Función expoñencial e logarítmica

1. Presentación e xustificación:

Presentación:

Vou a describir a unidade didáctica nº 12 da miña programación para a área de matemáticas de 4º de ESO.

Como se especifica na programación, é unha unidade dirixida a rapaces e rapazas duns 15 anos, o que os sitúa no inicio do pensamento abstracto.

Xustificación:

A unidade titúlase Función expoñencial . ¿Por que se inclúe no programa?

Por unha parte, dende o punto de vista legal, o currículo autonómico indica como contidos a tratar en 4º ESO estudo das funcións polinómicas de primeiro e segundo grao, das funcións expoñenciais e de proporcionalidade inversa inversa sinxelas; interpretación e lectura de gráficas en problemas relacionados cos fenómenos naturais, a vida cotiá e o mundo da información.

Dende un punto de vista teórico, as funcións logarítmicas e expoñenciais con modelo de moitos procesos naturais ou sociais como o crecemento de poboacións, ecuación dun cable colgante, eliminación de sustancias en sangue, crecemento económico… Ademáis de logarítmicos constitúen unha ferramenta moi útil en diversos problemas matemáticos e o número e aparece en diversas situacións. Por iso dedícamos unha unidade aparte a estas funcións. Aprovéitase tamén para traballar as propiedades dos logaritmos e das expoñencias, ferramenta matemática de bastante utilidade.

Secuenciación:

(local) A secuenciación establecida na programación ubícanos a unidade ó final do segundo trimestre, despois da unidade 10 e 11 na que se fala do concepto de función e as súas caracterísitcas gráficas de xeito global, e se estudan as funcións elementais de modo que teremos que adicar menos tempo á introducción gracias ó traballo adiantado nas anteriores.

(global) Falando de forma máis global, o bloque de funcións secuénciase tras o bloque de alxebra, pois convén ter estudiadas as propiedades dos números, as operacións e as ecuacións para afrontar con máis armas a análise.

Por outra banda, o feito de que as funcións constitúan a base teórica do estudo das distribucións de probabilidade, aínda que ata o bachatrelato non se fai patente, é motivo polo cal é habitual atopar o bloque de estatística ó final de calquera programación de matemáticas para o ensino secundario (falo na programación da estructura similar da materia nos diferentes cursos do ensino).

2. Obxectivos didácticos:

Na programación indícanse os obxectivos didácticos da unidade. Obxectivos DCB!. Preténdese que ó final da unidade os alumnos logren:

3. Contidos:

Os contidos da unidade están tamén en relación cos contidos mínimos establecidos no currículo comentados na presentación.

De xeito resumido, os contidos versan sobre a función expoñencial de base maior e menor que 1, a súa representación gráfica, a función logarítmica e a súa representación gráfica, o número e e o concepto de logaritmo e as súas propiedades. Procedimentais serían a interpretación gráfica, e a resolución de ecuacións expoñenciais e logarítmicas. Actitudinais a valoración das aplicacións e da relación destas funcións na realidade.

4. Metodoloxía:

Na programación insístese en que a metodoloxía será activa e participativa; debemos evitar que o alumno sexa un suxeito pasivo no proceso do EA.

Pedagóxicamente seguíamos os principios constructivistas: partir dos coñecementos previos do alumno para que constrúa os novos có profesor como guía.

Seguirase o esquema de actividades suxerido na programación, con actividades de intruducción, de desenvolvemento, de reforzo, ampliación e de síntese.

Antes de concretar as actividades previstas para o desenvolvemento da unidade, comentarei algunhas consideracións metodolóxicas de caracter xeral:

Comezamos cunha introducción onde analizamos o uso na linguaxe coloquial e na prensa do crecemento expoñencial. As unidades anteriores xa serven de introducción e de avaliación inicial para os conceptos relativos a funcións, polo que a de introducción será fundamentalmente para motivar a unidade.

Faremos o estudo gráfico da expoñencial e repasaremos propiedades en relación coa potenciación, e introducimos a función logarítimica como inversa da expoñencial.

Unha vez feito o estudio gráfico das funcións, o tema céntrase no manexo das propiedades da expoñencial e dos logaritmos, do seu cálculo, cambio de base e resolución de problemas e ecuacións onde interveñan. Os logaritmos son un concepto novo, polo que lle adicaremos suficientes exercicios para que quede ben asentado. En función da dispoñibilidade temporal e do ritmo de aprendizaxe, será interesante proxectar o video “Un número llamado e” onde se obtén o número como límite da sucesión dun xeito moi visual e ilustrativo para alumnos que aínda non traballaron con límites, e se amosan moitos exemplos onde aparece, ademáis de face-lo recorrido histórico.

Sobre os espazos e recursos que empregaremos, ademáis do material común de aula, do foro da asignatura e o email, empregarase a calculadora científica sobre todo para o cálculo de logaritmos ¿links e audiovisuais?. Programa “Mas por Menos”, “Un número llamado e”, 15 min duración.

5. Temporalización:

Están previstas 6 sesións para o desenvolvemento da unidade, insistindo en que só se trata dunha estimación flexible, suxeita a cambios segundo o ritmo de aprendizaxe da clase ou imprevistos e necesidades que poidan xurdir.

Describimos a continuación como se planificará cada sesión, indicando a metodoloxía, os recursos empregados e as actividades seleccionadas.

Sesión 1:

A primeira sesión, na aula de informática, adicarase ás actividades de introducción. Como xa se apuntou, o obxectivo é fundamentalmente motivar os contidos da unidade.

En grupos de 2 a 4, a través dun recorte de prensa, os alumnos deben recoñecer situacións onde se fale de crecemento expoñencial o que nos servirá para introduci-la función e darlle rigor a esta expresión. Os alumnos busquen expoñencial en prensa en internet.

Unha vez finalizadas as aportacións dos alumnos e o debate grupal, falaremos do numeroso abano de aplicacións prácticas que ten, concretando algunhas como a escala Ritcher, o crecemento de poboacións ou o método de datación con carbono 14 e a desintegración radiactiva.

Continuamos nesta primeira sesión coas actividades de desenvolvemento. Na aula de informática. A actividade do proxecto descartes permite que os alumnos obteñan a partir de exemplos a función expoñencial de base maior que 1 e menor que 1, e que eles mesmos identifiquen as principais características mentres o profesor observa o traballo e aporta a axuda e o rigor precisos, e apoiándose coa PDI para amosar á clase a páxina web de xeito global.

Sesión 2

Continuamos coas actividades de desenvolvemento na aula de informática se é preciso, e resumimos tódalas propiedades vistas para a expoñencial. Faremos exercicios de identificación de gráficas e representación de gráfica, e faremos a actividade para obté-la función logarítmica como inversa da expoñencial. Deixamos para rematar na casa algún exercicio de representación de funcións logarítmicas.

Sesión 3:

Corrección dos exercicios pendentes, e comezamos a estudar propiedades de expresións expoñenciais e dos logaritmos intercalando exemplos. Traballamos o cálculo de logaritmos con calculadora e o cambio de base, así como o cálculo de logaritmo por definición.

Sesión 4:

Corrección de exercicios pendentes, e finalizamos o contido teórico amosando como se poden usar propiedades dos logaritmos para resolver ecuacións. Resolveranse exercicios de ecuacións e problemas onde aparezan a función expoñencial e logarítimica. Seleccionamos algún para a súa entrega na última sesión.

Sesión 5:

Corrección de exercicios pendentes e continuamos resolvendo exercicios na clase. Se o ritmo de aprendizaxe é adecuado, proxectamos “Más por Menos” “Un número llamado e”, como ampliación.

Sesións 6:

Entrega dos exercicios propostos e corrección dos que quedaran pendentes. Faremos exercicios resumo de síntese. que abrangan tódolos contidos da unidade para que o profesor os corrixa repasando esquemáticamente os conceptos e os procedementos estudados.

6. Interdisciplinaridade e Transversalidade:

Interdisciplinaridade:

Comentaba na programación que resulta interesante manter contacto con outros departamentos didácticos para tratar de dar unha visión global do coñecemento na medida do posible.

Relación con: física e química (desintegración radiactiva), bioloxía (crecemento de poboacións), historia e xeografía (crecemento de poboacións)

Informática: representación a través do Derive e GeoGebra

Transversalidade:

Como se indica na programación, a transversalidade na área de matemáticas faise patente esencialmente nos contextos dos exemplos e dos problemas plantexados.

7. Atención á diversidade:

Á hora de planificar a unidade tiveronse en conta as diferencias individuais. Por unha parte os exercicios están secuenciados en niveis de dificultade crecente para que cada alumno poida traballar ó seu propio ritmo.

Así haberá:

Táboa DE EXERCICIOS.

Ademais lembro que na aula tiñamos un alumno estranxeiro e unha alumna superdotada.

Para o alumno estranxeiro a estas alturas de curso xa coñeceremos a existencia ou non de dificultades co idioma, e o claustro de profesores terá decididas as medidas de actuación.

Para a alumna superdotada, se ten un ritmo de traballo adecuado, e para calquera outro alumno que poida amosar habilidades e capacidades, teranse previstas actividades de ampliación (exercicios que requiran de estratexias persoais, exercicios de ampliación, actividades de interne (datación co método de carbono…).

Tamén haberá actividades de reforzo para alumnos con menor ritmo de aprendizaxe. Temos unha folla de actividade para a realización có Derive ou o GeoGebra para insistir máis nas representacións gráficas das funcións. Ademais haberá exercicios que insisten nos contidos da unidade que serán seleccionados polo profesor en función das necesidades concretas que xurdan.

O libro de texto e material do departamento serán tamén unha fonte de exercicios e actividades de reforzo e ampliación se é necesario ou queremos atopar máis das previstas.

8. Avaliación:

Lembro que hai tres etapas de avaliación: a inicial, a continua e a final.

Como xa comentei, para a avaliación inicial nesta unidade xa temos moito traballo adiantado, pois serven as unidades 10 e 11 no que respecta ós coñecementos sobre funcións dos alumnos. Como os logaritmos son un concepto novo, é lóxico que ningún alumno teña coñecemento das súas propiedades.

A avaliación continua supón a observación de o desenvolvemento de tódalas actividades, do traballo e do esforzo dos alumnos. Débense anotar os datos observados na folla de seguimento coas observacións pertinentes. Se a través da avaliación continua podemos detectar algunha necesidade imprevista, estableceranse as modificacións na planificación que se consideren oportunas. Asi mesmo, a avaliación continua dos alumnos permitiranos proporcionarlles ós alumnos os exercicios máis adecuados ó seu ritmo de aprendizaxe. (exercicios para entregar)

A avaliación final virá dada pola proba escrita con contidos das unidades 12 e 13. É o único caso no curso no que está previsto mezclar bloques de contido como consecuencia da brevidade do 2º trimestre Na proba escrita o alumno resolverá exercicios relacionados cos criterios de avaliación e os obxectivos didácticos, similares (pero nunca iguais) ós traballados na clase.

CRITERIOS:

Modelos de exercicio

9. Conclusión

Para finalizar insisto en que esta unidade didáctica constitúe unha planificación flexible que nos servirá de guía e orientación para o seu desenvolvemento na aula. As diferentes necisidades, posibles imprevistos, a avaliación do ritmo de aprendizaxe… permitirán incluir as modificacións que consideremos oportunas na metodoloxía e o deseño de actividades e na temporalización.