir siguiendo a

M. Garrido: “El número de nocio nes primitivas, axiomas y reglas de inferencia que en concreto se esta blezca como base para la edifica ción de un sistema axiomático es, en realidad, materia de convención. El principal propósito es la facilidad inicial en la obtención de fórmulas derivadas (teoremas). Como también es estudio pormenorizado de las di ferentes partes o zonas del siste ma, interesará que el repertorio de axiomas y/o el repertorio de reglas de inferencia sea variado. Pero si lo que se pretende es obtener una visión sintética del sistema, enton ces interesará que prevalezca el cri terio de economía, es decir,’ que el número de símbolos primitivos, axio mas y reglas sea mínimo.

7.1.3. Un poco de historia

Aristóteles fue el primero en formular el análisis de la noción de “axioma” entendiendo como tal “las proposiciones primeras de las cuales parte la demostración y, en todo caso, los principios que debe poseer necesariamente el que quiere aprender algo”. De este modo, el axioma es diferente de la hipótesis y del postulado. Para Aristóteles el axioma más evidente es el principio de no-contradicción.

Esta consideración del axioma que comienza con Aristóteles se mantuvo inmutable hasta la Modernidad. Se pensaba que la verdad del axioma se manifiesta por la simple intuición o evidencia de los términos que entran en su composición. Por eso decía Santo Tomás que los principios inmediatos no son conocidos por algún término medio, sino por el mero conocimiento de sus términos; si se sabe lo que es el todo y lo que es la parte, se sabe que el primero es mayor que el segundo y que éste es menor que aquel. Pero Occam sostuvo que este principio no vale cuando se trata de todos que comprenden infinitas partes.

Después de las investigaciones de Cantor y de otros sabemos que este axioma es simplemente la definición de los conjuntos finitos, como veremos. Pues bien, durante mucho tiempo se ha buscado la justificación de la validez absoluta de los axiomas. Francis Bacon pensaba que los axiomas se obtienen por vía deductiva o inductiva, mientras que para Descartes son verdades eternas e innatas que residen en nuestra mente. Desde su empirismo, Locke consideró los axiomas como proposiciones de experiencias inmediatas, y el racionalismo de Leibniz sostenía que los axiomas son principios innatos en forma propositiva originaria que la experiencia hace explícitas. John Stuart Mill estimaba que son generalizaciones de la observación, “verdades experimentales”, aunque evidentes. Es decir, tanto unos como otros los consideran principios evidentes. En esto coincidían los racionalistas y los empiristas.

Para el criticismo kantiano son evidentes también, pero son a priori: son principios sintéticos a priori evidentemente ciertos. La evidencia, pues, es la característica propia de un axioma para Kant. La matemática posee axiomaticidad porque procede mediante la construcción de los conceptos. La filosofía, por el contrario, al no construir sus conceptos, no posee axiomaticidad. Los mismos axiomas de la intuición, que Kant colocaba entre los principios del entendimiento puro, no son verdaderamente axiomas, según él, sino que contienen simplemente el “principio de la posibilidad de los axiomas en general”.

En el pensamiento contemporáneo la noción de axioma ha sufrido su más radical transformación. La característica que definía a los axiomas, la inmediatez de su verdad, la evidencia, la certeza, le ha sido negada. Este resultado se debe al desarrollo del formalismo matemático y lógico, o sea, a la obra de Peano, Frege, Russell y Hilbert. Según el punto de vista formalista, ahora aceptado casi universalmente, los axiomas de la matemática no son ni verdaderos ni falsos; han sido adoptados convencionalmente como fundamentos o premisas del discurso matemático y lógico. De este modo, los axiomas ya no se distinguen claramente de los postulados, y las dos palabras se usan en la actualidad como sinónimas. Es decir, los términos axioma y postulado suelen utilizarse con frecuencia como sinónimos. Algunas veces la palabra axioma se usa para referirse a los principios básicos que deben ser asumidos en cualquier sistema deductivo, y el término postulado para señalar a los primeros principios peculiares de un sistema particular, como la geometría de Euclides. Rara vez se usa el término axioma para referirse a los primeros principios de la lógica, ni el término postulado para aludir a los primeros principios de las matemáticas. La elección de los axiomas es, en cierta medida, aleatoria y libre, y en tal sentido se dice que los axiomas son convenciones.

7.2. LA LÓGICA AXIOMÁTICA

Gracias al método de las tablas de verdad que Wittgenstein propuso en su Tractatus poseemos un método que nos permite comprobar inmediatamente si una expresión dada era o no universalmente válida: basta con ver si en la columna de la conectiva principal de la tabla aparecía exclusivamente el signo “V” (en cuyo caso era universalmente válida) o si aparecería alguna vez el signo “F”, en cuyo caso se trataba de una expresión indeterminada.

Es éste un procedimiento mecánico muy útil, pero que deja mucho que desear en cuanto a rigor y sistematización; pues a lo sumo nos deja en las manos una serie de tautologías, pero no nos indica qué relación existe entre ellas, no las reduce a unidad sistemática. Sería deseable, por el contrario, que construyéramos un sistema que no sólo indicara cuáles son las expresiones universalmente válidas, sino también por qué lo son[1]. Ello podría hacerse si ponemos de manifiesto que todas las expresiones universalmente válidas pueden ser deducidas a partir de un pequeño número de expresiones elementales, a las que denominamos axiomas, que admitimos sin demostración previa, con la ayuda de unas reglas de inferencia que nos permitan hacer esa deducción.

Notemos la distinción entre la construcción de un sistema axiomático y la demostración o prueba de una proposición. El sistema axiomático se compone de todas las expresiones universalmente válidas y trata de demostrar cómo todas ellas se derivan de unas pocas fundamentales. Por el contrario, en la demostración se trata de hacer ver cómo una expresión indeterminada (es decir, no tautológica) se deriva de otras expresiones indeterminadas que se aceptan como verdaderas (postulado).

Es en gran medida arbitrario que expresiones aceptamos como axiomas, y que reglas de inferencia adoptamos Sin embargo, como veremos, el conjunto de axiomas que adoptemos debe cumplir ciertas condiciones (que ahora adelantamos simplificando):

a) Debe ser completo, es decir, tienen que poder derivarse de él todas las tautologías de la lógica proposicional.

b) Los axiomas deben ser mutuamente independientes, es decir, no deben poder derivarse unos de otros.

c) Deben ser consistentes, es decir, no deben dar lugar a la derivación de expresiones que resulten contradictorias.

7.3. ¿QUÉ ES UN SISTEMA AXIOMÁTICO?

El sistema axiomático es, desde la geometría griega (Euclides), la forma típica de presentarse el cálculo o lenguaje formalizado. Lo característico del sistema axiomático como realización de la idea de cálculo consiste en disponer de un conjunto de enunciados o fórmulas que se admiten sin demostración y a partir de los cuales se obtienen todas las demás afirmaciones de la teoría, las cuales se llaman teoremas. Y las fórmulas aceptadas sin discusión son axiomas o postulados.

El conjunto de los axiomas, más la definición de enunciado o fórmula del sistema (definición que precede al enunciado de los axiomas) y el conjunto de las reglas para la obtención de teoremas a partir de los axiomas (reglas de transformación) constituyen la base primitiva del sistema.

La lógica pretende ser un sistema formal axiomático Y un sistema axiomático es un método deductivo formado por un grupo de enunciados (axiomas) que debidamente definidos, permiten deducir, mediante reglas de inferencia precisas, el conjunto de enunciados, llamados teoremas, que pertenecen al sistema axiomático.

Suele distinguirse entre sistemas axiomáticos formalizados y no-formalizados. La diferencia principal entre unos y otros consiste en que los formalizados, que son los que realizan claramente la idea de cálculo, presentan explícitamente todas las reglas de transformación, mientras que los otros no lo hacen. En un sistema axiomático formalizado el conjunto de los axiomas y el de las reglas de transformación son ambos efectivos, aunque en un sentido laxo de la palabra.

Del mismo modo que los teoremas se obtienen de los axiomas, así también las nociones (los predicados) no primitivos (no contenidos en los axiomas) se obtienen en el sistema a partir de las nociones primitivas, contenidas en los axiomas. Lo mismo cabe decir de las constantes individuales, cuando son necesarias. El modo de hacerlo se especifica mediante reglas de definición.

En la antigüedad, elaboraron teorías axiomáticas Euclides en geometría y Arquímedes en física. La mecánica clásica de Newton está también formulada mediante axiomas, inspirándose directamente en Euclides.

Como hemos visto antes, desde el siglo XIX se ha procedido a la axiomatización de las matemáticas, a partir por un lado de la aparición de diversas geometrías no euclídeas -como una consecuencia precisamente, del estudio de la independencia del postulado de las paralelas de Euclides- y, por el otro, de la crisis de los fundamentos de la matemática se intenta un mayor rigor en la teoría matemática. Por esto, los primeros sistemas axiomáticos se aplicaron al estudio de las matemáticas. La matemática se concibe desde entonces como una ciencia deductiva puramente formal y se distingue entre la matemática teórica (que es un sistema deductivo axiomatizado) y la matemática aplicada (aquella de la que es posible dar una interpretación real en el mundo), con lo que su interés no reside tanto en la verdad de su contenido material, como en su aspecto deductivo.

El matemático alemán, D. Hilbert, en su obra Fundamentos de geometría (1899), axiomatiza la geometría euclidiana, y Peano hace lo mismo con la aritmética. A Hilbert debemos el estudio de las propiedades formales de los sistemas axiomáticos, o axiomática, que establece en la consistencia interna de los axiomas y en su independencia sus características fundamentales.

Los axiomas de una teoría son consistentes (es decir, no contradictorios), si permiten deducir la verdad de un enunciado, pero no su negación.

Los axiomas son, además, independientes, si ninguno de ellos es deducible del resto de axiomas como un teorema. En ningún caso se exige en la actual lógica matemática que los axiomas sean evidentes.

La primera cualidad es absolutamente necesaria para la coherencia lógica de un sistema axiomático, la segunda, aunque deseable, en caso de no poseerse significa sólo redundancia de axiomas.

Los axiomas, en una teoría axiomatizada, no son más que símbolos; carecen de todo contenido y en sí no son ni verdaderos ni falsos; son sólo esquemas de enunciados. Pueden, no obstante, recibir una interpretación, refiriéndolos a un universo de objetos, y entonces pasan a ser enunciados verdaderos o falsos. Si una interpretación hace verdadero para cualquier caso al conjunto de axiomas, tal interpretación es un modelo de la teoría.

El espacio llamado euclídeo, por ejemplo, el de nuestra experiencia sensorial, es una interpretación que hace verdadera y consistente la geometría euclídea. Esta habla sólo de símbolos, puntos, rectas, ángulos, etc., pero aplicados al espacio definen su estructura. El conjunto de enunciados del sistema espacial es un modelo de la teoría axiomática de Euclides.

7.4. LA VERDAD DE LOS AXIOMAS

Los argumentos deductivos válidos ni siquiera tienen que conducir siempre a conclusiones verdaderas. Sólo cuando todas las premisas de un argumento deductivo son verdaderas y el argumento es válido, tiene que ser también verdadera la conclusión. Pero ¿cuándo son verdaderas las premisas de un argumento deductivo? Las premisas de un argumento deductivo sólo pasan por ser indudablemente verdaderas, cuando son premisas primeras. Esas premisas primeras se llaman también axiomas. Su verdad, en efecto, parece mantenerse firme al margen del tiempo y en todas partes, “sin que pueda, no obstante, ser demostrada mediante un encadenamiento lógico” (G. Frege).

7.4.1. La evidencia como criterio de verdad de un axioma

¿Cuál es el criterio para la verdad de un axioma? Tomemos, por ejemplo, el axioma noveno de los Elementos de Euclides: “El todo es mayor que la parte”. Se piensa aquí -y así lo han hecho científicos y filósofos desde hace aproximadamente 2.000 años- que es la evidencia la que convierte en verdadero ese enunciado. El adjetivo “evidente” significa literalmente lo que destaca a la vista, lo que “salta a los ojos” y resulta claro y luminoso. Así como no acostumbro a dudar de la claridad del exterior cuando el sol brilla en un cielo sin nubes, así tampoco dudo de que el todo es mayor que las partes. Ambas cosas saltan a la vista de forma inmediata una a la vista de mis ojos otra a la vista de mi razón. Quien intenta sin embargo, demostrar algo evidente se asemeja -y la comparación se atribuye a Aristóteles- a quien con una candela pretende probar la claridad cuando brilla el sol.

a) Axiomas y magnitudes infinitas

Ahora bien, en los Elementos de Euclides los axiomas están formulados de tal modo que sólo se refieren a figuras finitas. Pero, ¿qué ocurre con magnitudes infinitas? En unas magnitudes infinitas ¿es también el todo mayor que la parte? En efecto, si la cantidad parcial tiene infinitos elementos ¿cómo puede la cantidad total ser todavía mayor que la cantidad de la parte? De hecho Geor Cantor (1845-1918) en su artículo Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengen-lehre (1895) definió las cantidades infinitas de tal modo que el mentado axioma sea válido en cierto sentido y en cierto sentido no: “Cada cantidad transfinita T está constituida de tal manera que contiene cantidades parciales T las cuales son equivalentes a la misma”.

Una cantidad “transfinita” es una cantidad infinita. En las cantidades infinitas se da el caso que el todo es mayor que la parte, como lo muestra la representación mediante una línea de infinitos puntos, pero por otro lado no lo es:

A ———————————- C —————————————————– B

Aquí el trazo entero AB es mayor que el trazo parcial AC. Por otra parte, la cantidad de puntos contenidos en el trazo parcial AC es igual de grande que la cantidad de los puntos contenidos en toda la línea AB. En la terminología de G. Cantor sería “de igual potencia” o “equipotentes”, es decir, “equivalente”, toda vez que la cantidad parcial y la cantidad total contienen infinitos puntos Ahora bien, como una cantidad parcial puede ser igualmente grande, “de igual potencia” (equivalente), que la cantidad total, eso es algo que ya no salta a la vista de modo inmediato. Por eso tenemos que establecerlo mediante un definición.

En la definición del paralelismo también se ha supuesto que se deriva de la misma

proposición verdadera, y en concreto el denominado axioma de las paralelas Esta es la definición de las paralelas de Euclides: “Paralelas son unas líneas rectas que están en el mismo plano y que prolongándose por ambos extremos hasta el infinito nunca se juntan”[2]. Mediante esa definición se ha formulado el axioma de las paralelas que por cierto todavía no se encuentra entre los nueve axiomas de Euclides[3]. Según el mismo, en cada plano en el que se da una recta R y un punto P que no está en esa recta, se da exactamente una recta R’ que pasa por ese punto y es paralela a la recta R.

Esto parecía tan claro y evidente que hasta el siglo XIX a nadie se le ocurrió dudar seriamente de esa verdad. La disputa se centraba en si se trataba de una primera premisa geométrica, un axioma geométrico, o si era simplemente una conclusión, un teorema. Hubo muchos intentos por demostrar el axioma de las paralelas; es decir, por derivarlo como un teorema de los otros axiomas del sistema axiomático de Euclides, pero todos resultaron defectuosos, es decir, circulares[4].

b) La geometría no euclídea

Pero en 1816 el matemático Carl Friedrich Gauss demostró que el axioma de las paralelas puede derivarse de los otros axiomas, lo cual obligó a plantear la cuestión de si se podía prescindir de él. C. F. Gauss solucionó la cuestión en sentido afirmativo y construyó una geometría sin contradicciones y sin el axioma de las paralelas, aunque por el momento no se atrevió a publicar sus resultados. Más tarde también Johann Bolyai (1832) y Nikolai Lobashevski (1835) demostraron que el axioma de las paralelas no puede derivarse de otros axiomas, y en consecuencia se sintieron autorizados -con independencia de C. E Gauss y cada uno por su cuenta- a construir unas geometrías en las que ya no tuviese vigencia el axioma de las paralelas. Apareció en su lugar otro axioma que ya no tenía nada de evidente, según el cual no se da en ningún plano ninguna paralela de una recta que pase por un punto que no se encuentra en ella.

Algo más tarde, en 1854, Bernhard Riemann construyó una geometría, en la cual por un punto P pasa más de una paralela. En la geometría euclidiana tenemos una recta R’, que pasa por el punto P y que es paralela a la recta R; en las geometrías de J. Bolyai y de N. Lobashevski no tenemos, por contra, ninguna recta R’, mientras que en la de Riemann hay más de una recta R’, todo lo cual ya no resulta claro o evidente de forma inmediata.

Todo esto quiere decir que la simple evidencia puede proporcionar sin duda una referencia valiosa a la verdad de unos axiomas como, por ejemplo, el axioma noveno o el axioma de las paralelas. Pero cuando de axiomas se trata, no siempre es posible fiarse de la pura evidencia. Sólo a primera vista constituye la evidencia un criterio para la verdad de los axiomas. Un criterio a primera vista es un criterio prima facie, y un criterio de esa índole es precisamente aquel que, tras una reflexión más profunda y pormenorizada, puede quedar invalidado.

7.4.2. Hilbert: crítica de la evidencia. El criterio de verdad de un axioma

como ausencia de contradicción lógica

Hilbert (1862-1943) ha sido el matemático más importante de la primera mitad del siglo XX. Hilbert fue el primero que supo dar cuenta de la revolución producida por el desarrollo de las geometrías no euclídeas. Su concepción de una teoría geométrica, que pronto generalizó a cualquier teoría matemática o física, es el punto de partida de una fecunda concepción de la ciencia matemática. La idea fundamental de Hilbert estriba en que la geometría euclídea no es la prescripción del espacio fisico, ni de la intuición espacial humana (como sostenía Kant), ni de ninguna realidad concreta. En definitiva, la geometría euclídea no es una historia, sino una teoría, la descripción de una estructura que puede realizarse o no realizarse en el espacio físico, en la intuición humana, etc. Por eso puede haber tantas geometrías distintas e incompatibles entre sí, tantas como estructuras abstractas seamos capaces de definir, con independencia de cualquier realidad. Y esta situación no implica contradicción ninguna pues los teoremas de que se compone la teoría no son verdaderos ni falsos, a diferencia de las ideas de que se compone la historia, que si son verdaderas o falsas.

Por lo dicho, Hilbert llegó en sus fundamentos de la geometría (1899) hasta el punto renunciar a la evidencia como criterio de verdad. A los conceptos básicos de la geometría euclidiana, como pueden ser los de punto recta, plano, corresponden meras variables “x”, “y” y “z”, cuyos contenidos no se precisan, sino que en principio pueden interpretarse a discreción.

De ese modo los axiomas de la geometría ya no tienen por qué seguir siendo evidentes sino que son determinaciones arbitrariamente fijadas entre tales variables. Esas determinaciones constituyen meros signos sintácticos vacíos de contenido. Por lo demás, deben verse libres de contradicción y ser independientes entre sí.

De un sistema axiomático contradictorio en sí mismo podría derivarse cualquier consecuencia, de una contradicción lógica podría seguirse, según una ley lógica cualquier conclusión q. Las minúsculas p y q son variables afirmativas y sustituyen a cualquier tipo de afirmaciones concretas.

Se podría hacer, por ejemplo, la aseveración siguiente: “Si el axioma de las paralelas es verdadero (p,) y no verdadero (Øp) entonces D. Hilbert es un hombre desgraciado (q)”. Pero esta afirmación no quiso probarla D. Hlilbert en sus Fundamentos de la geometría. Unos axiomas dependientes entre si podrían, sin embargo, derivarse los unos de los otros, con lo cual ya no serían axiomas.

Así, D. Hilbert separa lo lógico-formal de lo manifiesto y evidente y declara como criterio de verdad y de existencia (lógica) la ausencia de contradicción lógica. De modo que cuando los axiomas arbitrariamente establecidos no se contradicen entre sí con el conjunto de las consecuencias, quiere decirse que son verdaderos y por tanto existen las cosas definidas por los axiomas. Ese es para Hilbert el criterio de verdad y de existencia.

Sólo en un segundo paso se añade también una semántica a los términos básicos y a los axiomas como por ejemplo, el significado de “punto”, “recta” y “plano” o el de los axiomas euclidianos, aunque ciertamente sin el axioma de las paralelas

Ahora bien la renuncia a la evidencia como criterio de verdad tiene una consecuencia importante. Mientras que con la evidencia aun se creía poder afirmar que un axioma era evidente en el sentido de verdadero en sí, ahora ya no se puede afirmar que un axioma es verdadero en sí, sino que sólo es verdadero dentro de la comunidad lingüística que acepta dicho axioma. Asimismo un teorema sólo es verdadero dentro del lenguaje del correspondiente sistema axiomático. La validez universal de la verdad de unos axiomas se limita así a la comunidad lingüística de los matemáticos que comparten esas afirmaciones y su semántica.

7.4.3. El criterio de verdad del axioma como su aceptación semántica por una comunidad lingüística

Pero es posible ir un poco más allá. Los axiomas no tienen que ser unas afirmaciones hechas arbitrariamente. En efecto, tan pronto como a esos signos sintácticos les asignamos una semántica y ésta es aceptada por una comunidad lingüística, tales asignaciones constituyen ya las reglas semánticas de una comunidad lingüística, y tan pronto como tales reglas se han estabilizado, se convierten en las instituciones semánticas de una comunidad lingüística. Eso significa que el criterio de la verdad de unos axiomas no debe ser su mera evidencia ni su fijación libre de contradicciones, sino que también puede serlo el hecho social de su aceptación semántica estabilizada.

Una tal comunidad lingüística puede ser muy pequeña, como en el caso de las geometrías no euclidianas, de la que forman parte los matemáticos que construyen y enseñan una geometría de esa índole. Pero puede ser mayor, como en el caso de la geometría euclidiana, que comprende a cuantos admiten los axiomas de Euclides, incluido el axioma de las paralelas. Mayor aún puede ser, como en el caso del primer axioma euclidiano: “Lo que es igual a lo mismo, es también igual entre sí”. A este axioma se le llama también el axioma de la transitividad de la igualdad: Si A es igual a B, y C igual a B, quiere decir que A es igual a C.

7.4.4. Axiomas metalógicos

a) Los axiomas de identidad y de no contradicción

Otro tanto cabe decir de los axiomas metalógicos de la identidad y de la no-contradicción. En la lógica moderna también se designaron esos axiomas como leyes del pensamiento, y se formularon así: “A es igual a A” y “A es diferente a ØA”. Si sustituimos “igual” por el signo de igualdad (=), y sustituimos “diferente” por el signo de desigualdad #, tendremos el enunciado de “A = A” y “A # ØA”. La lógica moderna en su forma matemática -cuya fundación se debe a G. Frege- no habla ya, sin embargo, de leyes del pensamiento. Frege quiso liberarse del elemento subjetivo y de la “grasa psicológica”, que aprisiona nuestras conjeturas, pensamientos, juicios y conclusiones, y avanzar hasta lo objetivamente verdadero. A ello se suma el hecho de que tales axiomas no describen tanto cómo pensamos realmente, sino que más bien prescriben cómo deberíamos pensar. Y es que también podemos pensar efectivamente de una manera ilógica.

Pero la lógica no es la ciencia de las leyes más generales sobre lo que se tiene por cierto, sino más bien según una definición certera de G. Frege: “La ciencia de las leyes más generales del ser verdadero”. Según él, sólo de las leyes del ser verdadero resultan prescripciones para tener algo por verdadero, para pensar; juzgar; concluir.

Es decir, las afirmaciones con las que expresamos nuestros pensamientos están dadas objetivamente de una manera perceptible para cualquiera. Los dos axiomas metalógicos pueden aplicarse a las afirmaciones y pueden formularse de distintas maneras.

El axioma metalógico de identidad, por ejemplo, puede formularse así: “p es idéntico a p”; y el axioma metalógico de no contradicción, de esta forma: “No vale: p y Øp”. En cada sustitución de la variable afirmativa “p” por una afirmación concreta se obtendría para dichas leyes el mismo valor de verdad: Es lo verdadero lo que mantiene el valor de verdad. De ahí que tales leyes se llamen también tautologías.

En efecto, sustituyamos, por ejemplo, la variable afirmativa “p” por la afirmación concreta “llueve”. El axioma metalógico de identidad de ambas afirmaciones significa aquí que ambas son o verdaderas o falsas, mas no que la primera afirmación sea verdadera y la segunda falsa, o que la segunda sea verdadera y la primera falsa. Ambas afirmaciones tienen el mismo o igual valor de verdad. Por ello se habla también de una equivalencia de ambas afirmaciones y se dice: “Llueve” es equivalente a “llueve”. Dicha equivalencia puede también expresarse por una mutua relación condicionada: Si la primera afirmación es verdadera, también será verdadera la segunda; pero si la primera es falsa, lo será asimismo la segunda.

En el axioma metalógico de no-contradicción se da la imposición siguiente: “No vale “llueve” y “no llueve””. Los enunciados “llueve” y “no llueve” no pueden ser (a la vez y en el mismo lugar) verdaderos o falsos. No se condicionan entre sí, sino que se excluyen mutuamente: Si es verdadero el “llueve”, el “no llueve” tiene que ser falso; y si “no llueve” es falso, quiere decirse que es verdadero el “llueve”.

La ley de no-contradicción es siempre verdadera cuando se dan las condiciones necesarias, como, por ejemplo, que se refiera a hechos que se dan en el mismo lugar y en el mismo tiempo.

Podemos calificar de metalógicos tales axiomas, por cuanto no sólo se presuponen desde los axiomas geométricos de Euclides, sino en general desde los axiomas del sistema lógico especial.

Así, el primer axioma del sistema lógico de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead, supone ambos axiomas metalógicos: “1.1. Todo lo implicado en una proposición elemental verdadera, es verdadero”. Este axioma afirma que de unas premisas verdaderas se derivan conclusiones verdaderas. Tomemos, por ejemplo, el argumento “si llueve, la calle se moja”. Supongamos además que “llueve” es una proposición elemental. En tal caso dicho principio establece que si la premisa “llueve” es verdadera, también lo será la conclusión “la calle se moja”. De igual modo, la validez de un argumento deductivo presupone que la afirmación de las premisas y la negación de la conclusión producen una contradicción lógica.

b) El escepticismo y la negación de los axiomas metalógicos de identidad y de no contradicción

Sin duda un escéptico radical podría también negar los axiomas metalógicos de identidad y de no contradicción Aunque difícilmente pueda darse un escéptico tal, su posición podría, sin embargo, formularse de una manera hipotética. Pero para negar los axiomas metalógicos, el escéptico radical tendría que empezar por afirmarlos. En efecto, si dijera que “el axioma de identidad no es verdadero”, daría por supuesta la afirmación siguiente: “`El axioma de la identidad no es verdadero´ es idéntico a `el axioma de la identidad no es verdadero´”. Pero si en vez del adjetivo idéntico prefiriese el de “equivalente”, admitiría que “el axioma de identidad no es verdadero” es equivalente a la afirmación de “el axioma de identidad no es verdadero”. El adjetivo “equivalente” no es aquí sino un simple sinónimo de “idéntico”. Por tanto el escéptico en cuestión presupondría en ambos casos el axioma de identidad para luego negarlo. Pero sigamos suponiendo que el escéptico afirmase: “El axioma de no-contradicción no es verdadero”. En tal caso presupondría que dicha afirmación y la negación de la misma, “el axioma de no-contradicción es verdadero”, no son verdaderos a la vez. Si hace tal suposición no está sino afirmando el mismo axioma de no-contradicción, y al afirmarlo así, no lo niega. Si no lo niega, tampoco puede el escéptico radical continuar sosteniendo la negación de la ley de no-contradicción. Y no puede ya sostenerla, puesto que tiene que afirmar esa ley para defender su negación.

Pero si el escéptico radical no puede ya sostener su posición teórica, tendría que excluirse de un diálogo coloquial con su adversario, quedando condenado al silencio. Y en la medida en que ya no sostiene una posición teórica sería de hecho irrefutable, pero no lo sería por sostener una posición tal, sino porque ya no diría ni podría decir nada preciso y concreto. En efecto, cualquier afirmación que hiciese significaría a la vez su contrario contradictorio. En el mejor de los casos podría todavía expresar su posición con el lenguaje corporal y mover; por ejemplo, la cabeza con gesto crítico, cuando alguien formulase el axioma de identidad o el de no-contradicción. Pero incluso el sentido de ese gesto negativo de cabeza seria impreciso para los demás y para él mismo, por cuanto podría ser expresión tanto de una negación como de un asentimiento.

c) El axioma metalógico del tercero excluido

El de tercero excluido es uno de los principios o leyes fundamentales del pensamiento (junto con los de identidad, de no contradicción y de razón suficiente). A.G. Baumgarten (1714-1762) lo distinguió del principio de no contradicción y le dio ese nombre. Su formulación afirma que todo enunciado o es verdadero o es falso; y entre estos dos valores veritativos (verdadero o falso) no admite un tercer valor, que debe ser “excluido”; es decir, no existe nada “intermedio” o “tercero” entre verdadero o falso, pues o es una cosa o es la otra. Su formulación lógica es (p Ú Øp). Este principio ha sido criticado por la lógica intuicionista (A. Heyting), siempre que exista un conjunto infinito de posibilidades. Y otros (J. Lukasiewicz, A. Tarski) han formulado una lógica trivalente, que admite tres valores de verdad -y que se ha utilizado en la mecánica cuántica-, donde además de lo verdadero y lo falso se admite un “tercero”: lo posible.

Pues bien, el axioma metalógico del tercero excluido, según el cual para cualquier afirmación “p” es válida la disyuntiva “p Ú Øp”, sin que se dé un tercero, no es un axioma verdadero en cualquier sistema axiomático de lógica o de matemática. No es válido, por ejemplo, en el de Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966). En efecto, para Brouwer unos teoremas matemáticos o pueden ser verdaderos o falsos, cuando son demostrables o refutables mediante una construcción. Ahora bien, no podemos partir del supuesto de que en infinitos campos cada afirmación matemática sea demostrable o refutable mediante una construcción y sin que medie un tercero.

Si los platónicos como Frege consideran que los entes matemáticos son entes existentes por si mismos y que hay que descubrir; si los formalistas como Hilbert piensan que un ente sólo puede considerarse como matemáticamente existente si se lo define sin contradicciones, Brouwer sostiene que sólo puede considerarse que un ente existe matemáticamente si se logra construirlo, es decir, únicamente a condición de que podamos dar un ejemplo de él o indicar el procedimiento que nos permite llegar a un ejemplo similar, a través de una cantidad finita de pasos. Esta concepción -el intuicionismo- prohíbe apelar al “infinito actual”. Y si se habla de infinito, no se habla de él como teoría de los conjuntos, sino únicamente en el sentido de que, por ejemplo, cada punto al que se haya podido llegar, puede verse superado. El infinito es algo potencial, nunca actual. El infinito actual es imposible de construir.

Por otro lado, si la existencia de un ente matemático significa su efectiva construcción, su constitución práctica, entonces puede aceptarse aquel tipo de demostración conocida como “ley del tercero excluido” (“para toda proposición, p o no p”). Como es obvio, si se aceptan las reglas de los intuicionistas, es decir, construyendo uno por uno los entes matemáticos, se evitarán los peligros de las antinomias. En los comienzos del intuicionismo, en la década de 1920, no se entendió dicha teoría y debido a su carga polémica, dio la sensación de que se quería echar por la borda gran parte de la matemática clásica. En la actualidad las cosas han cambiado; el intuicionismo ha mostrado toda su fecundidad y es una de las corrientes mas interesantes de la matemática contemporánea.

Por ejemplo, hay números perfectos y números imperfectos. Números perfectos son los meros naturales cuya suma es igual a la suma de sus partes. Así es perfecto 6, por cuando 6 = 2 + 3, y es perfecto 28 pues 28 = 1+2+4+7+14 y son perfectos el 496 y otras seis cifras pares, pues también su suma es igual a la suma de sus partes. Pero de ningún número impar se ha demostrado hasta ahora que sea perfecto, lo cual no quiere decir que todos los números impares sean imperfectos. En efecto, una afirmación sobre todos los números impares, como sería “todos los números impares son imperfectos”, no se puede ni probar ni refutar mediante una construcción, puesto que hay infinitos números impares. De ahí que para Brouwer la ley metalógica del tercero excluido ya no es verdadera en afirmaciones sobre una cantidad infinita de números.

d) La concepción “institucionalista” de los axiomas

Por ello podemos pensar que los axiomas no son verdaderos porque sean siempre evidentes ni porque se establezcan sin contradicción, sino porque están institucionalizados en una comunidad lingüística. Quien no los acepta no pertenece a esa comunidad. Ahora bien, las instituciones de una comunidad lingüística no son sólo leyes del ser verdadero que describen lo que ocurre en esa comunidad, sino también reglas que prescriben lo que en dicha comunidad ha de tenerse por verdadero. Así, la concepción institucionalizada de los axiomas no sólo muestra por qué son verdaderos en una comunidad lingüística; muestra asimismo por qué los miembros de dicha comunidad han de regirse por tales axiomas.

Esa concepción institucionalista de los axiomas puede resultar desilusionante. Pero si es correcta, no existe entonces ninguna justificación absoluta para la verdad de los axiomas, sino simplemente una justificación relativa mediante las instituciones semánticas de la respectiva comunidad lingüística. Desde luego tienen que estar libres de contradicción y ser independientes entre si Sobre la base de esa mera justificación relativa no podemos ya afirmar que unos axiomas sean intemporal y universalmente verdaderos.

7.5. LA AXIOMÁTICA Y LAS CONDICIONES BÁSICAS DE UN SISTEMA AXIOMÁTICO

7.5.1. La axiomática

Se denomina “axiomática” a la teoría de los sistemas axiomáticos. La axiomática antigua tiene en cuenta el contenido de los axiomas, y la axiomática moderna sólo atiende a su aspecto formal. La axiomática moderna nace con la idea de prescindir del sentido, o contenido, de los conceptos utilizados, en este caso, de los conceptos geométricos, puesto que las primeras axiomáticas modernas tratan de la geometría, para considerar sólo el aspecto de la deducción, o relación deductiva, para poder ser suficientemente rigurosas: la axiomática es el sistema deductivo por excelencia.

He aquí las condiciones fundamentales a las que, para ser verdaderamente rigurosa, debe satisfacer una exposición deductiva:

1. Que sean enunciados explícitamente los términos primeros, con ayuda de los cuales se propone definir todos los otros.

2. Que sean enunciadas explícitamente las proposiciones primeras, con ayuda de las cuales se propone uno demostrar todas las otras.

3. Que las relaciones enunciadas entre los términos primeros sean puras relaciones lógicas, y permanezcan independientes del sentido concreto que se pueda dar a los términos.

4. Que sólo estas relaciones intervengan en las demostraciones, independientemente del sentido de los términos (lo que prohíbe, en particular, tomar prestado algo a la consideración de las figuras)[5].

7.5.2. El sistema axiomático de Frege

La principal ventaja de los sistemas de “primera generación” es la simplicidad de sus reglas de derivación, que eran básicamente dos:

a) Regla de separación (o modus ponens o silogismo hipotético; tenemos “A” y “A → B”, por tanto”B”)

b) Regla de sustitución en los axiomas y teoremas.

Pero esta simplicidad, que es una ventaja, tiene en su contra el carácter artificial de su construcción, que aparece ya en la elección de los axiomas. Otro problema es el carácter pesado y aburrido en las demostraciones.

Frege propuso un sistema axiomático que tenía sólo tres axiomas, para los que se valía exclusivamente de los operadores “Ø“ y “→”. Estos tres axiomas son:

1. ├ p → (q → p)

2. ├ (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))

3. ├ (Øp → Øq) → (q → p)

Así, se puede demostrar que la fórmula (p → q), que parece expresar una verdad lógica más primaria que cualquiera de los anteriores tres axiomas, es, en realidad un teorema, obtenido por demostración: al sustituir en el segundo axioma “q” por (“p → p”) y “r” por “p”, se obtiene una fórmula cuya forma es el axioma primero: axioma 1 → (axioma 1) → (p → p), con lo que dos aplicaciones de la regla de separación permiten obtener (p →p).

7.5.3. El sistema axiomático de Hilbert

Hilbert sostiene que la geometría, lo mismo que la aritmética, no exige para su construcción lógica más que un pequeño número de principios fundamentales simples. Y estos principios fundamentales son los llamados axiomas de la geometría. La exposición de estos axiomas y su examen es un problema que, desde Euclides, ha constituido el objeto de numerosas memorias notables de la ciencia matemática Este problema lleva al análisis lógico de nuestra intuición del espacio.

Hilbert se propone establecer la geometría sobre un sistema simple y completo de axiomas independientes y deducir de éstos los principales teoremas geométricos, de tal manera que el rol de los diversos grupos de axiomas y el alcance de las conclusiones que se sacan de los axiomas individuales se aclaren tanto como sea posible.

Hilbert parte de una convención consistente en concebir tres diferentes sistemas de seres:

1. A los seres del primer sistema los llamaremos puntos y los designaremos A, B, C,…

2. A los seres del segundo sistema los llamaremos rectas y los designaremos por a, b, c, …

3. A los seres del tercer sistema los llamaremos planos y los designaremos por “…”; los puntos serán también llamados elementos de la geometría lineal; los puntos y las rectas, elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos, elementos de la geometría del espacio o elementos del espacio.

Concibamos que los puntos, las rectas y planos tengan entre sí ciertas relaciones mutuas y designemos estas relaciones por palabras tales como: “están situados”, “entre”, “paralela”, “congruente” y “continuo”; la descripción exacta y completa de estas relaciones tiene lugar por medio de los axiomas de la geometría.

Pues bien, los axiomas de la geometría se dividen, según Hilbert, en cinco grupos. Cada uno de estos grupos, tomado individualmente, expresa ciertas verdades fundamentales de la misma categoría, que derivan de nuestra intuición. Estos cinco grupos son designados como sigue:

1. Axioma de asociación

2. Axioma de distribución

3. Axioma de las paralelas (postulado de Euclides)

4. Axiomas de congruencia

5. Axioma de la continuidad (axioma de Arquímedes)

7.5.4. El sistema axiomático de Russell y Whitehead

Whitehead y Russell exponen en Principia Mathematica, una axiomatización del cálculo de lógica de enunciados.

Según ellos un sistema axiomático requiere

1. Una lógica básica (subyacente a toda teoría)

2. Términos primitivos (términos lógicos o no, necesarios para construir definiciones)

3. Términos definidos

4. Axiomas o postulados del sistema

5. Reglas de inferencia (para la deducción)

6. Teoremas del sistema

Y como ejemplo concreto de sistema formal axiomático, Russell y Whitehead proponen el siguiente, que consta de cinco axiomas:

1. (p Ú p) → p

2. p → (p Ú q)

3. (p Ú q) → (q Ú p)

4. (p Ú (q Ú r)) → ((p Ú q) Ú r)

5. (p → q) → ((r Ú p) → (r Ú q))

Además de estos axiomas, su sistema consta de dos reglas de inferencia:

a) Regla de sustitución: en el interior de una expresión, puede siempre substituirse una variable de enunciado por cualquier expresión correcta, con tal de que la variable sea substituida siempre que aparece y siempre por la misma expresión. Así, de la expresión (p → q) → Ø ((r Ú s) Ù Øq), sustituyendo la variable “p” por la expresión “r Ú s”.

b) La regla de separación.

Por lo que respecta a los símbolos primitivos y a las reglas de formación, vale lo que indicábamos en el tema 6.

Así, partiendo de estos axiomas y con la ayuda de las reglas de inferencia, es posible demostrar todas las expresiones universalmente válidas del cálculo de proposiciones. Básicamente el procedimiento es el mismo que utilizamos en la deducción natural, aplicando las reglas de inferencia. Pero, con las siguientes diferencias:

a) Las premisas no pueden ser más que los axiomas aceptados, al menos en los primeros teoremas probados. Una vez demostrados algunos teoremas, éstos a su vez pueden ejercer de premisas (o de supuestos).

b) Las reglas de inferencia son sólo las dos indicadas, no cuatro, como en la prueba.

e) No se pueden introducir como premisas auxiliares tautologías, a menos que se hayan de mostrado antes como teoremas.

7.6. CONDICIONES BÁSICAS DE LOS AXIOMAS

El conjunto de axiomas que se establezca en un sistema axiomático debe cumplir determinadas condiciones, que a continuación explicitamos.

Los conocimientos, por amplios que sean, no forman ciencia, si no se encuentran ordenados sistemáticamente; es decir, formando parte de un sistema lógico, construido según las relaciones de implicación, equivalencia, etc. Aunque ninguna ciencia real puede alcanzar un estado de absoluta “formalidad” y “pureza”, describiremos lo que sería un sistema lógico puramente formal.

Un sistema lógico es un conjunto de proposiciones entre las que existen unas relaciones lógicas tales que, partiendo de un pequeño número (un subconjunto) de esas proposiciones, podemos deducir todas las demás sin añadir ninguna otra proposición exterior al conjunto. Las proposiciones de las que partimos para deducir las otras son los axiomas; las proposiciones que deducimos a partir de los axiomas son los teoremas. Un sistema lógico puramente formal, pues, se compone de axiomas y teoremas.

7.6.1. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser completos

La completud de un sistema de axiomas se dice en el sentido de que de dos proposiciones contradictorias formuladas correctamente en los términos del sistema, una debe poder ser demostrada. Esto quiere decir que en presencia de cualquier proposición del sistema, ésta se puede demostrar en cualquier momento o impugnar y, por tanto, decidir acerca de la verdad o falsedad en relación con el sistema de los postulados. En este caso, el sistema se denomina decidible.

7.6.2. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser consistentes

Se llama consistente a un conjunto de axiomas cuando no pueden deducirse dentro de él proposiciones que resulten mutuamente contradictorias. Evidentemente, la consistencia es una propiedad absolutamente básica de los axiomas, puesto que un sistema lógico con contradicciones internas se destruye así mismo. Sin embargo, es una propiedad que resulta difícil de establecer. A lo sumo podemos estar seguros de que hasta ahora (en el actual estadio del desarrollo de un sistema) no han aparecido teoremas contradictorios; pero ello no puede dejarnos seguros de que no aparezcan algún día. Más todavía: no parece existir un método general totalmente seguro de establecer la consistencia de un conjunto de axiomas[6].

7.6.3. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser fecundos

Los axiomas de un sistema lógico no se eligen porque sean más evidentes que los teoremas. Desde el punto de vista de la construcción lógica del sistema, la única propiedad que nos interesa en un axioma es su fecundidad, es decir, su capacidad de servir como premisa o supuesto para numerosas deducciones. A la lógica no le interesa (pese a Frege) la verdad de las proposiciones que emplea, sino la existencia de relaciones de implicación entre proposiciones.

7.6.4. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser coherentes

Si no son coherentes el sistema del que dependen resulta contradictorio Y que el sistema resulte contradictorio significa que permite deducir cualquier cosa y, con ello que se puede demostrar una proposición cualquiera, tanto como su negación. Ya que la prueba de la no contradicción es imposible de obtener en el interior de un sistema axiomático, nos valemos habitualmente del sistema de la reducción a una teoría anterior, cuya coherencia nos parece bien establecida, por ejemplo, a la geometría euclidiana. Sin duda, este procedimiento no equivale a una demostración de no contradicción, pero suministra un dato importante. Otro procedimiento es la realización, es decir, la referencia del sistema a un modelo real, sobre el supuesto de que lo que real debe ser posible, y, por tanto, no contradictorio.

7.6.5. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser independientes

La independencia equivale a la irreducibilidad recíproca. Esta condición no es tan indispensable como la de la coherencia, pero es oportuna para evitar que las proposiciones primitivas resulten ser numerosas en exceso. Que sea independiente quiere decir que tiene que ser imposible deducir uno cualquiera de los axiomas del resto de los otros: los axiomas deben ser mutuamente independientes. Sólo si existe esta mutua independencia entre los axiomas, podrá distinguirse claramente dentro del sistema entre axiomas y teoremas. A lo largo de la historia de las ciencias, los intentos de establecer la independencia dentro de un conjunto de axiomas ha llevado a veces a importantes descubrimientos[7].

7.6.6. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser categóricos

Un sistema axiomático es categórico si todos sus modelos son isomórficos. Cuando se intenta caracterizar a una noción por medio de un conjunto de axiomas es esencial que los axiomas sean consistentes, es decir, que exista al menos un modelo. De no ser así cabría decir, por ejemplo que un punto es lo que satisface tales y tales axiomas, mientras se ignorase que nada puede satisfacer esos axiomas.

7.6.7. Los axiomas de un sistema axiomático deben ser pocos y simples

El menor número posible y la simplicidad de los axiomas son condiciones deseables, que confieren la elegancia lógica y la sencillez a un sistema axiomático. Pero, por otra parte, si los axiomas son consistentes, nos enfrentamos con otro problema: puede haber demasiados modelos. Un sistema axiomático que tenga exactamente un modelo no existe, y así, el intento de caracterizar a un modelo de forma única por el procedimiento de dar axiomas no puede tener éxito. Todo sistema axiomático que sea consistente tendrá un número infinito de modelos. Lo más que podemos esperar, por tanto, es que los modelos del sistema axiomático, aunque pueden ser numerosos, sean isomórficos, es decir, que tengan la misma estructura.

7.7. LA INDECIBILIDAD DE LOS SISTEMAS AXIOMÁTICOS

7.7.1. Kurl Gödel

Kurt Gñdel (1906-1978), nacido en Brno (República Checa), fue un matemático y lógico, miembro del Círculo de Viena, que tras las Segunda Guerra Mundial enseñó en Princenton (New Jersey).

En 1928, Hilbert había planteado el problema de la completud de la teoría de los números, preguntándose si los axiomas de Peano, pertenecientes a la teoría elemental de los números, eran capaces o no de demostrar o de refutar todas las proposiciones de aquella teoría. En 1931, Kurt Gödel demostró (en su escrito Proposiciones formalmente indecidibles de los “Principia Mathematica” y de sistemas afines) que no es posible construir una teoría axiomática de los números que posea la completud propuesta por Hilbert. Pero las cosas llegaron mucho más allá, ya que de este primer resultado Gödel extrajo el corolario según el cual un cálculo lógico, con potencia suficiente para formalizar la aritmética elemental, si es coherente, es de un tipo que hace que en él sea indemostrable la fórmula que expresa su coherencia La coherencia de la aritmética, por lo tanto, no se puede obtener utilizando los instrumentos pertenecientes al sistema formal mediante el cual se expresa la aritmética. Dicho resultado señalaba con toda claridad el fracaso del programa hilbertiano (dado que los métodos finitistas utilizados por Hilbert para demostrar la no contradictoriedad de la aritmética también son formalizables en el interior del sistema axiomático de la aritmética). Gödel puso de manifiesto que resultaba imposible una prueba puramente sintáctica de la no contradictoriedad de un sistema formal, por lo menos cuando es tan complejo de expresar como la aritmética elemental. A partir de aquel momento la garantía de la coherencia de los sistemas formales o de los cálculos se buscaría en las interpretaciones que sean modelos de dichos cálculos.

7.7.2. El teorema de Gödel

Como hemos dicho, en 1931 propuso su debatido teorema o “prueba”, que lleva su nombre -también llamado teorema de la incompletitud-, que roza los límites de la paradoja, donde arremete contra el proyecto de conseguir una axiomatización completa de la matemática y la lógica. Ese proyecto, criticado por Gödel, pretendía conseguir un sistema lógico en el cual tuviera cabida la matemática y que sostenía que dicho sistema poseía completitud y consistencia. Por el contrario, Gödel propuso su teorema de la incompletitud e inconsistencia simultánea de cualquier lógica o sistema matemático.

En realidad la gödelización propone dos teoremas y no sólo uno. El primer teorema sostiene que todo sistema de axiomas que sea consistente y capaz de incluir la teoría formal de la aritmética es necesariamente incompleto, es decir, que ese sistema de axiomas contiene algún teorema que, a pesar de ser verdadero, no puede deducirse del sistema.

Y el segundo teorema es complementario y consecuencia del primero y establece que no es posible probar la consistencia de un sistema formal de la aritmética con los solos medios que dicho sistema proporciona, por lo que no siendo la consistencia un teorema del sistema, ha de probarse desde fuera del sistema.

7.7.3. El teorema de la incompletud de la aritmética de Gödel

Dicho breve y simplemente -lo que no es sencillo-, Gödel sostiene lo siguiente: en cualquier sistema formal (lógico o matemático) que sea consistente y en cuyo interior se pretenda desarrollar acabadamente la lógica o la matemática, existen proposiciones de dicho sistema que son indecidibIes, esto es, que ni su afirmación ni su negación son demostrables, siendo una de ellas, precisamente, la que afirma que el sistema es consistente (sosteniendo que es imposible que en su interior existan contradicciones). Dicho de otra forma: no se puede demostrar la no-contradictoriedad de un sistema matemático formalizado dentro del mismo sistema. Gödel afirma, entonces, que en cualquier sistema lógico o matemático, por exhaustivo que sea, existe, al menos, un teorema o proposición que no es decidible; es decir, que aunque sea verdadero, no puede deducirse del mismo sistema En otras palabras, sostiene la imposibilidad de probar que un sistema formal aritmético es consistente apoyándose únicamente en dicho sistema, ya que la consistencia del mismo es uno de sus teoremas, por lo cual la consistencia de ese sistema deberá apoyarse desde otros apoyos, externos a dicho sistema. Por ello hay que sostener que no existe ningún sistema axiomático lógico o matemático que sea completo y consistente.

7.7.4. El teorema de completud de la lógica cuantificacional de primer orden de Gödel

En 1930 Gödel demostró la completud de la lógica cuantificacional de primer orden. Literalmente el Teorema de completud de Gödel establece: “Para toda fórmula A de la lógica cuantificacional de primer orden, si A es lógicamente verdadera, entonces A es deducible”. Dicho formalmente: “Si a ╞A, entonces ├A”.

La prueba del Teorema de Gödel se basa en afirmar las siguientes cinco premisas:

1. A es lógicamente verdadera: ╞A.

2. Si A es lógicamente verdadera, entonces ØA es insatisfacible.

3. Si ØA es insatisfacible, entonces ØA es inconsistente.

4. Si ØA es inconsistente, entonces da lugar a contradicción, es decir, se sostiene que “ØA ├B”, y “ØA ├ ØB”.

5. Si “ØA ├B” y “ØA ├ ØB”, entonces ├A.

Aceptadas las cuatro primeras premisas, y aplicando la regla modus ponens, empezando por la premisa 2 y 1 y siguiendo con 3 y el consecuente de 2, y así sucesivamente, hasta liberar el consecuente de 5: ├A, que es precisamente la tesis del teorema de Gödel, el cual queda, por tanto, demostrado.

7.7.5. El sentido de los teoremas de Gödel

El teorema de Gödel ha sido entendido en el siguiente sentido: la lógica es incapaz de formalizar la deducción necesaria para fundamentar definitivamente cualquier conocimiento de algún interés teórico.

Por este camino de interpretación cada vez más laxa y vaga del teorema de incompletud de Gödel, algunos filósofos han llegado a afirmar que el resultado de Gödel demuestra “el fracaso de la lógica” o hasta “el fracaso de la razón”. Pero, “estas afirmaciones carecen de fundamento, como puede verse por las siguientes consideraciones. En primer lugar; lo único que demuestra el teorema de Gödel es que resulta imposible conseguir un conjunto de axiomas y un juego de reglas de transformación que suministren todas las verdades formales expresables en el lenguaje de la lógica de predicados…

“En segundo lugar, el hecho de que la lógica misma haya descubierto y demostrado los límites o la inviabilidad de una realización universal del programa algorítmico, en su forma clásica, es más bien un éxito que un fracaso de la actividad capaz de tal resultado. El resultado mismo significa que el pensamiento racional puede saber cuáles de sus actividades son algoritmizables, ejecutables (en principio) mecánicamente, y cuáles no; cuáles son, como suele decirse, trabajo racional mecánico, y cuáles trabajo racional productivo. Fracaso del pensamiento es más bien la situación en la cual el pensamiento no sabe cuál es el alcance de su actividad, como suele ocurrir, dicho sea de paso, a muchos filósofos”[8].

7.8. EL TEOREMA DE SATISFACCIÓN DE HENKIN

Gödel presentó su célebre teorema de la completud de la lógica cuantificacional de primer orden en 1930. Pero su complejidad hizo que se hiciera célebre otra prueba, presentada en 1949 por Henkin, y que denominó “teorema de satisfacción”, según el cual todo conjunto de fórmulas (toda fórmula) que sea consistente es satisfacible. Y de este teorema se sigue, como corolario, el de la completud de Gödel. Así, el teorema de la completud es reducido al problema previo de autorizar el paso de la consistencia a la satisfacibilidad.

El teorema de Henkin establece que “para cualquier conjunto de fórmulas (A) de lógica elemental, si A es consistente, entonces A es simultáneamente satisfacible en un modelo enumerable”. La demostración del teorema comienza extendiendo al máximo el conjunto de fórmulas “A” por adición sucesiva de toda fórmula posible que sea compatible con él, es decir, que no atente contra sus consistencia. El resultado será un conjunto consistente máximo que incluye al anterior. Este conjunto es no sólo consistente, sino que además abarca toda fórmula consistente.

7.9. EL TEOREMA DE LA SIMULTANEIDAD, DE SATISFACIBILIDAD Y CONSISTENCIA DE LÖWENHEIM-SKOLEM

Del teorema de Henkin se infiere como corolario el teorema de Löwenheim-Skolem, que afirma:

a) Si un conjunto de fórmulas A es simultáneamente satisfacible, entonces es consistente (afirmación convergente con la de Henkin). Y sabemos que las reglas de inferencia transmiten la propiedad de ser verdadero a las fórmulas a las que dichas reglas se aplican válidamente.

b) Si un conjunto de fórmulas A es consistente, entonces es simultáneamente satisfacible en un dominio enumerable (lo que también sostiene el teorema de Henkin).

c) Admitidas a) y b) se sigue, por doble aplicación del modus ponens, la tesis del teorema: “A” es simultáneamente satisfacible en un dominio enumerable.

7.10. EL TEOREMA DE INDECIBILIDAD DE CHURCH

En 1936 Alonzo Church demostró la imposibilidad de encontrar un procedimiento mecánico decisorio adecuado para la lógica elemental, incluyendo la lógica cuantificacional poliádica.

Este teorema de Church es, junto a teorema de la incompletitud de Gödel, uno de los denominados teoremas de limitación, que pusieron en crisis la ilimitada fe que hasta entonces se depositaba en los métodos axiomáticos y dieron lugar a una de las corrientes más fecundas de la investigación lógico-matemática: la teoría de la computabilidad.

Desde Ramón Llull (con su Ars Magna) pasando por Leibniz y hasta Hilbert, se defendía que todo problema lógico y matemático (Llul creía que hasta teológico), podría ser resuelto por procedimientos mecánicos decisorios. Para Hilbert el problema fundamental de la lógica matemática era precisamente la decisoriedad mecánica.

Y cinco años antes de la propuesta de Church, Gödel demostró que todo sistema axiomático que pretenda formalizar la aritmética elemental es incompleto. Y ahora Church probaba la indecibilidad de la aritmética y, después de esto, la indecibilidad de la lógica elemental, con su célebre teorema.

Según él, toda función efectivamente calculable es una función recursiva.

Partiendo del teorema de Gödel, Church probó que no es posible hallar una solución general para el problema de la decisión en teoría elemental de números, es decir, que el sistema formal de la aritmética es indecidible.

Y entonces Church demostró que el caso general del problema de la decisión para un sistema formal de lógica elemental es insoluble, es decir: la lógica elemental de la cuantificación es indecidible (teorema de Church).

El interés fundamental de este teorema consiste en que por él se establece, o se quiere establecer, la no mecanicidad de la lógica formal. Pues si bien es cierto que existen algoritmos (procedimientos de decisión) que permiten resolver de modo mecánico grandes grupos de problemas de la lógica elemental, según este teorema, no existe ni puede existir un algoritmo que los resuelva mecánicamente todos. De aquí se deduce que la operación deductiva de la razón no es totalmente mecanizable.

En opinión de Church sólo existe un algoritmo que solucione un problema lógico o matemático si existe una “máquina de Türing” que pueda computerizarlo. De este modo, para Church, la mente humana es como una máquina de Türing, pero más imperfecta.

7.11. EL SUEÑO ROTO: ¿VERDAD EN LAS MATEMÁTICAS?

No sólo la filosofía sino también en la matemática se ha encontrado el racionalismo con limitaciones. El concepto de “verdad matemática” se ha vuelto problemático. Entre los matemáticos circula este chiste: “Dios existe porque la matemática está exenta de contradicción, y el diablo existe porque la no contradicción no se puede probar”.

En efecto, doscientos años después de Descartes la matemática entró en una crisis tan radical que muchos matemáticos, pese a los pequeños éxitos, perdieron la confianza en conseguir la verdad con la matemática. Hasta entonces su progreso parecía rectilíneo, constante e irresistible. Su aplicación a la mecánica celeste, a la electricidad, a todos los sectores de las ciencias naturales y técnicas ha traído enormes progresos en la humanidad. ¿Podría hacerse realidad el sueño de Descartes de una ciencia matemática universal? Ya Leibniz, apelando a Raimundo Lulio, trató de elaborar un lenguaje matemático unitario, postulando una characteristica de la razón en virtud de la cual las verdades de razón serían alcanzables mediante el cálculo, al igual que en la aritmética y en el álgebra, aplicando un método deductivo.

La lógica matemática de los siglos XIX y XX intentó verificar la idea de Descartes y Leibniz. Pero en la segunda mitad del siglo XIX la teoría de los conjuntos, base de la actual matemática, iniciada por Georg Cantor (1854-1918) hizo temblar la no contradicción y la incontestabilidad de la matemática. El posterior desarrollo de la teoría de conjuntos trajo consigo antinomias y contradicciones: algunos asertos, relacionados con el concepto de “infinitud”, podían ser al mismo tiempo probados y refutados matemáticamente.

Sirva como ejemplo la antinomia lógico-matemática de Russell (y también de Burali y Forti) denominada el “conjunto de todos los números ordinales”: Sobre cada conjunto de números ordinales hay un número ordinal que es mayor que todos los números ordinales que aparecen en el conjunto. Ahora bien, todo número ordinal que es mayor que el “conjunto de todos los números ordinales” no puede aparecer en este conjunto (‘pues es mayor que él”), pero (también así se puede probar) debe aparecer en dicho conjunto, ya que de lo contrario no se trataría del conjunto de todos los números ordinales.

De esta forma, la superación de las antinomias lógico-matemáticas provocó en la misma matemática una crisis radical de enormes consecuencias. El intento de salvar la crisis vino por tres caminos o escuelas matemáticas, como hemos visto, que en sí son lógicas, pero que son entre sí son contradictorias: 1) el logicismo (Frege, Russell, Whitehead); 2) el intuicionismo (Brouwer); y 3) el formalismo (Hilbert, H. Weyl). Pero ni el logicismo (que reduce la matemática a la lógica), ni el intuicionismo o constructivismo (que pretende fundamentar la lógica partiendo de las intuiciones básicas de la matemática), ni el formalismo (que quiere desarrollar la lógica y la matemática a un tiempo de modo puramente formal), han podido imponerse por el momento.

A la vista del papel que la matemática desempeña en nuestra actual imagen del mundo resulta de gran interés para la filosofía el hecho de que los matemáticos, con medios puramente matemáticos, han mostrado que hay problemas matemáticos que no pueden ser tratados con los recursos de la matemática de cálculo. Existen ciertos límites “naturales” de la capacidad del homo sapiens para la matematización. Por esto hoy los matemáticos abogan por una matemática sin ilusiones. La actual situación de la matemática llega a “causar lástima” a algunos (como M. Kline). Su pretensión de verdad ha debido ser abandonada. Los esfuerzos realizados por eliminar las paradojas y asegurar la consistencia de las estructuras matemáticas han fracasado. La discrepancia es total en lo concerniente a los axiomas que han de aplicarse. Hoy, aparte de la variedad de geometrías y álgebras, se da otro hecho además indudable: se tiene la libertad de aceptar o rechazar el axioma de elección y también la hipótesis del continuum. De las diferentes posibilidades de elección pueden surgir también matemáticas distintas. Incluso existen diferentes concepciones sobre los métodos de demostración. De esta forma, hay que desistir de la pretensión de una argumentación irrecusable. El concepto de matemática como “conjunto de estructuras”, cada una de las cuales está basada en sus propios axiomas, es incapaz de abarcar todo lo que supuestamente debería abarcar la matemática.

Sigue abierta, pues, la cuestión de los fundamentos últimos y del significado último de la matemática y de su verdad. Ni sabemos cuál es el camino que debemos seguir ni sabemos si se logrará cimentar una verdad matemática incuestionable. Pese a esto, el trabajo cotidiano de la matemática sigue adelante con asombrosos avances; la ciencia natural y la técnica siguen avanzando. Pero las pretensiones de universalidad de la verdad matemática se han visto sacudidas en su línea de flotación. En definitiva, para una absolutización de la verdad matemática existen hoy menos razones que nunca.

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[1] El método de los árboles lógicos es, sin duda, más potente que el de las tablas de verdad, pero tampoco se libra de esta limitación.

[2] Euclides, Elementos, Gredos, Madrid, 1991, libro E, def. 23.

[3] Euclides emplea en cambio el postulado 5, y mediante dicho postulado demuestra el axioma que hoy conocernos bajo el concepto de axioma de las paralelas: “Y cuando una línea recta, al cortar otras dos líneas rectas, hace que los dos ángulos internos juntos del mismo lado sean menores de dos rectos, si las dos líneas rectas se prolongan hasta el infinito, entonces coinciden en el mismo lado, en el cual están los ángulos que juntos son menores que los dos rectos” (Elementos, libro 1, postulado 5).

[4] Se dice que una prueba es circular cuando la verdad de la conclusión se presupone ya en la verdad de las premisas.

[5] Blanché R., La axiomática, UNAM, México, 1965, pp. 24-25.

[6] El método normalmente seguido consiste en ejemplificar el sistema lógico, aplicarlo a casos concretos y ver si en este campo restringido da lugar a contradicciones. Ahora bien, evidentemente este método carece de la generalidad necesaria.

[7] Es un ejemplo muy conocido que, en el caso de la geometría (que desde Euclides está construida corno un sistema lógico basado en cinco axiomas), el intento infructuoso de probar que el quinto axioma dependía de los demás, llevó a la constitución de las geometrías no euclideas.

[8] M. Sacristán, Introducción a la lógica y al análisis formal, Círculo de Lectores, Barcelona, 1990, pp 254 ss.

Publicado: noviembre 28, 2015 por Santiago

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