Tema 21–Trazados geométricos básicos

Tema 21–Trazados geométricos básicos

 clip_image002 clip_image003

clip_image004 clip_image005 clip_image006

clip_image007

INDICE:

INTRODUCCIÓN.

1. TRAZADOS BÁSICOS.

1.1. Conceptos fundamentales.

1.2. Lugares geométricos.

1.3. Trazado de rectas, mediatrices y perpendiculares.

1.4. Trazados de rectas paralelas.

1.5. Trazados de circunferencias y ángulos.

2. TRIÁNGULOS.

2.1. Definición, propiedades y clasificación.

2.2. Rectas y puntos notables.

2.3. Construcción de triángulos.

3. CUADRILÁTEROS.

3.1. Definición, propiedades y clasificación.

3.2. Construcción de cuadriláteros.

4. POLÍGONOS REGULARES.

4.1. Construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

4.1.1. División de la circunferencia en “n” partes iguales.

4.2. Construcción de polígonos regulares conociendo el lado.

4.2.1. Construcción de un polígono regular de “n” lados a partir del lado.

5. TANGENCIAS Y ENLACES.

5.1. Conceptos básicos

5.2. Trazados de rectas y circunferencias tangentes.

5.3. Enlaces.

5.3.1. Trazados de enlaces.

6. CURVAS TÉCNICAS.

6.1. Óvalos.

6.2. Ovoides.

6.3. Espirales.

7. CURVAS CÓNICAS.

7.1. Elipses.

7.2. Parábolas.

7.3. Hipérbolas.

CONCLUSIONES.

BIBLIOGRAFIA.

INTRODUCCIÓN.

En este tema vamos a estudiar y conocer los conceptos básicos del dibujo geométrico y las construcciones básicas con las que podemos trabajar.

Empezaremos conociendo conceptos como son el punto, la línea, el plano, la perpendicularidad, el paralelismo, los ángulos, los lugares geométricos, etc., al ser la base de las construcciones que iremos desarrollando posteriormente: triángulos, cuadriláteros, polígonos, relaciones geométricas, tangencias, curvas técnicas y curvas cónicas.

No obstante, ante la imposibilidad de poder exponer en un solo tema la gran variedad de casos que pueden presentarse en las distintas construcciones geométricas, se han considerado, en cada uno de estos puntos los trazados básicos más elementales con objeto de poder ofrecer al tribunal una visión global sobre todos los apartados que engloba el título del tema.

1. TRAZADOS BÁSICOS.

1.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

Los elementos básicos del dibujo técnico son el punto, la línea, el plano y ángulos.

El punto no tiene dimensión, podemos considerarlo como una posición del espacio. Si es el resultado de la intersección de dos líneas, lo designaremos con una letra mayúscula A, B, C… Y si es el centro de una circunferencia, se denota con la letra O. Los puntos también pueden identificarse con números, 1, 2, 3…

Existe una serie de puntos, llamados notables, que cumplen una función u ocupan una posición que los diferencia de los demás puntos. Son ejemplos de estos puntos: los vértices, los centros, los puntos medios, etc.

La línea se puede considerar como una sucesión de puntos. Si estos puntos se hallan en la misma dirección, se llamará línea recta, se llamará línea curva si cambia continuamente de dirección y línea poligonal si cambia de dirección a intervalos. Tiene sólo una dimensión, la longitud, que es el espacio ocupado por la sucesión de puntos de puntos.

Se nombran con letras minúsculas.

En el caso de que la línea esté limitada por un extremo con un punto P, se llamará semirrecta. Y si sobre una línea ubicamos dos puntos A y B, estaremos definiendo un segmento AB.

 
  clip_image009

clip_image011

El plano es ilimitado, viene definido por: tres puntos no alineados, dos rectas que se cortan, dos rectas paralelas y una recta y un punto no coincidentes. Los planos se nombran con letras mayúsculas.

Si limitamos el plano con rectas obtenemos figuras planas como los polígonos. Las curvas técnicas y las curvas cónicas son intervalos de planos limitados por líneas curvas cerradas.

El ángulo es la parte o porción del plano limitada por dos semirrectas con un origen común O. A las semirrectas las llamaremos lados y al origen lo denominaremos vértice del ángulo. Los ángulos se designarán con la letra del vértice A, B, C…

1.2. LUGARES GEOMETRICOS.

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición que sólo pueden cumplir ellos. Es importante asimilar bien este concepto para facilitar el razonamiento de los trazados geométricos.

  • La circunferencia la podemos definir como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo.
  • La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos.
  • La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas fijas.

clip_image013 clip_image014

El trazado de una circunferencia con el compás está basado en esta definición, puesto que, uno de los extremos es un punto fijo y el otro se desplaza a la misma distancia de éste recorriendo el lugar geométrico de los puntos que distan la magnitud del radio, del centro de la circunferencia.

  • El arco capaz de un ángulo α respecto a un segmento AB, es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales se ve el segmento AB bajo un ángulo α.

P

Para hallarlo, trazamos la mediatriz del segmento AB. En uno de los extremos dibujamos el ángulo complementario de α, es decir (90º – α). La intersección del lado del ángulo con la mediatriz determina el centro O del arco capaz. Si cogemos un punto cualquiera P o Q de dicho arco y los unimos con los extremos del segmento AB, el ángulo que formarán será α.

Q

clip_image016

1.3. TRAZADO DE RECTAS PERPENDICULARES.

Se llama rectas perpendiculares a las que se cortan formando cuatro ángulos rectos. Como ejemplo de aplicación citaremos que la Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento trazada desde su punto medio.

Para trazar la mediatriz de un segmento seguiremos el siguiente proceso:

clip_image017

  1. Con centro en A y un radio arbitrario pero mayor que AB/2 se traza un arco de circunferencia.
  2. Con centro en el otro extremo B y el mismo radio se traza otro arco, que se corta con el anterior en los puntos 1 y 2.
  3. La recta m que une los puntos 1 y 2 es una perpendicular al segmento y a la vez es su mediatriz.

clip_image019

Para trazar perpendiculares a otras rectas empleando para ellos el juego de escuadras se puede seguir el siguiente proceso:

El cartabón se fija y se sujeta con la mano izquierda, la escuadra se desliza sobre su hipotenusa sobre cualquier lado del cartabón. Con la primera posición se trazara una recta r sobre uno de sus catetos y desplazando la escuadra hasta la segunda posición se trazará una recta s sobre el otro cateto. Se obtiene así dos rectas r y s perpendiculares.

1.4. TRAZADOS DE RECTAS PARALELAS.

Diremos que dos rectas que pertenecen a un mismo plano son paralelas cuando no tienen ningún punto en común.

Para el trazado de rectas paralelas, se puede fijar la posición de la escuadra, y apoyar sobre cualquiera de sus lados un cateto del cartabón, si trazamos una recta sobre su hipotenusa y, posteriormente, la vamos deslizando podemos ir obteniendo rectas paralelas a la primera.

clip_image021

1.5. TRAZADOS DE CIRCUNFERENCIAS Y ÁNGULOS.

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Siendo la distancia entre un punto cualquiera de la circunferencia y el centro, el radio de la circunferencia.

Con respecto a la circunferencia podemos hablar de los siguientes elementos:

· clip_image023

Centro, O: Punto del que equidistan los puntos de la circunferencia.

· Radio, r: Es el segmento que une el centro O con un punto cualquiera P de la circunferencia.

· Diámetro, d: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Mide el doble que el radio.

· Cuerda: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro. Si trazamos la mediatriz de una cuerda, ésta pasará por el centro de la circunferencia.

· Arco: Es una porción de la circunferencia.

Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que lo divide en dos ángulos iguales, o lo que es lo mismo, es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del triángulo.

clip_image024

Para trazar la bisectriz de un ángulo α formado por dos rectas r y s:

· Con centro en el vértice A y radio arbitrario se traza un arco que corta a r y s en dos puntos 1 y 2.

· Con centro en 1 y 2 se trazan dos arcos de igual radio que se cortan en M.

· La recta que une el vértice y este punto M es la bisectriz del ángulo.

Construcción de un ángulo igual a otro. Dado un ángulo α:

§ clip_image026

Sobre una recta r se toma un punto B arbitrario.

§ Con centro en el vértice A se traza un arco con radio arbitrario que corta a los lados del ángulo en C y D.

§ Con el mismo radio anterior y centro en B se traza un arco que corta a la recta r en el punto E.

§ Con centro en E y radio CD se describe un arco que corta al anterior en el punto F.

§ Si trazamos ahora una recta s que una el punto B y el F, obtenemos que r forma con s el ángulo buscado.

2. TRIÁNGULOS.

Los Triángulos son superficies planas limitadas por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección se llaman vértices, y los segmentos comprendidos entre los vértices se denominan lados del triangulo. La suma de sus ángulos es igual a 180º.

La notación del triángulo se realiza con letras mayúsculas para los vértices y minúsculas para los lados, coincidiendo la letra de un vértice con la del lado opuesto y siguiendo el sentido contrario a las agujas del reloj. Los ángulos se nombran con las letras griegas correspondientes.

clip_image030

Según la magnitud relativa de sus lados en:

  • Equiláteros. Si tienen tres lados iguales
  • Isósceles. Si tienen dos lados iguales.
  • Escalenos. Si tienen tres lados desiguales.

Se clasifican, según sus lados ángulos en:

  • clip_image031
  • Acutángulos. Si tienen todos sus ángulos agudos.
  • Rectángulos. Si tienen un ángulo recto.
  • Obtusángulos. Si tienen un ángulo obtuso.

Rectas y puntos notables.

Mediatrices

Las mediatrices del triángulo son las mediatrices de sus lados. Se cortan en un punto que equidista de los vértices llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.

Bisectrices

Las bisectrices del triángulo se cortan en un punto notable del triángulo llamado Incentro, que por equidistar de los lados es el centro de la circunferencia inscrita.

clip_image032 clip_image002[1]

Medianas

Las medianas son las rectas que unen los vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en el Baricentro, que es el centro geométrico del triángulo. El Baricentro se encuentra a 2/3 del vértice y 1/3 del punto medio del lado opuesto.

Alturas

Las alturas son las rectas perpendiculares a los lados desde los vértices opuestos. La intersección de las alturas es el Ortocentro.

clip_image034 clip_image036

Construcción de triángulos.

En la mayoría de los problemas de construcción de triángulos, uno de los datos será alguno de sus lados, el cual nos servirá para fijar dos puntos y la recta que definen. A partir de este elemento el problema se reduce a determinar la posición del tercer vértice. Ese vértice se encontrará en la intersección de dos lugares geométricos, (circunferencias, rectas paralelas, rectas de una dirección dada y arco capaz), cuya condición podemos deducir de los demás datos que nos den.

Estos datos adicionales

que pueden darnos son

Lugares geométricos que habría

que trazar con esos datos

Lados, Medianas, Alturas,

(referidas a uno de los vértices del lado dado)

Circunferencias

Altura (referida al lado fijo)

Rectas paralelas

Ángulos Semiángulos

(referidas a uno de los vértices del lado dado)

Rectas de dirección determinada

Angulo opuesto (al lado fijo)

Arco capaz

A continuación se resuelven algunos problemas básicos de la construcción de triángulos:

Supongamos que queremos construir un triángulo dados los lados a y b, y la altura ha.

clip_image038

Fijamos el lado a, obteniendo la posición de los vértices B y C. Nos queda pues, determinar la posición del vértice A. La distancia de A a C es el lado b, por lo que trazamos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de C la distancia b (una circunferencia de centro C y r = b).

El otro dato es la altura del vértice A. Trazamos el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta a, la distancia ha. (Una paralela al lado BC a una distancia ha).

Construyamos ahora un triángulo del que conocemos el lado a, el ángulo a (α) y la mediana ma.

clip_image040

Con el mismo razonamiento que el ejercicio anterior se construye este triángulo. En el lado a trazaremos el arco capaz del ángulo a y dibujaremos la circunferencia de centro en el punto medio del lado a y radio el valor de la mediana. Donde se cortan ambos lugares geométricos tendremos dos soluciones. Este ejercicio tiene cuatro soluciones, considerando la doble solución del arco capaz, de las que se han representado dos.

3. CUADRILÁTEROS.

Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Los puntos de intersección se llaman vértices y los segmentos entre los vértices se llaman lados. Al igual que los triángulos, sus vértices se denotan con letras mayúsculas los vértices y minúsculas para los lados.

Se dividen en paralelogramos y no paralelogramos. Los paralelogramos tienen sus lados paralelos dos a dos y se dividen a su vez en:

· clip_image042

Cuadrado, los cuatro lados son iguales y los cuatro ángulos miden 90º. Las diagonales son iguales y perpendiculares entre si, se cortan en su punto medio.

· Rectángulo, los lados opuestos son iguales y perpendiculares entre sí y los cuatro ángulos miden 90º. Las diagonales son oblicuas y de igual tamaño, se cortan en su punto medio.

· Rombo, los cuatro lados son iguales y los ángulos opuestos miden lo mismo. Las diagonales son perpendiculares pero de distinto tamaño, se cortan en su punto medio.

· Romboide, los lados y ángulos opuestos son iguales entre si, las diagonales son desiguales y oblicuas, se cortan en su punto medio.

Los no paralelogramos pueden ser trapecios, si tienen dos lados paralelos, y trapezoides, si tienen todos sus lados y ángulos desiguales.

clip_image044

Los trapecios se clasifican en:

· Trapecios Isósceles, los lados que no son la base son iguales.

· Trapecios Rectángulo, tienen un ángulo recto.

· Trapecios Escaleno, no tienen ningún lado igual, si bien dos de ellos son iguales.

Construcción de cuadriláteros.

Teniendo en cuenta que una diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos, esto nos permite construirlos por triangulación.

clip_image045

Veamos algunos casos de construcción de cuadriláteros:

Cuadrado conociendo la diagonal, d.

Situamos la diagonal AC y seguidamente trazamos su mediatriz. Con centro en el punto medio de la diagonal dibujamos una circunferencia de radio OA. Los puntos de intersección de la circunferencia y la mediatriz son los vértices B y D del cuadrado.

Rectángulo conociendo la diagonal, d, y un lado, a.

clip_image047

Este caso se resuelve de manera similar, pero necesitamos conocer uno de los lados porque los triángulos son escalenos.

Partimos de la diagonal y, dado que los ángulos opuestos son de 90º, ángulo b y ángulo d, hacemos el arco capaz de 90º, que, en este caso, coincidirá con la circunferencia de centro el punto medio de la diagonal y radio d/2. Posteriormente con centro en los extremos de la diagonal y radio el lado dado, hallamos los vértices B y D en los puntos de corte con la circunferencia anterior.

Rombo conociendo su diagonal, d, y un ángulo a.

clip_image049

Partimos del ángulo dado, de vértice A, y se traza la bisectriz del mismo.

A partir del vértice A y sobre la bisectriz se lleva la magnitud de la diagonal conocida y determinamos el vértice C.

Si trazamos por C paralelas a los lados del ángulo se cortarán con éstos en los puntos B y D, determinando los otros dos vértices del rombo.

4. POLÍGONOS REGULARES.

Los polígonos son las superficies planas limitadas por rectas que se cortan dos a dos.

clip_image051

Se clasifican en regulares, si sus lados y ángulos son iguales, e irregulares si no lo son.

Los polígonos cóncavos son aquellos que tienen alguno de sus ángulos interiores mayor de 180º.

Las diagonales son las rectas que unen dos vértices no consecutivos.

Métodos particulares para la construcción de polígonos inscritos en una circunferencia:

Triángulo, hexágono y dodecágono.

En el hexágono se cumple que el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado.

clip_image053

Podemos dividir una circunferencia en seis partes iguales trazando dos arcos de circunferencia con centros en los extremos de un diámetro y con el mismo radio de la circunferencia.

Si se repite esta operación en otro diámetro perpendicular al primero, la circunferencia queda dividida en 12 partes iguales.

Tomando sólo tres vértices no consecutivos del hexágono, se obtiene el triángulo equilátero.

clip_image055

Cuadrado y octógono.

Dos diámetros perpendiculares dividen la circunferencia en cuatro partes iguales. Si se trazan las bisectrices de los cuadrantes se obtienen ocho partes iguales de la circunferencia.

clip_image057

Pentágono y decágono.

Se dibuja la circunferencia circunscrita y se traza la mediatriz de uno de sus radios, OP por ejemplo. Con centro en el punto medio del radio trazamos un arco de radio ME, que corta en F al diámetro P0. De esta manera obtenemos los segmentos EF y OF, iguales a los lados del pentágono y el decágono respectivamente.

clip_image059

clip_image060

L7

Heptágono.

La mediatriz del radio OP de la circunferencia circunscrita corta a la circunferencia en el punto N, siendo MN igual a la magnitud del lado del heptágono.

Método general para la construcción de polígonos conociendo el radio de la circunferencia circunscrita.

A partir de un diámetro AB, dibujamos una circunferencia.

clip_image062

Dividimos el diámetro en un número n de partes iguales, siendo n el número de lados que ha de tener el polígono.

Haciendo centro en los extremos del diámetro, trazamos arcos de radio AB que se cortan en los puntos M y N.

Uniendo los puntos M y N, con las divisiones pares realizadas en el diámetro AB, obtenemos sobre la circunferencia los vértices del polígono.

En la siguiente figura se ha construido un heptágono, partiendo del radio OA.

clip_image063

Métodos particulares conociendo el lado del polígono:

Hexágono conociendo el lado.

Construimos el triángulo equilátero de lado igual a la magnitud del lado AB del hexágono. El vértice O hallado es el centro de la circunferencia circunscrita.

Pentágono conociendo el lado.

D

clip_image065

Se sitúa el lado AB dado prolongando uno de sus extremos.

Se levanta una perpendicular por el extremo B y se traslada sobre ella la magnitud del lado para obtener el punto M.

E

C

Con centro en el punto medio del lado, trasladamos el punto M sobre la prolongación de AB determinando el punto F.

La distancia AF es igual a la magnitud de la diagonal de pentágono, por lo que si trazamos los arcos de circunferencia de centro en A y B y radio AF, obtenemos el punto D.

Con las medidas del lado y la diagonal hallada construimos el pentágono por triangulación.

Método general para la construcción de polígonos conociendo el lado.

clip_image066

Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polígono que queremos construir. Seguidamente, hacemos centro en A y B, respectivamente, y trazamos dos arcos de circunferencia de radio igual a la magnitud del lado, obteniendo el punto de intersección O.

Haciendo centro en el punto O trazamos la circunferencia de radio OA, circunscrita de un hexágono de lado AB.

clip_image067Trazamos el diámetro perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM en seis partes iguales. Cada división es el centro de la circunferencia circunscrita de un polígono de lado AB y n número de lados.

En la figura se ha representado el eneágono, trazando su circunferencia circunscrita de centro 9 y radio 9A.

5. TANGENCIAS Y ENLACES.

5.1. Conceptos básicos

Una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes cuando tienen un único punto común.

En una relación de tangencia entre una recta y una circunferencia, se cumple que:

· El radio de la circunferencia es perpendicular a la recta tangente en el punto de tangencia.

· La distancia del centro de la circunferencia a la recta tangente es igual al radio.

clip_image069

Cuando dos circunferencias son tangentes, se cumple que:

  • Sus centros están alineados con el punto de tangencia.
  • La suma (si son exteriores) o diferencia (si son interiores) de los radios es igual a la distancia entre sus centros.

De las propiedades anteriores deducimos, que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una recta en un punto, es la perpendicular a la recta en ese punto.

clip_image071

Y que el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a una circunferencia en un punto de ella, es la recta definida por centro y el punto de tangencia.

clip_image073

También tendremos en cuenta la propiedad de que el centro de cualquier circunferencia que pase por dos puntos se encuentra en la mediatriz del segmento que forman dichos puntos.

clip_image075

Potencia de un punto respecto a una circunferencia.

Si trazamos un haz de rectas secantes desde un punto P a una circunferencia, al producto de los segmentos comprendido entre el punto P y los puntos de intersección de las rectas con la circunferencia lo llamamos potencia.

La potencia es igual al cuadrado de la distancia del punto P, al punto de tangencia de una recta tangente a la circunferencia, trazada desde P.

PA x PA’ = PB x PB’ = … = PN x PN’ = PT²

Eje Radical es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias.

clip_image077

El eje radical de dos circunferencias secantes, es la recta que une los puntos de intersección de ambas circunferencias.

El de dos circunferencias tangentes, es la recta tangente común a ambas circunferencias en el punto de tangencia.

Para hallar el eje radical de dos circunferencias exteriores se traza una circunferencia auxiliar secante a las dadas. Por el centro radical de las tres circunferencias trazamos una perpendicular a la recta que una los centros de las circunferencias exteriores, (ver figura).

Centro Radical es el punto que tiene igual potencia respecto a tres circunferencias. Se encuentra en la intersección de los ejes radicales de las circunferencias tomadas dos a dos.

5.2. Casos.

La mayoría de los problemas de tangencia se resuelven aplicando los conceptos de lugares geométricos, por suma y diferencia de radios, y por potencia.

Se pueden pedir rectas tangentes a circunferencias, o circunferencias tangentes a rectas y, o circunferencias. Cuando se piden circunferencias, se pueden fijar tres condiciones, pasar por un punto, ser tangente a una recta y ser tangente a otra circunferencia. La combinación de estas tres condiciones nos dan 10 casos, que se representan por combinación de las iniciales P, R, y C. Cuando no se fijan las tres condiciones es necesario dar algún dato, como el radio o los puntos de tangencia. A continuación resolveremos algunos de estos casos:

clip_image079

Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.

Con centro en el punto medio del segmento OP, se traza una circunferencia que pase por los extremos O y P. Las intersecciones de la circunferencia auxiliar con la circunferencia dada son los puntos T1 y T2, de tangencia.

Esto se explica, por que al ser recto el ángulo que forman el radio y la tangente en el punto de tangencia, éste debe encontrarse en el arco capaz del ángulo recto respecto al segmento OP.

Rectas tangentes comunes a dos circunferencias.

clip_image081

Trazamos una circunferencia auxiliar, concéntrica con la mayor, de radio igual a la diferencia de los de las dadas (Nota para el dibujo: rOA = rOT – rO´T). Otra circunferencia que pase por los extremos de OO’ y centro en su punto medio, la corta en los puntos A y B. Los radios OA y OB, determinan los puntos de tangencia sobre la circunferencia mayor (Nota para el dibujo: prolongando OA y OB hasta cortar a la circunferencia de mayor diámetro). Los radios que pasan por los puntos de tangencia de ambas circunferencias con la misma recta, son paralelos (Nota para el dibujo: por O´ trazamos paralelas a OA y OB hasta cortar a la circunferencia de menor diámetro).

Si la primera circunferencia auxiliar es igual a la suma de los radios se obtienen las tangentes interiores.

Circunferencias, de radio r’ dado, tangentes comunes a una circunferencia y una recta.

clip_image083

Si el dato es el radio r’ de las circunferencias, los centros distarán r’ de la recta, y r + r’ ó r – r’ del centro de la circunferencia dada. Las intersecciones de los lugares geométricos determinan los centros de las soluciones.

clip_image085

Si el dato es el punto de tangencia en la circunferencia, la tangente a la circunferencia en ese punto es el eje radical de las soluciones. La intersección del eje radical con la recta dada es centro radical, CR, de las tres circunferencias, es decir, la distancia de ese punto a los puntos de tangencia es la misma. Por tanto, trazando, con centro en dicho punto, un arco de radio CRT donde corte a r obtendremos los dos puntos de tangencia de las soluciones.

clip_image087

Caso PPR.

La recta que pasa por los puntos dados es el eje radical de las soluciones y de la circunferencia auxiliar trazada por A y B, El punto M es el centro radical de las tres circunferencias, por tanto, tiene igual potencia respecto a las tres. Trazando una recta tangente a la circunferencia auxiliar obtenemos la potencia. Si llevamos el segmento MT, sobre la recta, determinamos los puntos T1 y T2. Trazando perpendiculares por dichos puntos a r, donde corten a la mediatriz de A y B, obtenemos los centros de las dos soluciones.

Existen otros casos tales como: Caso PRR, PPC, RRR y PPP que no trataremos al no disponer del tiempo necesario.

5.3. Enlaces

Enlaces son las uniones armónicas por medio de tangencias entre distintas figuras.

Para resolver problemas de enlaces hay que tener presente las propiedades fundamentales de las tangencias:

  • El radio que pasa por el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
  • Los centros de dos circunferencias tangentes están alineados con el punto de tangencia.
  • El centro de la circunferencia está en la mediatriz del segmento que forman dos de sus puntos.

5.3.1. Trazados de enlaces:

clip_image088

Enlace de dos rectas.

Para definir el problema se necesita conocer el radio o un punto de tangencia. Si conocemos el radio, trazamos paralelas a las rectas dadas, a una distancia igual al radio, obteniendo el centro del arco en su intersección. Los puntos de enlace se hallan trazando perpendiculares por el centro del arco a las rectas tangentes.

Si el dato es el punto de tangencia, la perpendicular trazada por el punto de tangencia a la recta, y la bisectriz del ángulo que forman, se cortan en el centro del arco.

clip_image089

Enlace de dos arcos.

Dándonos el radio, las circunferencias concéntricas de radios iguales a la suma y diferencia, determinan los centros del arco de enlace. Sabemos que los puntos de enlace están alineados con los centros.

clip_image091

Enlace de arco y recta.

Las paralelas a la recta a una distancia igual al radio dado y las circunferencias concéntricas de radios la suma y diferencia, determinan los centros.

6. CURVAS TÉCNICAS.

clip_image092

6.1. El ovalo.

El óvalo es una curva cerrada compuesta por cuatro arcos de circunferencia tangentes entre sí e iguales dos a dos. Tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí.

Construcción del óvalo conociendo los dos ejes.

Se transporta la magnitud del semieje mayor sobre el semieje menor y obtenemos el punto E.

Con centro en C y radio CE determinamos sobre la recta AC, el punto F.

La intersección de la mediatriz del segmento AF con los ejes del óvalo, son centros de dos de arcos de la curva.

Los otros dos se obtienen por simetría, y los puntos de tangencia por intersección de las rectas que unen los centros con los arcos.

clip_image094

6.2. El ovoide.

El ovoide es una curva cerrada compuesta por cuatro arcos de circunferencia, de los cuales uno es una semicircunferencia y dos son simétricos. El ovoide tiene un eje de simetría llamado eje mayor y un diámetro, llamado eje menor.

Construcción del ovoide del que se conoce su diámetro AB.

Se traza la mediatriz del segmento AB.

Con diámetro AB y centro en, O, punto medio del eje AB se traza una circunferencia cuya parte inferior es uno de los arcos del ovoide.

A, B y O1 son los centros de los tres arcos del ovoide.

6.3. Espirales

Las espirales son líneas curvas que dan vueltas alrededor de un elemento (un segmento, un triangulo, un cuadrado, etc.) alejándose de él gradualmente. Se denomina paso a la distancia radial que existe entre dos vueltas o espiras consecutivas.

clip_image096

Espiral de dos centros.

Con centro en uno de los puntos y radio la distancia entre ellos, se traza un primer arco que determina, sobre la recta que los une, el primer punto de tangencia.

La distancia del segundo centro al punto de tangencia hallado, es el radio del segundo arco.

clip_image098

Espiral de tres centros.

Prolongamos los lados de un triángulo equilátero cuyos vértices son los centros de la espiral. Hacemos centro en el primer vértice con radio igual al lado y trazamos el primer arco hasta cortar la prolongación del primer lado.

7. CURVAS CÓNICAS.

clip_image100

Las curvas cónicas son las secciones producidas por un plano secante sobre una superficie cónica de revolución.

Una superficie cónica de revolución es la generada por una recta que gira alrededor de un eje, e, fijo con el que se corta en un punto V.

Dependiendo del ángulo que forme el plano secante con el eje de la superficie cónica, se producen las distintas curvas cónicas.

=

clip_image102

Si el ángulo es mayor, igual o menor que el semiángulo del vértice de la superficie cónica, se producen, respectivamente, una elipse, una parábola o una hipérbola.

clip_image104

7.1. Elipse

La elipse es una curva cerrada y plana. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor.

Elementos de la elipse.

Las elipses poseen los siguientes elementos:

Tiene dos Ejes de simetría perpendiculares en sus puntos medios. El eje mayor AA’ vale 2a y el eje menor BB’ 2b. El punto de intersección de los ejes es el centro de simetría.

Focos. Son dos puntos fijos F y F’, situados sobre el eje mayor y simétricos respecto al eje menor. FF’ es igual a 2c.

Radios vectores. Son los segmentos comprendidos entre los puntos de la elipse y los focos. La suma de los radios vectores correspondientes a un mismo punto es igual a 2a. [ PF + PF’ = 2a ]

Circunferencia principal. Es la que tiene su centro en el centro de la elipse y radio igual al semieje mayor. Las proyecciones de los focos sobre cualquier recta tangente a la elipse pertenecen a la circunferencia principal.

clip_image106

Circunferencias Focales. Son las circunferencias con centro en los focos y radio igual a 2a. El punto simétrico de un foco respecto de cualquier recta tangente pertenece a la circunferencia focal cuyo centro es el otro foco.

Para determinar los focos F y F’ de una elipse conocidos los ejes, se hace centro en un extremo del eje menor, B por ejemplo, y se traza un arco de radio igual al semieje mayor a. La intersección del arco con el eje mayor son los focos de la elipse.

clip_image107

Trazado de la elipse. Método de los puntos.

A partir de uno de los focos y hasta el centro de la elipse, dividimos el eje mayor AA’, en segmentos complementarios cuya suma es 2a.

A1 + 1A’ = A2 + 2A’ = A3 + 3A’ = 2a

Estos segmentos son las medidas de los radios vectores de un mismo punto. Hallamos los puntos que distan A1 de un foco y 1A’ del otro, y así, con los demás segmentos.

El trazado de la elipse se realiza a mano alzada.

clip_image109

7.2. Parábola

La parábola es una curva abierta y plana. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

La parábola puede considerarse una elipse que tiene su centro en el infinito, y por tanto, sólo tiene un foco y un vértice real.

La circunferencia principal tiene su centro en el infinito y pasa por el vértice, es pues, la recta perpendicular al eje mayor que pasa por el vértice.

La circunferencia focal es una recta que coincide con la directriz, ya que tiene su centro en el foco del infinito.

El vértice equidista del foco y de la directriz.

clip_image111

7.3. Hipérbola

La hipérbola es una curva abierta y plana de dos ramas. Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola tiene dos ejes de simetría, el eje real AA’ = 2a y el eje imaginario BB’ = 2b. Se cortan en el centro de simetría O. La circunferencia principal tiene su centro en O y r = a. Las circunferencias focales tienen los centros en F y F’ y r = 2a.

Los focos se determinan sobre el eje real con una circunferencia de centro O y r = AB.

La hipérbola y la parábola, al igual que la elipse, se construyen por el método de los puntos aplicando las propiedades de sus definiciones.

CONCLUSIONES.

Tal y como adelantamos en la introducción, en el tema hemos estudiado los trazados geométricos básicos de forma muy resumida, pues, en realidad, de cada uno los apartados que compone, se podría desarrollar un tema completo

Con todo, en cada uno de los puntos del tema, hemos podido desarrollar las definiciones y las propiedades más importantes, así como una clasificación de los elementos y las construcciones geométricas más básicas basadas en las definiciones y propiedades comentadas.

Por motivos de espacio se han omitido las relaciones y transformaciones geométricas (igualdad, equivalencia, homotecia, homología, afinidad, etc.), y no se ha podido dar un tratamiento profundo de las tangencias, las curvas técnicas y curvas cónicas (elipse, parábola e hipérbola).

Según el enfoque que hemos seguido, el tema sirve de base para iniciarse en un desarrollo más profundo de los distintos apartados del tema y para tener los conocimientos básicos en geometría plana para poder afrontar el estudio de los sistemas de representación (temas 22: Representación en sistema diédrico, tema 23: Representación en perspectiva isométrica y caballera y tema 24: Representación en perspectiva cónica frontal y oblicua).

BIBLIOGRAFIA UTILIZADA EN EL DESARROLLO DEL TEMA.

Corbella Barrios TECNICAS DE REPRESENTACIÓN GEOMETRICA.

Mario González TRAZADO geométrico (volumen I) Julián Palencia

Equipo técnico EDEBE DIBUJO TECNICO. BACHILLERATO. Editorial edebe – 2000

Equipo técnico SM DIBUJO TECNICO. 2º BACHILLERATO. Editorial sm – 2002