Tema 22A – Representación en sistema diédrico

Tema 22A – Representación en sistema diédrico

INDICE:

INTRODUCCIÓN.

1. FUNDAMENTOS.

2. EL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO.

2.1. El punto. Definición, propiedades y clasificación.

2.2. Rectas y puntos notables.

2.3. El plano.

3. INTERSECCIONES. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.

3.1. Intersecciones.

3.2. Paralelismo y perpendicularidad.

3.3. Distancias.

4. ABATIMIENTOS, GIROS Y CAMBIOS DE PLANOS.

4.1. Abatimientos.

4.2. Giros.

4.3. Cambios de planos.

5. ÁNGULOS.

5.1. Conceptos básicos

5.2. Trazados de rectas y circunferencias tangentes.

5.3. Enlaces.

5.3.1. Trazados de enlaces.

6. POLIEDROS REGULARES.

6.1. Tetraedro.

6.2. Hexaedro o cubo.

6.3. octaedro.

CONCLUSIONES.

BIBLIOGRAFIA.

INTRODUCCIÓN.

En este tema vamos a estudiar el sistema diédrico ortogonal y a conocer las relaciones del punto, la recta y el plano, teniendo muy presente la posición de estos elementos en el espacio.

Estudiaremos también mediante casos prácticos las relaciones entre punto, recta y plano, (intersecciones, paralelismos, perpendicularidad y distancias) así como sus ángulos.

Resolveremos mediante ejemplos los métodos que emplea la geometría descriptiva (giros, abatimientos y cambios de plano) para resolver los problemas del espacio que nos permiten obtener la verdadera magnitud de las superficies así como su verdadera forma y la longitud de las magnitudes lineales.

Por ultimo, veremos la representación de figuras o cuerpos (los poliedros) y algunos métodos sencillos de construcción. Estudiaremos en este caso los tres poliedros más característicos: el tetraedro, el hexaedro o cubo y el octaedro.

No obstante, ante la imposibilidad de poder exponer en un solo tema la gran variedad de casos que pueden presentarse en las distintas construcciones geométricas, se ha considerado, en cada uno de los apartados en los que se ha subdividido el tema, los trazados básicos con objeto de poder ofrecer al tribunal una visión global sobre todos los apartados que se engloban bajo el título del tema.

1. FUNDAMENTOS.

La geometría descriptiva es la ciencia que estudia la representación de los elementos del espacio sobre el plano. Utiliza unos métodos, llamados sistemas de representación, que se basan en el concepto de proyección desde un punto sobre el plano para reducir las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Los sistemas de representación han de cumplir el principio de reversibilidad, es decir, que utilizando un sistema de representación podamos representar un cuerpo del espacio sobre el plano, y partiendo de dicha representación lo podamos reconstruir en el espacio.

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Del concepto de proyección desde un punto sobre el plano, se derivan los tres tipos de proyecciones que utilizan los distintos sistemas de representación. Si el punto desde el que se proyectan los elementos del espacio sobre el plano es propio, el tipo de proyección es cónica, y cilíndrica, si es impropio.

La proyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblicua dependiendo de que el rayo proyectante sea perpendicular u oblicuo al plano de proyección.

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En Sistema Diédrico se proyectan los elementos del espacio, utilizando la proyección cilíndrica ortogonal, sobre dos planos que se cortan perpendicularmente formando un diedro rectángulo. La recta de corte la llamaremos línea de tierra. Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro cuadrantes.

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Los planos bisectores son los que dividen los cuadrantes en dos diedros iguales. Con los bisectores, el sistema queda dividido en ocho octantes.

Para que las proyecciones de los elementos del espacio queden representadas sobre un único plano de proyección, que coincida con el plano del dibujo, se abate el plano Horizontal hasta hacerlo coincidir con el Vertical. De esta manera, tendremos representado el espacio tridimensional sobre un único plano.

2. EL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO.

2.1. El punto.

Un punto del espacio se representa por sus dos proyecciones ortogonales sobre los planos de proyección. En la figura, el punto A del espacio queda representado por sus proyecciones a sobre el plano Horizontal, y a’ sobre el plano Vertical.

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Al abatir el plano horizontal, alrededor de la línea de tierra (LT), sobre el vertical, la proyección a del punto se traslada con el plano, de manera que las proyecciones a-a’ quedan situadas sobre la misma perpendicular a la línea de tierra. Cuando hacemos coincidir los planos abatidos con el plano del dibujo, sólo nos queda la LT y las proyecciones del punto, pero no el punto del espacio.

 
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Conceptos de cota y alejamiento

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La cota es la distancia del punto del espacio al plano horizontal, y se representa en el sistema diédrico, como la distancia de la proyección vertical a’ a la línea de tierra. El alejamiento es la distancia al plano vertical y quedaría representado por la distancia de la proyección vertical a la línea de tierra.

 
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El primer cuadrante es el espacio que se encuentra por encima del plano horizontal y por delante del plano vertical, por lo que un punto del 1er cuadrante tiene cota y alejamiento positivos y se representa con la proyección horizontal por debajo de la línea de tierra y la proyección vertical por encima.

Alfabeto del punto

El alfabeto del punto es la representación del punto en las distintas posiciones que puede ocupar en el espacio respecto a los planos de proyección y a los planos bisectores.

Los puntos contenidos en los planos bisectores equidistan de los planos de proyección, por lo que tendrán la misma cota que alejamiento.

Para representar las diecisiete posiciones del punto en el sistema diédrico, podemos ayudarnos del esquema de la figura, donde se puede observar claramente los valores de las cotas y alejamientos del punto. Por ejemplo, el punto A(a-a’) tiene alejamiento positivo (a por debajo de LT) por estar por delante del plano vertical y cota nula (a’ en LT) por encontrarse en el horizontal.

 
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Siguiendo este procedimiento podemos representar las demás posiciones.

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2.2. La recta.

Dos puntos del espacio determinan una recta. Por lo tanto, para representarla en el sistema diédrico bastará con conocer las proyecciones de dos puntos cualesquiera de ella A y B. Uniendo las proyecciones homónimas, es decir a con b y a’ con b’, se obtienen las proyecciones horizontal r y vertical r’ de la recta.

Trazas de la recta

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Una recta también puede definirse por sus trazas. Las trazas de una recta son los puntos de intersección de la recta con los planos de proyección.

La intersección de una recta con el plano horizontal es un punto H del plano horizontal, y por tanto con cota nula, lo que implica que su proyección vertical h’ se encuentre en la línea de tierra.

La traza vertical V, por tener alejamiento nulo, tendrá su proyección horizontal v, en la línea de tierra.

Partes vistas y ocultas

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En este sistema el espectador se sitúa en el primer cuadrante, por ello, sólo serán vistos los elementos situados en él, representándose con línea continua.

Para determinar las partes vistas y ocultas de una recta debemos considerar la posición de las trazas. Si, por ejemplo, una recta tiene su traza vertical V(v-v’) en el plano vertical superior y su traza horizontal H(h-h’) en el plano horizontal anterior, el segmento comprendido entre las trazas pertenece al primer cuadrante, la semirrecta a partir de la traza vertical pertenece al segundo y la semirrecta a partir de la traza horizontal al cuarto.

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Trazas con los bisectores

r’

r

r simétrica

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Las trazas de una recta con los bisectores son los puntos que tienen igual cota que alejamiento y pertenecen a la recta. El segundo bisector pasa por los cuadrantes que tienen cota y alejamiento de distinto signo, por tanto, la traza B2 con el segundo bisector es el punto de intersección de las proyecciones de la recta. Y al contrario, la traza con el primer bisector B1 es el punto cuyas proyecciones equidistan de la LT. Este se halla trazando la recta simétrica de una de las proyecciones hasta cortar la otra proyección.

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Alfabeto de la recta

A) Recta paralela a la línea de tierra: es también paralela a los dos planos de proyección, por tanto, el alejamiento y la cota de todos sus puntos son constantes.

B) Recta horizontal: es paralela al plano horizontal, por lo que su proyección vertical se representa paralela a la LT. Sólo tiene traza con el plano vertical, al que es oblicua.

C) Recta frontal: es paralela al plano vertical y oblicua al horizontal, su proyección horizontal se representa paralela a LT por tener alejamiento constante. Sólo tiene traza don el plano horizontal.

D) Recta vertical: es perpendicular al plano vertical y sólo tiene traza con él. Su proyección vertical es perpendicular a LT y la horizontal es un punto que coincide con su traza.

E) Recta de punta: es perpendicular al plano vertical, por lo que todos los puntos de la recta se proyectan sobre su traza vertical.

F) Recta oblicua o genérica: es oblicua a los dos planos de proyección. Las trazas que la definen pueden ser dos puntos cualesquiera de los planos de proyección. Sus dos proyecciones son oblicuas a la LT.

G) Recta que pasa por la LT.: Es también oblicua a los dos planos de proyección, pero sus trazas coinciden en un mismo punto de la LT, por lo que necesitamos un punto -M(m-m’)- que le pertenezca para definirla.

H) Recta perpendicular a LT.: Sus proyecciones son perpendiculares a la LT. También se necesita un punto para definirla.

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I) Recta de perfil: Por ser paralela a un plano de perfil sus proyecciones son perpendiculares a la LT.

2.3. El plano.

Alfabeto del plano

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El plano se representa por sus trazas. Las trazas de un plano son las rectas de intersección del plano con los planos de proyección vertical y horizontal. Las distintas posiciones del plano con respecto a los planos de proyección conforman el alfabeto del plano.

A) Plano horizontal: es paralelo al plano horizontal de proyección, por lo que sólo tiene una traza con el plano vertical que es paralela a la línea de tierra. Los elementos contenidos en él se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal.

B) Plano Frontal: el paralelo al plano vertical. Sólo tiene traza horizontal paralela a la LT.

C) Plano de canto o proyectante vertical: es perpendicular al plano vertical y oblicuo al horizontal.

D) Plano vertical o proyectante horizontal: es perpendicular al plano horizontal y oblicuo al vertical.

E) Plano genérico u oblicuo: es oblicuo a los dos planos de proyección.

F) Plano paralelo a la LT. : es oblicua a los planos de proyección y perpendicular a los planos de perfil.

G) plano que pasa por LT. : sus trazas se confunde en la LT., por lo que se necesita un punto del mismo para definirlo.

H) Plano de perfil: es perpendicular al vertical y al horizontal.

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Relaciones de pertenencia

Un punto pertenece a una recta, si sus proyecciones están contenidas en las proyecciones homónimas de la recta.

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Una recta pertenece a un plano, si sus trazas están contenidas en las trazas homónimas del plano. Un punto pertenece a un plano, si está contenido en una recta que a su vez pertenece al plano.

Rectas notables del plano

  • Rectas horizontales: son las rectas horizontales que pertenecen al plano. Su Traza -V(v-v’)- está sobre la traza -P’- del plano y su proyección horizontal es paralela a la traza P.
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  • Rectas Frontales: Su única traza -H(h-h’)- pertenece a -P- y la proyección -f’- es paralela a la traza vertical -P’- del plano.

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  • Recta de máxima pendiente: Es la recta que perteneciendo al plano forma mayor ángulo con el plano horizontal.
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  • Recta de máxima inclinación: Es la recta del plano que forma mayor ángulo con el plano vertical.

Ambas rectas son suficientes para definir un plano.

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Determinación de las trazas de un plano

Un plano puede quedar determinado por los siguientes elementos:

· Dos rectas que se cortan.

· Tres puntos no alineados.

· Una recta y un punto que no le pertenezca.

· Dos rectas paralelas.

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Los casos en que nos dan dos rectas que se cortan o dos rectas paralelas se resuelven hallando las trazas de ambas rectas y trazando por ellas las trazas homónimas del plano.

Cuando nos dan tres puntos no alineados, podemos transformar el caso en el de dos rectas que se cortan si trazamos las rectas AB y AC, que se cortarán precisamente en el punto A.

El caso de una recta y un punto exterior también se transforma en el primero si situamos en la recta un punto cualquiera, M, y lo unimos con el punto dado, los cuales definen una recta S que se corta con la recta dada en el punto M.

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3. INTERSECCIONES. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. DISTANCIAS.

3.1. Intersecciones.

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Intersección entre planos

La intersección entre dos planos es una recta común a ambos. Para determinarla seguiremos los siguientes pasos: trazamos dos planos auxiliares, en la Fig. (a) se han trazado dos planos horizontales. La intersección del plano (H) con (P) es la recta R, y con (Q) la recta S. La intersección de ambas rectas es el punto A común a los tres planos y, por lo tanto, pertenece a la recta intersección de (P) y (Q).

Procediendo del mismo modo con el segundo plano auxiliar, obtenemos el punto B, con el que queda definida la recta intersección de ambos plano.

Si consideramos como planos auxiliares los planos de proyección, las intersecciones de éstos con (P) y (Q), son precisamente sus trazas P-P’ y Q-Q’, Fig. (b). Recordad que las trazas de un plano son las rectas de intersección de éste con los planos de proyección.

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Planos cuyas trazas se cortan fuera de los límites del dibujo.

Si sólo se cortan las trazas horizontales de los planos, trazamos un plano horizontal que corte las trazas verticales de los planos dados. Las intersecciones de este plano con los planos (P) y (Q) son dos rectas horizontales que se cortan en el punto A(a-a’) común a los tres planos. Uniendo este punto con el punto de intersección de las trazas horizontales de los planos obtenemos la recta I.

Si solamente se cortan las trazas verticales procedemos de igual forma utilizando un plano frontal, y utilizamos ambos planos auxiliares si no se cortan ninguna de las trazas.

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Intersección entre recta y plano

La intersección entre una recta y un plano es el punto común a ambos, para determinarlo procedemos de la siguiente manera: contenemos la recta en un plano proyectante auxiliar (Q). La intersección entre (P) y (Q) es una recta S que corta a R en el punto I de intersección.

3.2. Paralelismo y perpendicularidad.

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Paralelismo

Dos rectas son paralelas si tienen sus proyecciones homónimas paralelas.

Excepción: Las rectas de perfil pueden no ser paralelas en el espacio aún siéndolo sus proyecciones diédricas, en este caso es necesario que sus proyecciones de perfil también lo sean

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Una recta es paralela a un plano si lo es a una recta cualquiera contenida en el plano.

Para trazar por un punto A una recta R paralela a un plano P dado, dibujamos una recta cualquiera S contenida en el plano y por el punto A dado, trazamos la paralela R a la recta S.

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Dos planos son paralelos si tienen sus proyecciones homónimas paralelas.

Excepción: los planos paralelos a la LT pueden no ser paralelos en el espacio aún siéndolo sus proyecciones diédricas, en este caso es necesario que sus proyecciones de perfil también lo sean.

Perpendicularidad

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Si una recta es perpendicular a un plano, lo es a todas las rectas del plano, pasen o no por el punto de intersección. En la Figura (a), la recta R es perpendicular a S, T, V, …

Teorema de las tres perpendiculares.- Si dos rectas R y S son perpendiculares en el espacio, y una de ellas, la R por ejemplo, es paralela a un plano de proyección, Fig. (b), o está contenida en él Fig. (c), ambas rectas se proyectan perpendiculares sobre dicho plano.

Perpendicularidad entre recta y plano

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Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas sus rectas, por tanto, si la recta R es perpendicular al plano (P), lo es a su traza P. Por el teorema de las tres perpendiculares, siendo R y P perpendiculares y estando contenida la traza P del plano en el plano de proyección, las proyecciones de R y P deben mostrarse ortogonales. De lo dicho deducimos que si una recta es perpendicular a un plano, sus proyecciones son perpendiculares a las trazas de dicho plano.

Para trazar por un punto M, una recta R perpendicular a un plano P dado, basta con trazar por las proyecciones del punto las proyecciones homónimas de la recta, perpendiculares a las trazas del plano.

Perpendicularidad entre planos

Si una recta R es perpendicular a un plano (P), cualquier plano (Q) que contenga a la recta R es perpendicular a (P).

Perpendicularidad entre rectas

Para trazar una recta R perpendicular a otra S dada, trazamos el plano (P) perpendicular a S, cualquier recta R contenida en el plano P es perpendicular a la recta S.

3.3. Distancias.

Los problemas de distancia son una aplicación de la perpendicularidad, consisten en determinar la mínima distancia entre dos elementos geométricos.

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Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es el segmento rectilíneo comprendido entre ambos. En el esquema de la Figura, podemos apreciar que la distancia en verdadera magnitud entre las puntos A y B es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la proyección horizontal del segmento AB y la diferencia de sus cotas. Construyendo dicho triángulo sobre el plano horizontal podemos obtenemos la verdadera magnitud del segmento AB. Lo mismo ocurre con el triángulo cuyos catetos son la proyección vertical del segmento y la diferencia de sus alejamientos.

Distancia de un punto a un plano

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La distancia de un punto a un plano es el segmento comprendido entre el punto y el pie de la perpendicular trazada por el punto al plano.

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Para determinar la distancia en el Sistema Diédrico de un punto A a un plano (P) dados, trazamos por A la recta R perpendicular al plano (P). Hallamos el punto B de intersección de la recta R con el plano (P) auxiliándonos de un plano proyectante. Una vez obtenido el punto B construimos el triángulo rectángulo, de catetos la proyección vertical del segmento AB y la diferencia de alejamientos, para obtener la verdadera magnitud de la distancia, D.

Distancia de un punto a una recta

Si trazamos por el punto A un plano (P) perpendicular a la recta R y hallamos el punto B de intersección de la recta con el plano, obtenemos el segmento AB, mínima distancia entre R y A.

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Distancia entre dos rectas paralelas

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Trazamos el plano (P) perpendicular común a las rectas R y S. Las intersecciones del plano con las rectas son los puntos A y B que determinan el segmento mínima distancia entre las rectas.

Distancia entre dos planos paralelos

Trazamos una recta R perpendicular común a los planos dados y hallamos los puntos de intersección que determinan la distancia entre los planos.

4. ABATIMIENTOS, GIROS Y CAMBIOS DE PLANOS.

Cuando un segmento o una figura plana son paralelos a los planos de proyección, se proyectan sobre ellos sin deformación. En la mayoría de los casos nos encontraremos con figuras que son oblicuas a ambos planos y, por lo tanto, se proyectan deformadas sobre los mismos. En estos casos tendremos que recurrir a los abatimientos, giros o cambios de plano, para obtener posiciones más favorables de las figuras respecto a los planos de proyección.

4.1. Abatimientos.

Los abatimientos se usan generalmente, en el Sistema Diédrico, para obtener las verdaderas formas y magnitudes de figuras planas o para su construcción sobre planos oblicuos. Normalmente se abaten los planos que contienen las figuras sobre uno de los planos de proyección.

Abatir un plano sobre otro plano, consiste en girar uno de ellos alrededor de su traza, denominada charnela, hasta hacerlo coincidir con el otro.

Abatimiento de un punto

Cuando se abate un punto, o cualquier otro elemento, lo que se abate en realidad es el plano que lo contiene.

Para abatir el punto A contenido en el plano (P) sobre el plano (H), trazamos un arco de circunferencia de radio AC, igual a la distancia del punto A a la charnela P. El radio de giro r, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son la distancia del punto del espacio al plano de proyección y la distancia de la proyección del punto a la charnela. Este triángulo podemos dibujarlo sobre el plano de proyección para obtener el abatimiento del punto en el Sistema Diédrico.

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Partiendo de las proyecciones del punto y de la traza horizontal del plano que lo contiene utilizada como charnela, hemos abatido el punto A sobre el plano horizontal de proyección.

Por la proyección horizontal del punto trazamos la perpendicular a la charnela y determinamos el centro c. Sobre la paralela a la charnela trazada por a, trasladamos la cota del punto para obtener el radio r. Con centro en c y radio r, trazamos el arco de circunferencia que corta a la prolongación de ac en (A).

Abatimiento de una recta

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Para abatir una recta basta con abatir dos de sus puntos. En la Figura hemos abatido las trazas de la recta R. La traza vertical la abatimos como en el apartado anterior y la traza horizontal no se mueve por estar contenida en la charnela.

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Las rectas horizontales de un plano son paralelas a su traza horizontal, por lo que abatidas sobre el plano horizontal de proyección, se mantienen paralelas a la charnela. Para abatir estas rectas, basta abatir su traza vertical y trazar por ella la recta abatida paralela a la charnela.

Abatimiento de un plano

Abatir un plano consiste en abatir la traza que no hace la función de charnela, puesto que ésta rota sobre sí misma. Si queremos abatir la traza vertical de un plano sobre el horizontal de proyección, sólo tenemos que abatir dos puntos de ella. Si uno de ellos es el origen del plano que por pertenecer también a la charnela no se mueve, basta con abatir un punto cualquiera de la traza vertical (V) y unirlo con el origen del plano.

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Representación de una figura plana

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Para representar una figura plana contenida en un plano abatimos el plano y la construimos con las medidas reales sobre el plano abatido. Auxiliándonos de rectas horizontales o frontales desabatimos cada uno de sus vértices para obtener sus proyecciones diédricas.

Los planos proyectantes tienen sus trazas perpendiculares, por lo tanto, tras el abatimiento se mantienen perpendiculares. Si abatimos un plano proyectante vertical sobre el horizontal tomando como charnela su traza horizontal, la traza vertical abatida coincidirá con la línea de tierra.

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4.2. Giros.

Si un punto gira alrededor de una recta describe una circunferencia de radio la distancia del punto a la recta y contenida en un plano perpendicular al eje de giro.

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Si tomamos como eje de giro una recta vertical, la circunferencia de giro estará contenida en un plano horizontal y se proyectará sobre el plano horizontal de proyección en verdadera magnitud y en el plano vertical como un segmento, igual a su diámetro, coincidente con la traza del plano horizontal que la contiene.

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En el sistema diédrico se ha girado el punto A trazando un arco de circunferencia con centro en la proyección horizontal del eje, obteniendo así la nueva proyección horizontal del punto a1, por dicha proyección se traza la perpendicular a la línea de tierra para obtener sobre la traza del plano la nueva proyección vertical.

Giro de una recta

Para girar una recta basta girar dos de sus puntos el mismo ángulo. Si la recta corta el eje, el punto de intersección de ambas recta no se mueve tras el giro, por lo que es suficiente con girar un punto y unirlo con el punto de intersección.

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Si la recta y el eje se cruzan, trazamos la perpendicular común, que será una horizontal si el eje es vertical. La perpendicular común y la recta R se proyectan durante el giro siempre perpendiculares, al permanecer la primera paralela al plano horizontal. De esta manera podemos girar la proyección horizontal de R que se mantendrá tangente a la circunferencia de giro. Girada la proyección horizontal de R, giramos un segundo punto que tendrá su nueva proyección horizontal sobre la proyección homónima de la recta.

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Giro de un plano

Podemos girar un plano girando su traza horizontal y una recta horizontal. Trazamos un eje vertical que corte la recta horizontal y giramos la traza P con la perpendicular trazada desde la proyección horizontal del eje. La recta horizontal al girar alrededor de un eje vertical se mantiene siempre paralela al plano horizontal de proyección, por lo tanto, su nueva proyección horizontal será paralela a la nueva traza horizontal del plano pasando por e, y su traza v’1 tendrá la misma cota. Uniendo el origen del plano con v’1, obtenemos la nueva traza vertical del plano.

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4.3. Cambios de planos.

En los abatimientos y en los giros los elementos del espacio cambian de posición respecto a los planos de proyección, sin embargo, en los cambios de planos son éstos los que cambian mientras que los elementos del espacio permanecen inmóviles.

El punto en los cambios de plano

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Podemos sustituir uno de los planos de proyección por otro plano cualquiera siempre que sea perpendicular al plano que permanece. Si cambiamos el plano vertical, el nuevo plano será un proyectante vertical sobre el que obtendremos una nueva proyección vertical a’1 del punto A del espacio. La proyección horizontal es la misma en los dos sistemas al no cambiar el plano horizontal, y por la misma razón, la cota del punto también es la misma en los dos sistemas. Esto implica que las distancias de las proyecciones verticales a sus respectivas líneas de tierra sean iguales.

La recta en los cambios de plano

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Para hallar las nuevas proyecciones de una recta tras un cambio de plano hallaremos las nuevas proyecciones de dos de sus puntos, normalmente sus trazas. Si realizamos un cambio de plano horizontal, las proyecciones verticales de sus trazas h’ y v’ permanecen, obteniéndose la nuevas proyecciones horizontales de dichos puntos h1 y v1 trasladando sus cotas a partir de la nueva línea de tierra. El punto V tiene cota cero en los dos sistemas, por lo tanto, sigue siendo la traza vertical en el nuevo sistema.

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Podemos transformar una recta oblicua en vertical realizando dos cambios de plano sucesivos. Primero la transformamos en frontal mediante un cambio de plano vertical y posteriormente realizamos un cambio de plano horizontal para transformarla en vertical. Para transformarla en frontal tenemos que trazar la nueva línea de tierra paralela a la proyección horizontal y para transformar ésta en vertical la línea de tierra debe ser perpendicular a su proyección vertical.

El plano en los cambios de plano

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Si realizamos un cambio de plano vertical, el vértice A, definido por la intersección de los dos planos verticales con el plano (P), pertenece a los dos sistemas. Este punto se proyecta con la misma cota en cada uno de los sistemas y pertenece a las trazas verticales del plano en ambos sistemas.

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5. ÁNGULOS.

Para determinar el ángulo que forman dos rectas que se cruzan trazamos por un punto de una de ellas una paralela T a la otra. Fig. (a).

El ángulo que forma una recta con un plano es el que forma la recta con su proyección sobre dicho plano. Para determinar la proyección de una recta sobre un plano cualquiera, distinto a los de proyección, trazamos por un punto de la recta una perpendicular al plano y hallamos su intersección con él. Uniendo este punto con el punto I de intersección de la recta dada con el plano también dado obtenemos la proyección de R sobre (P). Fig. (b)

El ángulo formado por dos planos P y Q, es el lineal correspondiente, determinado por la sección producida sobre ellos por un plano perpendicular a la intersección de P y Q. Fig. (c).

Ángulo de dos rectas

Para hallar la verdadera magnitud del ángulo formado por dos rectas que se cortan podemos abatir el plano que las contiene sobre uno de los planos de proyección. En la figura hemos abatido el ángulo sobre un plano horizontal utilizando como charnela la recta horizontal que corta a los lados del ángulo en los puntos M y N. En este caso, el radio del abatimiento del vértice A es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la distancia de la proyección del punto a la charnela y la diferencia de cotas entre el punto y la recta horizontal

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Ángulo de una recta y un plano

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Ya hemos visto en la figura (b) que el ángulo que forman una recta y un plano es el formado por la recta y su proyección ortogonal sobre el plano. También hemos estudiado los procedimientos previos para hallar la proyección de la recta sobre el plano.

En el sistema diédrico hallamos el punto de intersección I de la recta R con el plano (P). Por un punto cualquiera M de la recta R, trazamos una recta perpendicular al plano P y hallamos su punto de intersección A. Las recta R y la que pasa por los puntos I y A son los lados del ángulo de vértice I. Abatiendo el punto I alrededor de una recta horizontal que corte a los lados del ángulo obtenemos su verdadera amplitud.

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Ángulo de una recta con los planos de proyección

El ángulo que forma una recta con el plano horizontal de proyección es el que forma la recta con si proyección horizontal. Para obtener la verdadera magnitud basta abatir plano proyectante horizontal que contiene tanto a la recta como a su proyección horizontal.

La recta R y su proyección vertical r’, están contenidas en un plano proyectante vertical, si abatimos dicho plano alrededor de su traza vertical obtenemos la verdadera magnitud del ángulo que forma la recta con el plano vertical.

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Ángulo de un plano con los planos de proyección

El ángulo que forma un plano con el plano horizontal de proyección es el que forma su recta de máxima pendiente con el plano horizontal. Abatiendo la recta de máxima pendiente sobre el plano horizontal se obtiene la verdadera magnitud del ángulo.

El ángulo que forma un plano con el vertical de proyección es el que forma su recta de máxima inclinación con el plano vertical.

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6. POLIEDROS REGULARES.

Los poliedros son los cuerpos geométricos limitados por polígonos. Poliedros regulares son aquellos que tienen caras, aristas y ángulos iguales.

6.1. Tetraedro.

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El tetraedro tiene cuatro caras que son cuatro triángulos equiláteros y seis aristas.

Representación del tetraedro

Vamos a representar el tetraedro apoyado por una de sus caras sobre cualquier tipo de plano. Si la cara apoyada está contenida o es paralela a uno de los planos de proyección se proyecta en verdadera magnitud. De lo contrario, será necesario dibujarla sobre el plano abatido y después desabatirlo.

En la fig. se ha representado el tetraedro apoyado por una cara en el plano horizontal de proyección. El tetraedro queda determinado por la magnitud de la arista, la altura se obtiene abatiendo el triángulo rectángulo formado por la arista, su proyección ortogonal sobre la base y la propia altura.

La cara apoyada está en verdadera magnitud, y se representa por tanto, como un triángulo equilátero de lado igual a la arista del tetraedro. El vértice V se proyecta en el centro de la cara apoyada y está contenido en una recta vertical. La proyección vertical de V se obtiene al trasladar la altura obtenida por abatimiento, sobre la recta vertical.

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Para representar el tetraedro apoyado en un plano proyectante, se abate el plano y se dibuja la cara en verdadera magnitud. Desabatiendo el triángulo obtenemos las proyecciones diédricas de la cara apoyada. La altura es una perpendicular al plano desde el centro del triángulo, que resulta una frontal si el plano es proyectante vertical. Como las proyecciones verticales de las rectas frontales están en verdadera magnitud, trasladamos la altura del tetraedro sobre ella para obtener el vértice V.

Secciones planas

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Como norma general, para hallar la sección que produce un plano sobre un poliedro se halla la intersección del plano con cada una de las aristas, obteniéndose así, los vértices del polígono sección.

La sección que produce un plano secante sobre un tetraedro es un triángulo. Si el plano es horizontal o frontal una de las proyecciones de la sección será un segmento contenido en la traza del plano y la otra estará en verdadera magnitud.

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En la figura se ha obtenido la sección con un plano horizontal. La traza del plano corta las aristas del tetraedro en los vértices de la sección. La proyección horizontal se obtiene hallando las proyecciones horizontales de estos vértices sobre las aristas respectivas.

Si el plano es proyectante vertical (o de canto), una de las proyecciones de la sección sigue estando sobre la traza del plano, pero en este caso la otra proyección no está en verdadera magnitud, siendo necesario abatirla para obtener su verdadera forma

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Cuando el plano es oblicuo a ambos planos de proyección, hallamos un primer vértice de la sección resolviendo el problema de la intersección entre una recta y un plano, siendo la recta una cualquiera de las aristas. Los restantes vértices podemos hallarlos sabiendo que la base y la sección son figuras homólogas en una homología de eje la charnela, o bien, aplicando el mismo procedimiento por el que hemos hallado el primer vértice, para las restantes arista.

Para obtener la verdadera magnitud de la sección, la abatimos sobre uno de las planos de proyección. El abatimiento lo podemos resolver sabiendo que la proyección de la sección y su abatimiento son figuras homologas en la afinidad de eje la charnela.

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Intersección de una recta con un tetraedro

El procedimiento general para hallar la intersección de una recta con un sólido consiste en contener la recta en un plano, hallar la sección que produce dicho plano en el sólido y, posteriormente, hallar la intersección de dicha sección con la recta. Los puntos de intersección del polígono sección con la recta son los puntos de entrada y salida de ésta en el sólido.

6.2. Hexaedro o cubo.

El hexaedro tiene seis caras, que son cuadrados, doce aristas y ocho vértices. Tiene cuatro diagonales principales que se cortan todas en su punto medio, que es el centro del cubo.

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Representación del hexaedro

Si situamos una de las caras del hexaedro contenida en el plano horizontal, la cara opuesta se proyecta coincidente con ella y las cuatro restantes son proyectantes respecto al plano horizontal.

La proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista del cubo. Las caras horizontales (la base y la tapa del cubo) se proyectan sobre el plano vertical en dos segmentos paralelos a la L.T. a una distancia igual a la arista.

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Cuando el hexaedro se apoya por una de sus caras sobre un plano oblicuo, abatimos el plano para construir la cara apoyada en verdadera magnitud. Tras desabatir la cara, levantamos perpendiculares al plano por los vértices de la misma. Para obtener las medidas en proyección de las aristas perpendiculares a la base, realizamos el giro de una cualquiera de ellas para situarla paralela a uno de los planos de proyección. Una vez obtenida y sabiendo que el paralelismo se mantiene en diédrico, trazamos la tapa paralela a la base.

Secciones planas

Obtener las secciones planas producidas sobre cualquier poliedro por planos proyectantes no tiene gran dificultad y la manera de proceder no difiere entre ellos, por lo que podemos remitirnos a lo explicado para el tetraedro.

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Sin embargo, para la sección con un plano oblicuo, hemos preferido contener las aristas verticales en planos frontales, los cuales cortan al plano oblicuo según rectas frontales. Las intersecciones de estas rectas con las aristas verticales son los vértices de la sección. En la figura, una de las rectas frontales corta a la arista en su prolongación, fuera del sólido, en este caso se une el punto de intersección con los vértices contiguos de la sección para obtener los vértices correspondientes en la cara opuesta a la base.

La verdadera magnitud de la sección se obtiene por afinidad.

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Intersecciones de una recta con un hexaedro

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El procedimiento general consiste, en hallar los puntos de intersección de la recta, con la sección que produce en el poliedro un plano cualquiera que contenga a la recta dada. En este caso hemos optado por contener la recta en un plano proyectante horizontal.

6.3. Octaedro.

El octaedro es un poliedro regular formado por ocho caras, que son triángulos equiláteros, doce aristas y seis vértices. Tiene tres diagonales principales que se cortan en su punto medio, que es el centro del octaedro.

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Representación del octaedro

Cuando un octaedro se representa apoyado por un vértice y con una de sus diagonales perpendicular al plano horizontal de proyección, el contorno aparente de la proyección horizontal es un cuadrado de lado igual a la arista en verdadera magnitud. Los lados de este cuadrado son cuatro aristas horizontales que se proyectan en verdadera magnitud sobre el plano horizontal. Las ocho aristas restantes son oblicuas y se proyectan sobre las diagonales del cuadrado.

Las cotas de los vértices, extremos de la diagonal vertical, son cero y la magnitud de la diagonal respectivamente, y los cuatro vértices restantes se encuentran en el plano medio de octaedro, que es horizontal, a una distancia igual a d/2.

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Secciones planas

La sección plana que produce un plano proyectante sobre el octaedro se obtiene directamente sobre la traza oblicua al cortar ésta las aristas del poliedro y después se refieren los puntos obtenidos sobre las respectivas aristas en la otra proyección.

La verdadera magnitud de la sección se obtiene abatiendo el plano.

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Intersección con recta

La intersección de una recta R con un octaedro se obtiene conteniendo la recta en un plano proyectante (P) y hallando la intersección de R con la sección producida en el sólido por el plano (P).

CONCLUSIONES.

Según el enfoque que hemos seguido, el tema sirve de base para iniciarse en un desarrollo más profundo del sistema diédrico ortogonal y poder así analizar, interpretar y resolver construcciones geométricas en el espacio y en el sistema diédrico.

BIBLIOGRAFIA UTILIZADA EN EL DESARROLLO DEL TEMA.

Corbella Barrios TECNICAS DE REPRESENTACIÓN GEOMETRICA. Mario González TRAZADO geométrico (volumen I) Julián Palencia

Equipo técnico EDEBE DIBUJO TECNICO. BACHILLERATO. Editorial edebe – 2000

Equipo técnico SM DIBUJO TECNICO. 2º BACHILLERATO. Editorial sm – 2002