Tema 65 - Sistemas de control - elementos componentes, variables

Señales indeseadas que intervienen de forma adversa en el funcionamiento de un sistema. Pueden ser internas (si se generan dentro de un sistema) o externas (si se generan fuera y constituyen una entrada).

5.- Entrada de mando

Señal excitadora del sistema que es independiente de la salida del mismo.

6.- Selector de referencia

Elemento que se coloca para tener una referencia, es la unidad que establece el valor de la entrada de referencia. Se calibra en función del valor deseado en la salida del sistema.

7.- Entrada de referencia

Señal producida por el selector de referencia.

8.- Unidad de control

Unidad que reacciona con la señal activa para producir la salida deseada. Realiza el trabajo de gobernar la salida.

9.- Salida

Cantidad que debe mantenerse en un valor fijado de antemano. Se considera la variable gobernada.

10.- Sistema de control en bucle abierto

Sistema en el que la salida no tiene influencia sobre la entrada.

11.- Elemento de realimentación

Unidad que facilita medios para aumentar o disminuir la señal de salida.

12.- Señal activa

Señal que es la diferencia entre la señal de entrada de referencia y la salida realimentada.

13.- Sistema de control de bucle cerrado

Sistema en el que la salida afecta a la entrada de tal manera que mantenga el valor de salida deseado.

B.- SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO

Son sistemas en los que la salida no tiene efecto sobre la acción de control (es decir, que la señal de salida no tiene influencia en la señal de entrada).

La variable que queremos controlar puede diverger considerablemente del valor deseado debido a la presencia de perturbaciones externas, por lo que en este tipo de sistemas interesa una buena calibración de los componentes que forman las diversas etapas, así como la inexistencia de dichas perturbaciones.

B.1. Elementos de control

Los elementos componentes de un sistema de control en lazo abierto son los siguientes:

Transductor

Elementos que transmiten información de su entrada a su salida; transforman o adaptan un tipo de energía a otro tipo de energía más apto o conveniente para su utilización por parte del controlador. Su misión consiste en transformar la señal de mando en otra señal denominada señal de referencia.

Amplificador

Elemento que aumenta la amplitud o intensidad de un fenómeno.

Los sistemas en lazo abierto responden al siguiente esquema:

Ejemplo.- Sistema para mantener constante la temperatura de una habitación.

La temperatura es la variable física de entrada que se quiere controlar. El control sobre el proceso puede ser efectuado de varias formas, como muestra el diagrama de bloques siguiente:

El operador actúa sobre la señal de mando (que en este caso es la temperatura deseada). Un componente del sistema de control, el transductor, se encarga de transformar una determinada magnitud de entrada en otra de salida más adecuada para su manipulación (señal de referencia).

La señal de referencia pasa por un amplificador, y una vez amplificada actúa sobre el proceso para obtener la señal controlada, en este caso la temperatura que debe tener la habitación.

En los procesos de lazo abierto tiene mucha importancia la variable tiempo (en nuestro ejemplo, el tiempo de funcionamiento de la caldera). Si, por ejemplo, las condiciones de temperatura exterior cambiasen, el sistema no tendría forma de saberlo y, por lo tanto, estaría funcionando el mismo tiempo y sin conocimiento de esta perturbación exterior, cuando en realidad tendría que actuar en función de que la temperatura exterior subiera o bajara. Los cambios exteriores significan perturbaciones en el sistema a nivel de Proceso en el diagrama anterior.

De todo ello se deduce que si en un sistema de lazo abierto existen perturbaciones no se obtiene la variable deseada, por lo que se tiene que recurrir a otro sistema de control.

Ejemplos de sistema de control de lazo abierto:

· Tostador de pan.

· Máquina de lavar.

· Puerta corredera automática.

· Control de velocidad en un motor derivación.

C.- SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO CERRADO

Si en un proceso se presentan perturbaciones, resulta más conveniente cuantificar o referenciar la señal o variable controladora e intervenir en la cadena de mando para que la variable o señal controlada se parezca lo más posible a la señal de mando. Por ello es necesario realizar una realimentación de la variable de salida a la entrada. Este procedimiento se denomina control en lazo cerrado.

Su diagrama de bloques es el siguiente:

Se definen los sistemas de control de lazo cerrado como aquellos sistemas en los que existe una realimentación de la señal de salida, es decir, aquellos sistemas en los que la señal de salida tiene efecto sobre la acción de control. Otra forma de representarlo sería la siguiente:

En algunas ocasiones, la señal controlada y la señal de referencia no son de la misma naturaleza.

El instrumento encargado de detectar la señal de salida para utilizarla de nuevo es el Captador (dispositivo que recoge una información y, en función de ella, proporciona una señal al sistema). Este elemento mide la señal controlada y la transforma en una señal que puedan entender el resto de los componentes del sistema controlador. Los tipos más habituales de señales son neumáticas o eléctricas.

El siguiente paso consiste en comparar la señal de referencia con la señal controlada (que el captador ha transformado en señal realimentada) para determinar cual es la diferencia existente entre ambas. Esta operación se realiza mediante un Comparador que proporciona a su salida una señal de error. La señal de error se denomina señal activa, y es la que entra al Regulador o Controlador.

El regulador o controlador debe actuar de forma que la variable controlada siga las variaciones de la variable de referencia o corrija los efectos de las perturbaciones con la máxima rapidez, la máxima exactitud y el mínimo de oscilaciones posible.

En este elemento se deben ajustar óptimamente una serie de parámetros para obtener la respuesta deseada, por ello se considera el núcleo del sistema controlador.

A la salida del controlador obtenemos la variable o señal correctora precisa para conseguir un control óptimo del sistema. Pueden utilizarse controladores mecánicos, eléctricos, hidráulicos y neumáticos.

Un ejemplo de control en bucle cerrado es el control de la temperatura de una habitación mediante un termostato. Este elemento compara la temperatura indicada por el selector de referencia con la temperatura ambiente de la habitación, proporcionando en el caso de no ser iguales una señal activa que actúa sobre la caldera para ponerla en marcha hasta que las diferencias de temperaturas sean nulas.

La adecuación de la variable controlada ante una variación de la señal de mando o una perturbación no es instantánea, requiere un tiempo determinado. La variación en función del tiempo de la variable controlada es de gran importancia para el diseño y dimensionado del sistema de regulación.

La estabilidad es una condición imprescindible en un sistema de control.

Como ejemplos de sistemas de control en lazo cerrado, podemos citar:

Mecanismo de llenado de una cisterna de agua.
Control del nivel de potencia de un reactor nuclear.
Sistemas de control de nivel de líquidos

D.- FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

El comportamiento de un elemento puede describirse matemáticamente mediante la función de transferencia o respuesta en frecuencia.

Conocidas las ecuaciones que definen el comportamiento de los elementos de un sistema, éste puede estudiarse por el método operacional de Laplace, según el cual, si son conocidas las relaciones entradas-salidas de cada uno de los bloques, pueden deducirse otras relaciones de entrada-salida para éstos en el dominio de Laplace, denominadas funciones de transferencia.

Función de transferencia (G(s)) de un sistema o componente se define como el cociente de la transformada de Laplace de la señal de salida y la transformada de Laplace de la señal de entrada.

siendo s la variable compleja de Laplace. Es decir, dado un sistema cuya función de transferencia sea conocida, y obtenida la transformada de Laplace C(s) de la salida (o respuesta del sistema en el dominio de la variable compleja s), para hallar la respuesta temporal hay que calcular la inversa de la transformada de Laplace.

La función de transferencia se obtiene transformando al dominio complejo la ecuación diferencial que caracteriza el comportamiento del sistema en el dominio temporal.

La función de transferencia viene dada por un cociente de polinomios N(s) y D(s) en el dominio de la variable compleja s de Laplace (se pasa de una ecuación diferencial a una ecuación algebraica).

El denominador D(s) se conoce como Ecuación Característica, ya que incluye a través de sus coeficientes todas las características físicas de los elementos que componen el sistema.

Las raíces, que son los valores para los que se hace cero la ecuación, determinan la estabilidad del sistema y la naturaleza de su respuesta para cualquier tipo de entrada.

Un sistema lineal se dice que es estable cuando su respuesta a una entrada tiene un valor finito de reposo una vez desaparecida la señal de entrada, lo que equivale a decir que la respuesta en régimen permanente ha de tener un valor finito cuando el tiempo tienda a infinito (en otras palabras, un sistema es estable cuando mantiene su salida constante en un valor prefijado).

Para que un sistema de regulación sea estable, las raíces de la ecuación característica o polos de la función de transferencia (valores para los que la función de transferencia se hace infinita) han de estar situados en el lado izquierdo del semiplano complejo de Laplace.

E.- DIAGRAMAS FUNCIONALES O DE BLOQUES

Una de las ventajas de la función de transferencia es la posibilidad de representar el comportamiento de cada uno de los componentes del sistema de control mediante un bloque funcional, caracterizado por su función de transferencia G(s).

Un bloque funcional es un elemento que indica la función que realiza un dispositivo o componente en un sistema. El sistema queda así configurado como un conjunto de bloques unidos entre sí mediante flechas que indican el sentido de la circulación del flujo de la señal.

La ventaja de los diagramas de bloques es que la función de transferencia del conjunto puede ser deducida a partir de las G(s) parciales, cuyo cálculo es más sencillo.

Además de los bloques definidos mediante la función de transferencia, intervienen los comparadores o detectores de error, cuya misión es efectuar la suma o diferencia de las señales, según el signo que indiquen las entradas. Un comparador puede ser un potenciómetro, un amplificador diferencial, etc.

Existen una serie de combinaciones básicas de bloques según la forma de conexión:

E.1.- Conexión en serie

Se caracteriza por que la señal de salida de un bloque constituye la entrada del siguiente:

Para obtener la función de transferencia global, se determina la función de cada bloque:

Y(s) = G1(s) · U(s)

V(s) = G2(s) · Y(s) = G1(s) · G2(s) · U(s)

La función de transferencia total será:

Por tanto, la función de transferencia de un circuito serie se obtiene multiplicando las funciones de transferencia de cada uno de los elementos.

Puede modificarse el orden de factores, por lo que es posible alterar la posición de los diferentes elementos.

E.2.- Conexión en paralelo

Al conectar elementos en paralelo, se debe disponer un nudo o punto sumador a la salida.

Como se puede observar, un punto de suma es el lugar del sistema de control en el cual confluyen varias señales, siendo la señal de salida el resultado de realizar una serie de operaciones matemáticas con las señales de entrada.

Las funciones de cada bloque son las siguientes:

V1(s) = G1(s) · U(s)

V2(s) = G2(s) · U(s)

Estas señales se suman y dan lugar a la variable de salida V(s):

V(s) = V1(s) + V2(s) = G1(s) · U(s) + G2(s) · U(s)

La función de transferencia total será la suma de las distintas funciones de transferencia de cada uno de los elementos:

E.3.- Conexión en anillo con realimentación directa

Cuando hablamos de realimentación directa, aplicamos la señal de salida directamente al comparador, o lo que es lo mismo, la función de transferencia del lazo de realimentación es 1.

El montaje sería el siguiente:

Las ecuaciones serían las siguientes:

R(s) = U(s) – V(s)

V(s) = G(s) · R(s)

V(s) = G(s) · [ U(s) – V(s) ] = G(s) · U(s) – G(s) · V(s)

V(s) + G(s) · V(s) = G(s) · U(s)

V(s) · [ 1+G(s) ] = G(s) · U(s)

La función de transferencia total en lazo cerrado con realimentación directa sería:

E.4.- Conexión en anillo con realimentación a través de un segundo elemento

Cuando hablamos de realimentación a través de un elemento, la señal de salida se compara con la de entrada una vez multiplicada por la función de transferencia del lazo de realimentación. Esta conexión requiere un montaje como el que se muestra a continuación:

En un sistema en lazo cerrado como éste, a la función de transferencia G(s) se la denomina función de transferencia directa, y a la función H(s) función de transferencia del lazo de realimentación. Las funciones correspondientes a cada elemento serían las siguientes:

R(s) = U(s) – X(s)

X(s) = H(s) · V(s)

V(s) = G(s) · R(s)

Sustituimos R(s) por su valor:

V(s) = G(s) · [ U(s) – X(s) ] = G(s) · U(s) – G(s) · X(s)

Sustituimos X(s) por su valor en la ecuación anterior:

V(s) = G(s) · U(s) – G(s) · H(s) · V(s)

V(s) + G(s) · H(s) · V(s) = G(s) · U(s)

V(s) · [ 1+G(s) · H(s) ] = G(s) · U(s)

La función de transferencia total de un sistema en lazo cerrado con realimentación a través de un elemento sería la siguiente:

El sistema equivalente sería el siguiente:

E.5.- Transposición de ramificaciones y nudos

En el proceso de reducción de diagramas de bloques, a veces interesa transponer un punto de bifurcación. El punto de bifurcación, como su nombre indica, es un punto de un sistema de control del cual parten varias ramas y en cada una de ellas tenemos la misma señal.

El sistema sería equivalente a:

La transformación puede realizarse también en sentido inverso; esto resulta también válido para todas las demás transformaciones.

Con los puntos de suma ocurre lo mismo. A veces interesa transponer un sumador hacia la derecha o hacia la izquierda:

El sistema equivalente sería:

Resumiendo, para simplificar un sistema de control se debe determinar la función de transferencia de los bloques agrupados en serie, paralelo o en anillo, y en ocasiones se deben transponer ramificaciones y nudos para que los sistemas queden con las agrupaciones comentadas anteriormente.

F.- ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DE CONTROL

Habíamos comentado que la estabilidad de un sistema de control queda determinada por la posición de los polos en el plano complejo: si éstos están situados en el semiplano de la parte real negativa, el sistema será estable. Pero si alguno de ellos se localiza en el semiplano de la parte real positiva, el sistema será inestable. Veamos cómo se puede abordar esto.

La estabilidad de un sistema se determina por su respuesta a las entradas o perturbaciones. Un sistema estable es aquel que permanece en reposo a no ser que se excite por una fuente externa, y puede volver al reposo una vez que desaparezcan todas las excitaciones.

La estabilidad se puede definir de las siguientes formas:

Un sistema es estable si su respuesta al impulso tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito.

Un sistema es estable si cada entrada limitada produce una salida limitada.

Para determinar si un sistema es o no estable, se emplean varios métodos (Bode, Routh, Nyquist, Nichols). Los más utilizados son:

F1.- Método de Routh

Da una idea global del sistema. Dice si el sistema es estable o no, pero no indica nada sobre lo próximos que estamos a la estabilidad o inestabilidad. Refleja la estabilidad absoluta.

Recordemos que la ecuación que nos indica si un sistema es estable o no es la ecuación característica (denominador de la función de transferencia en el dominio de Laplace). Para que un sistema sea estable, las raíces de dicha ecuación (polos de la función de transferencia) han de estar situadas en el semiplano real negativo.

El criterio de estabilidad de Routh indica si hay o no raíces positivas en la ecuación polinómica sin tener que resolverla.

F2.- Método del diagrama de Bode

Método en el que se representan la ganancia y el ángulo de fase en función de la frecuencia. Se puede ver lo próximos que estamos a la estabilidad o inestabilidad. Proporciona, por tanto, la estabilidad relativa.

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