Tema 62- Puertas lógicas. Técnicas de diseño y simplificación de funciones lógicas

Índice

2.1. Tabla de la verdad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Operadores del algebra de Boole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3. Postulados del  algebra de Boole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4. Propiedades del  algebra de Boole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.5. Teoremas del algebra de Boole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.6. Forma cano´ nica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.1. Obtencio´ n de las formas cano´ nicas de una funcio´ n a partir de la tabla de la verdad. 6

4.2. Simplificacio´ n de funciones lo´ gicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2.1. Simplificacio´ n mediante operaciones matema´ticas. . . . . . . . . . . . 7

4.2.2. Me´todo gra´fico de Karnaugh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2.3. Me´todo nume´rico de Quine-McCluskey. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3. Implementacio´ n de funciones mediante puertas lo´ gicas. . . . . . . . . . . . . . 9

4.3.1. Lo´ gica NAND-NAND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3.2. Lo´ gica NOR-NOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1. Introduccio´ n.

Las te´cnicas digitales y los circuitos lo´ gicos son, cronolo´ gicamente, anteriores a la aparicio´ n y posterior desarrollo de la Electro´ nica Digital, su origen se remonta a los tiempos en que surgio´ la necesidad de construir automatismos, as´ı los primero circuitos lo´ gicos se construyeron con rele´s electromagne´ticos, siendo una de las primeras aplicaciones las redes telefo´ nicas.

La aparicio´ n de las va´lvulas primero y de los semiconductores despue´s, supuso un avance considerable tanto en la reduccio´ n de los circuitos, como en la reduccio´ n del consumo pero fue, con la aparicio´ n de los Circuitos Integrados, cuando se logro´ el ma´ximo evolutivo.

El estudio de la Electro´ nica Digital se hace desde el conocimiento de la funcio´ n que rea- liza el dispositivo, as´ı como sus caracter´ısticas ele´ctricas externas, sin que sea necesario el conocimiento de los componentes que lo constituyen ni el funcionamiento de sus componentes ba´sicos. Sin embargo si se hace imprescindible el conocimiento de la base lo´ gica matema´tica, as´ı como de las funciones elementales que desarrollaremos seguidamente.

2. A´ lgebra de Boole.

A principios del siglo XIX fue desarrollada el A´ lgebra Lo´ gica, por George Boole, para

investigar las leyes fundamentales de aquellas operaciones por las que se rige el razonamiento humano, por lo que tambie´n se conoce como A´ lgebra de Boole.

El A´ lgebra de Boole opera con relaciones lo´ gicas donde las variables, denominadas binarias, pueden tomar solamente dos valores distintos: verdadero o falso.

Estos dos valores se representan simbo´ licamente con los signos 1 y O respectivamente y expresan por tanto estados no cantidades.

Se define como funcio´ n lo´ gica o Booleana a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresio´ n algebraica formada por otras variables binarias relacionadas mediante los operadores del a´lgebra de Boole.

As´ı pues, el a´lgebra de Boole se define en el conjunto:

B = {0, 1}

2.1. Tabla de la verdad.

La Tabla de la Verdad de una funcio´ n es un cuadro formado por tantas columnas como va- riables contenga la funcion mas la correspondiente a esta y por tantas filas como combinaciones binarias sea posible construir con dichas variables.

Las combinaciones posibles sera´n 2n , siendo n el numero de variables y debie´ndose ordenar

las combinaciones binarias de forma creciente con el fin de evitar repeticiones.

Entre la Tabla de la verdad y la funcio´ n que representa existe una relacio´ n univoca.

2.2. Operadores del A´ lgebra de Boole.

Los operadores ba´sicos o elementales son:

Operador suma: Conocido tambie´n como Unio´ n o funcio´ n OR, opera sobre dos elementos

su tabla de la verdad es la siguiente:

+ 0 1

0 0 1

1 1 1

Operador producto: Conocido tambie´n como funcio´ n interseccio´ n o funcio´ n AND, opera sobre dos elementos su tabla de la verdad es la siguiente:

· 0 1

0 0 0

1 0 1

Operador complemento: Conocido tambie´n como negacio´ n o funcio´ n NOT, opera sobre

un elemento su tabla de la verdad es la siguiente:

Existe un complemento a + a = 1 a + a = 1

Idempotencia a + a = a a · a = a

Existe un elemento neutro a + 0 = a a · 0 = 0

Dominio del 0 y del 1 a + 1 = 1 a · 1 = a

Doble complementacio´ n a = a

2.4. Propiedades del A´ lgebra de Boole.

Conmutativa a + b = b + a a · b = b · a

2.5. Teoremas del A´ lgebra de Boole.

Absorcio´ n a + (a · b) = a a · (a + b) = a

Leyes de De Morgan a · b · c · d = a + b + c + d a + b + c + d = a · b · c · d

2.6. Forma cano´ nica.

Se llama forma cano´ nica de una funcio´ n Booleana a todo producto de sumas o suma de productos en las cuales aparecen todas las variables, en forma directa o complementada, en cada uno de los te´rminos que conforma la expresio´ n.

La funcio´ n suma de productos recibe el nombre de primera forma cano´ nica o MINTERMS

y la funcio´ n producto de sumas segunda forma cano´ nica o MAXTERMS.

3. Puertas lo´ gicas.

Una Puerta lo´ gica es un dispositivo electro´ nico integrado capaz de realizar una funcio´ n ba´sica, y que representaremos mediante un s´ımbolo, sin importarnos los elementos que lo con- forman ni la forma en que estos esta´n dispuestos.

Puerta NOT

Esta Puerta realiza la funcio´ n ba´sica de negacio´ n. En ella la salida es 1 si y solo si, la variable de entrada toma el valor O.

La Puerta NOT realiza por tanto la funcio´ n de complementacio´ n, siendo su funcio´ n y representacio´ n simbo´ lica las siguientes:

a s

0 1

1 0

Puerta OR

Esta Puerta realiza la funcio´ n ba´sica de unio´ n. En ella la salida es 1 si, y solo si al menos una de las variables de entrada toman el valor 1. La Puerta OR realiza por tanto la funcio´ n suma lo´ gica de las variables, siendo su funcio´ n y representacio´ n simbo´ lica las siguientes:

a b s

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Puerta AND

Esta Puerta realiza la funcio´ n ba´sica de Interseccio´ n. En ella la salida es 1 si, y solo si, todas y cada una de las variables de entrada toman el valor 1. La Puerta AND realiza por tanto la funcio´ n producto lo´ gico de las variables, siendo su funcio´ n y representacio´ n simbo´ lica las siguientes:

a b s

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Puerta NAND

La puerta NAND se obtiene de la combinacio´ n de la puerta AND y la negacio´ n de su salida, su s´ımbolo y tabla de la verdad son los siguientes:

a b s

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Puerta NOR La puerta NOR se obtiene de la combinacio´ n de la puerta OR y la negacio´ n

de su salida, su s´ımbolo y tabla de la verdad son los siguientes:

a b s

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Puerta XOR

La funcio´ n OR-Exclusiva de dos variables a y b es aquella que toma el valor 1 cuando una de las variables toma el valor 1 y la otra el valor 0 o viceversa. Su funcio´ n y representacio´ n simbo´ lica se muestran a continuacio´ n:

a b s

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Puerta XNOR La funcio´ n NOR-Exclusiva se obtiene de la combinacio´ n de la funcio´ n

XOR con la funcio´ n NOT. Su funcio´ n y representacio´ n simbo´ lica se muestran a continua- cio´ n:

a b s

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

4. Te´cnicas de disen˜ o y simplificacio´ n de funciones lo´ gicas.

Una misma funcio´ n lo´ gica puede expresarse o realizarse con distintas combinaciones de puertas lo´ gicas. Al plantearse la realizacio´ n f´ısica de una funcio´ n, el proyectista buscara´ mini- mizar el coste y estandarizar el uso de las puertas lo´ gicas, es decir procurara´ usar un mismo tipo de puertas lo´ gicas para implementar la funcio´ n lo´ gica.

4.1. Obtencio´ n de las formas cano´ nicas de una funcio´ n a partir de la tabla de la verdad.

De la Tabla de la verdad de una funcio´ n lo´ gica es fa´cil deducir las formas cano´ nicas de una funcio´ n.

Los productos de la primera forma cano´ nica se formaran para cada fila en que la funcio´ n to- ma el valor 1, asignando al O la variable complementada y al 1 la variable directa y suma´ndolos todos ellos.

As´ı de la siguiente tabla

Obtendr´ıamos:

s = a · b · c + a · b · c + a · b · c + a · b · c + a · b · c

Las sumas de la segunda forma cano´ nica se formara´n para cada fila en que la funcio´ n toma

el valor 0, asignando 0 a la variable directa y 1 a la variable complementada y multiplica´ndolas todas ellas a continuacio´ n.

As´ı pues de la tabla anterior obtendr´ıamos:

s = (a + b + c) · (a + b + c) · (a + b + c)

4.2. Simplificacio´ n de funciones lo´ gicas.

Una vez obtenida la funcio´ n cano´ nica de un determinado proceso, es posible encontrar una funcio´ n lo´ gica equivalente a la anterior, que tenga el m´ınimo nu´ mero de te´rminos sin que por ello var´ıe la funcio´ n. Para conseguirlo se disponen de varios me´todos:

4.2.1. Simplificacio´ n mediante operaciones matema´ ticas.

Consiste en realizar operaciones con los te´rminos de la funcio´ n cano´ nica intentando simpli- ficarla lo ma´s posible. El resultado dependera´ de la habilidad del disen˜ ador.

4.2.2. Me´todo gra´ fico de Karnaugh.

En este me´todo para realizar las simplificaciones nos basamos en una ordenacio´ n de la tabla de la verdad, de donde podemos deducir si la variacio´ n de una variable afecta al resultado de un te´rmino. Pasos a seguir:

1. Construccio´ n de las gra´ficas:

Se disponen las combinaciones de las variables de manera que en dos casillas consecuti- vas solo var´ıe una de ellas.

Cuadro 1: Tabla para 2 variables.

Cuadro 2: Tabla para 3 variables.

Cuadro 3: Tabla para 4 variables.

2. Completamos la tabla segu´ n el resultado que da la funcio´ n lo´ gica en cada casilla.

Ej. f = a · b · c · d + +a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d + a · b · c · d

3. Ahora se realizan agrupamientos de miembros contiguos, lo ma´s grande posibles pero siempre con nu´ mero par de miembros. Hay que tener en cuenta que podemos pasar de un l´ımite a otro ya que ah´ı tambie´n cambia so´ lo una variable.

4. Los valores que no se puedan agrupar se dejan solos.

5. los miembros rodeados sera´n los MINTERMS de la funcio´ n, dentro de un mismo agru-

pamiento se elimina el miembro que tiene dos valores digitales, ya que este no afecta al valor de la funcio´ n.

As´ı pues la funcio´ n del ejemplo queda formada por cuatro sumandos, que son los que se encuentran rodeados en la tabla.

f = a · b · c · d + c · d + a · b · c + b · d

4.2.3. Me´todo nume´rico de Quine-McCluskey.

Es un me´todo para funciones de cinco o ma´s variables, dada su laboriosidad es susceptible de tratamiento mediante un programa informa´tico.

4.3. Implementacio´ n de funciones mediante puertas lo´ gicas.

La implementacio´ n de cualquier funcio´ n lo´ gica, entendida como la realizacio´ n f´ısica de dicha funcio´ n, es francamente simple, si bien, sera´ necesario primero simplificarla funcio´ n.

La utilizacio´ n de distintos tipos de puertas conlleva la utilizacio´ n de un elevado nu´ mero de circuitos integrados, ya que en cada C.I. todas las puertas son del mismo tipo, por ello es importante disponer de un tipo de puerta capaz y suficiente para poder implementar cualquier funcio´ n. Pues bien, todas las funciones se pueden construir utilizando exclusivamente puertas NAND o puertas NOR.

4.3.1. Lo´ gica NAND-NAND.

El proceso que se debe seguir para transformar cualquier tipo de funcio´ n en una expresio´ n algebraica tal que se puede implementar por puertas NAND es el siguiente:

1. En primer lugar aplicar toda la expresio´ n una doble inversio´ n.

2. Si la funcio´ n es un producto, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si es una suma, se elimina una de ellas mediante la aplicacio´ n de las leyes de De Morgan.

3. Se continua invirtiendo doblemente los te´rminos o partes de la funcio´ n hasta que todas las sumas y productos se conviertan en productos o productos negados.

Figura 1: Puerta NOT con lo´ gica NAND.

Figura 2: Puerta AND con lo´ gica NAND.

Figura 3: Puerta OR con lo´ gica NAND.

Figura 4: Puerta XOR con lo´ gica NAND.

Figura 5: Puerta XNOR con lo´ gica NAND.

4.3.2. Lo´ gica NOR-NOR

El proceso que se debe seguir para transformar cualquier tipo de funcio´ n en una expresio´ n algebraica tal que se pueda implementar con puertas NOR solamente, es semejante al visto para las puertas NAND, y es como sigue:

1. En primer lugar debe aplicarse a la expresio´ n en su conjunto una doble inversio´ n.

2. Si la funcio´ n es una suma, las dos negaciones deben dejarse tal cual. Si es un producto, se elimina una de ellas mediante la aplicacio´ n de las leyes de De Morgan.

3. Se continua invirtiendo doblemente los te´rminos o partes de la funcio´ n hasta que todas las sumas y productos se conviertan en sumas o sumas negadas.

Figura 6: Puerta NOT con lo´ gica NOR.

Figura 7: Puerta AND con lo´ gica NOR.

Figura 8: Puerta OR con lo´ gica NOR.

Figura 9: Puerta XOR con lo´ gica NOR.

Figura 10: Puerta XNOR con lo´ gica NOR.