INDICE.
1. INTRODUCCIÓN.
2. ESTRUCTURAS.
3. ESTRUCTURAS ARTICULADAS.
3.1. ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS.
3.2. HIPÓTESIS FUNDAMENTALES. CONSECUENCIAS.
3.3. ESTRUCTURAS SIMPLES, COMPUESTAS Y COMPLEJAS.
3.3.1. VIGAS GERBER.
3.3.2. ARMADURAS RÍGIDAS.
3.4. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS.
3.4.1. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS EXTERIORMENTE.
3.4.2. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS INTERIORMENTE.
4. CÁLCULO DE TENSIONES EN LAS ESTRUCTURAS.
3.1. MÉTODO DE LOS NUDOS.
3.2. MÉTODO DE LAS SECCIONES O DE RITTER.
3.3. MÉTODO DE CREMONA.
5. BIBLIOGRAFÍA.
1. INTRODUCCIÓN.
El equilibrio entre fuerzas y momentos se manifiesta con todo su esplendor esas grandes estructuras como son los puentes, grúas, edificios, presas, que se extienden por nuestra geografía y ponen de relieve e esfuerzo de la técnica para aplicar los principios de la estática al progreso de la sociedad. Madera, ladrillo, acero, hormigón….., todo un conjunto de materiales que, sometidos a cuidadosas normas de diseño, permiten hoy en día esas obras gigantescas que causan admiración por sus dimensiones y armonía estructural.
En esta Unidad abordaremos la aplicación de las ecuaciones de equilibrio al cálculo de las reacciones internas de los elementos que componen estas estructuras, lo que resulta indispensable para su diseño posterior.
2. ESTRUCTURAS.
En Mecánica y en Ingeniería se designa con el nombre de estructura a cualquier sistema de cuerpos unidos entre sí, capaz de ejercer, soportar o transmitir cargas o esfuerzos.
Se designan con el nombre de cargas las fuerzas aplicadas directamente sobre las estructuras y que son la causa de sus posibles movimientos y deformaciones.
Una estructura está constituida por partes interconectadas o miembros (barras o elementos). Su diseño y posterior comprobación se llevan a cabo determinando las fuerzas y los pares que actúan sobre ella en su totalidad, así como en sus miembros individuales.
Consideremos, por ejemplo, la grúa esquematizada en la figura a), que carga un peso W. Dicha grúa está formada por tres vigas, AB, CD y EF, unidas entre sí sin rozamiento. Está apoyada en el punto A y sostenida por el cable BG. En la figura b) se representa el diagrama de fuerzas del sólido libre, en el que figuran solamente las fuerzas exteriores que actúan sobre la grúa. Sin embargo, si descomponemos la grúa en las tres vigas que la constituyen y consideramos cada una de ellas por separado, en los correspondientes diagramas de sólido libre (figura c) aparecen fuerzas que desde el punto de vista global de la grúa son fuerzas interiores.
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Las estructuras de ingeniería se pueden clasificar en tres categorías:
• Estructuras articuladas o armaduras (también llamadas celosías o cerchas). Por lo general, son estructuras fijas y estables, diseñadas para soportar cargas. Están constituidas por barras unidas en sus extremos por medio de articulaciones o nudos. Por lo tanto, las barras son elementos sometidos a dos fuerzas; es decir, elementos sobre los que actúan dos fuerzas iguales y opuestas dirigidas a lo largo de la barra. Las armaduras suelen constar de subelementos triangulares y están apoyadas de manera que se impida todo tipo de movimiento. Su estructura ligera puede soportar cargas elevadas con un peso estructural relativamente pequeño.
• Entramados o bastidores. Al igual que las armaduras, están diseñados para soportar cargas y suelen ser estructuras fijas y estables. Sin embargo, a diferencia de las anteriores, contienen por lo menos un elemento sometido a más de dos fuerzas; es decir, los entramados poseen una o más barras sobre las que actúan tres o más fuerzas que, por lo general, no son longitudinales. Los entramados también se construyen y apoyan de manera que se impida su movimiento.
• Máquinas. Son estructuras que contienen partes móviles, y que están diseñadas para transmitir o modificar fuerzas. Al igual que los entramados, las máquinas también tienen por lo menos un elemento sometido a más de dos fuerzas. Pueden considerarse como estructuras tipo entramado que no están totalmente inmovilizadas.
Ejemplos:
Las estructuras de miembros de acero que soportan algunos puentes son armaduras, mientras que la que soporta la estatua de la Libertad a la entrada del puerto de Nueva York es un bastidor. Por otra parte, un par de tenazas es una máquina.
3. ESTRUCTURAS ARTICULADAS.
Una gran parte de las construcciones actuales, tales como puentes, torres, cubiertas, grúas, etc., son estructuras articuladas.
De acuerdo con su geometría, las estructuras articuladas pueden ser planas o espaciales, según que el sistema de barras sea coplanar o tridimensional. Así, los laterales de un puente o la cercha de un tejado son ejemplos de estructura articulada plana, mientras que la torre de un tendido eléctrico constituye un ejemplo de estructura articulada espacial. Pero tanto unas como otras están constituidas por barras (o vigas) cuya sección transversal tiene forma de H, U, I o L, y que se unen entre sí por soldadura, roblonado o atornillado a elementos estructurales intermedios llamados cartelas. Como el análisis riguroso de las fuerzas y de los momentos existentes en estas conexiones resulta excesivamente complejo, se hace necesario recurrir a simplificaciones que no supongan una pérdida de precisión muy elevada. En la práctica, si las direcciones de las barras concurren en las conexiones, el sistema se idealiza sustituyendo dichas conexiones por pasadores exentos de rozamiento.
Por otra parte, para que la capacidad resistente de una estructura articulada se haga máxima las cargas extremas se deben aplicar en las uniones entre barras (nudos): de esta forma se evitan problemas de flexión o pandeo. Además, el peso de las barras se suele considerar despreciable frente a las cargas; y en caso de no ser así, se distribuye en partes iguales entre los dos extremos de la barra. De esta manera, cada barra se puede considerar como un sólido sometido a dos cargas equivalentes en sus extremos, cuyo diagrama de fuerzas de sólido libre se representa en la figura. Las fuerzas en los extremos, T, que son las sumas de las fuerzas ejercidas sobre la barra en sus nudos, deben ser iguales en magnitud, opuestas en dirección y dirigidas a lo largo de la línea entre los nudos. Cuando estas fuerzas se alejan una de otra, la barra está trabajando a tracción (a veces se dice “a tensión”), mientras que cuando las fuerzas se acercan entre si, la barra está a compresión.
Los proyectistas de estructuras suelen designar con el nombre de barra al elemento sometido a compresión, mientras que al sometido a tracción lo denominan tirante.
3.1. ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS.
Las estructuras articuladas planas están contenidas en un solo plano, en el cual se encuentran también todas las cargas aplicadas. Frecuentemente se utilizan por parejas para sostener puentes. En la figura se aprecia que todos los miembros de la armadura ABCDEF están situados en un mismo plano vertical: la estructura del piso transmite las cargas a los nudos ABCD y las hace actuar en el mismo plano vertical de la armadura.
Otro ejemplo interesante es el de la armadura ABCDE (figura a) que soporta el techo de un edificio. La carga del techo se transmite a la estructura y recae en las uniones por medio de una serie de vigas de soporte (como la DD’). Como la carga sobrepuesta actúa en el mismo plano que la estructura (figura b), el viga de soporte análisis de las fuerzas desarrolladas se realiza en dos dimensiones. En el caso de un puente (figura a), la carga sobre el suelo se transmite primero a los durmientes, luego a los travesaños, y por último a las uniones B, C y D de las dos estructuras de soporte lateral. Al igual que en la estructura del techo, la carga de la estructura del puente es también coplanar (figura b).
Si las estructuras de puente o de techo se extienden sobre grandes distancias, se suele utilizar una cuña o rodamiento para soportar un extremo. Esto permite la libre dilatación o contracción de las barras por la acción de la temperatura o como consecuencia de la aplicación de la carga.
3.2. HIPÓTESIS FUNDAMENTALES. CONSECUENCIAS.
En el estudio de las armaduras se formulan cuatro hipótesis fundamentales, que ya han sido enunciadas con anterioridad y que resumimos ahora brevemente.
• Las barras de las armaduras están unidas solamente por sus extremos.
• Las barras de las armaduras están conectadas por pasadores ideales.
• Las armaduras sólo están cargadas en los nudos.
• Los pesos de las barras se pueden despreciar.
Como consecuencia de estas hipótesis, se deduce que las fuerzas sólo se ejercen en los nudos. Además, como los pasadores carecen de rozamiento, en los nudos no existen momentos aplicados. Por ello, en las barras sólo actúan dos fuerzas en dirección axial.
Ejemplos:
La figura a) representa la armadura más sencilla, que es la triangular. Sobre cada una de las barras actúan dos fuerzas; y, a su vez, las barras están unidas por pasadores sin rozamiento. Supongamos que sobre el nudo B se aplica una carga F vertical hacia abajo. En la figura b) se representan las fuerzas que actúan sobre cada barra y sobre los pasadores. Obsérvese que estas fuerzas son interiores con respecto a la estructura, de manera que si una barra actúa con una fuerza determinada sobre un pasador, éste reacciona sobre la barra con una fuerza igual y de sentido contrario.
En la práctica resulta importante distinguir qué miembros de una armadura están sometidos a compresión y cuáles a tracción. Los miembros largos y de pequeña sección son muy resistentes a la tracción, pero cuando se someten a cargas de compresión elevadas tienden a sufrir flexión o pandeo. Por este motivo, aquellas barras que vayan a experimentar compresiones deberán ser más gruesas que las demás, o bien se riostrarán con objeto de impedir el pandeo.
Las riostras son piezas que se colocan oblicuamente y aseguran la invariabilidad de forma de una estructura.
3.3. ESTRUCTURAS SIMPLES, COMPUESTAS Y COMPLEJAS.
La estructura articulada indeformable más sencilla es la constituida por tres barras articuladas en sus extremos formando un triángulo (figura a). A partir de esta estructura básica se pueden obtener otras mayores, añadiendo uno a uno nuevos elementos triangulares, lo que implica, en cada caso, un nudo y dos barras más (figura b). Las estructuras que se obtienen de esta manera se denominan estructuras simples. Si b y n son, respectivamente, los números de barras y de nudos de una estructura simple, en todas ellas se satisface la relación:
b=2n-3
Sustituyendo la estructura básica triangular por una base fija (por ejemplo una cimentación, figura c) se obtiene una variante de la estructura simple’ En estas estructuras (que serían deformables si no tuviesen incorporada la base fija), cada nuevo nudo situado fuera de la base exige la existencia de dos nuevas barras, por lo que en este caso la relación entre el numero de barras y el de nudos será:
b=2n’
siendo n’ el número de nudos situados fuera de la base.
Las estructuras compuestas se obtienen uniendo rígidamente dos estructuras simples por medio de los enlaces estrictamente necesarios. Esta unión se puede realizar utilizando tres barras articuladas de ejes no paralelos ni concurrentes (figura a), o bien una articulación común y una barra articulada (figura b). Se comprueba fácilmente que en ambos casos también se verifica:
b=2n-3
Asimismo, existen las llamadas estructuras complejas, satisfacen la relación b=2n-3 y que se forman cambiando una o varias barras de una estructura simple. En la ilustración se recogen dos ejemplos de este tipo de estructuras: la estructura hexagonal (figura a) y la viga de celosía (figura b).
3.3.1. VIGAS GERBER.
Las vigas Gerber son vigas rectas que tienen n apoyos y n-2 articulaciones convenientemente situadas para que la viga sea isostática. De los n apoyos, n-1 son móviles y uno es fijo; de esta manera, la viga puede estar en equilibrio cuando se encuentra sometida a cargas que tengan componentes paralelas a su eje. Las figuras (a), (b), (c) y (d) representan todos los tipos posibles de vigas Gerber con cuatro apoyos, mientras que la viga de la figura (e), debido a la inadecuada situación de las articulaciones, es una viga compuesta de una parte hiperestática y de otra deformable, según se aprecia en la figura (f).
3.3.2. ARMADURAS RÍGIDAS.
Las armaduras, para mantener su forma y resistir las grandes cargas que se les aplican, deben ser estructuras rígidas. La estructura rígida mas sencilla (con independencia de cómo esté apoyada) es el triángulo. Evidentemente la palabra rígida no significa que la armadura no se deforme nada al cargarla; en realidad, experimentará deformaciones muy pequeñas, pero mantendrá casi totalmente la forma original. Es frecuente asociar la rigidez con el hecho de que la armadura conserve su forma al sacarla de sus apoyos, o cuando uno de ellos pueda deslizar libremente. De acuerdo con este criterio, la armadura de la figura (a) será rígida, y no lo será la (b); en esta última, la falta de rigidez interna se compensa por medio de una reacción exterior más de apoyo.
3.4. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS E HIPERESTÁTICAS.
3.4.1. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS EXTERIORMENTE.
Una estructura isostática exteriomente es aquélla en la que las reacciones en los apoyos y enlaces externos son perfectamente calculables por aplicación de las ecuaciones de equilibrio. Para saber si una estructura es de este tipo, se la aísla (en conjunto o por partes) y se le aplican las ecuaciones de la Estática:
• La estructura será isostática exteriormente cuando resulte un número de ecuaciones igual al de incógnitas, lo que permite el cálculo de todas las reacciones
exteriores.
• Si el número de incógnitas (parámetros de las reacciones exteriores) es superior al de ecuaciones de equilibrio, los enlaces exteriores son superabundantes y algunos de los parámetros no pueden calcularse mediante las ecuaciones citadas. Se dice que la
estructura es hiperestática exteriormente. En este caso, es preciso admitir que dicha estructura experimenta pequeñas deformaciones, siendo necesario, para obtener las reacciones exteriores, recurrir no sólo a las ecuaciones de equilibrio sino también a las que proporciona la resistencia de materiales.
• Si el número de incógnitas es inferior al de ecuaciones de equilibrio, los enlaces exteriores son insuficientes y el sistema puede tener movimientos de conjunto cuando
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se le aplican cargas. Por lo tanto, el sistema es inestable y no constituye propiamente una armadura, sino un mecanismo, del que puede servir como ejemplo la palanca, la cual sólo está en equilibrio cuando las cargas F1, y F2 satisfacen la relación F1 ⋅ d1 = F2 ⋅ d2 .
3.4.2. ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS INTERIORMENTE.
La isostaticidad interna de una estructura viene dada por la relación entre el número de barras (ü) y el de nudos (n):
• Si b=2n-3, la estructura es isostática interiormente.
• Si b>2n-3, el sistema es hiperestático o abundante.
• Si b<2n-3, el sistema es hipoestático o deformable.
4. CÁLCULO DE TENSIONES EN LAS ESTRUCTURAS.
Todas las estructuras articuladas simples, compuestas y complejas son isostáticas interiormente,
y en ellas se puede calcular las tensiones en las barras, empleando distintos procedimientos gráficos o analíticos. En los siguientes apartados estudiaremos el método de los nudos, el de las secciones y el de Cremona.
Con carácter general, cualquiera que sea el método utilizado, deberá aislarse previamente la estructura y calcular las reacciones, para de este modo conocer todas las fuerzas exteriores actuantes. A continuación se comprobará si la estructura es isostática interiormente.
4.1. MÉTODO DE LOS NUDOS.
Este método consiste en desmontar la armadura, dibujando por separado los diagramas de sólido libre de cada una de las partes (barras y nudos o pasadores), y aplicar las condiciones de equilibrio a cada una de ellas. Cada una de las tensiones se simbolizará con una T afectada de subíndices que identifican a los nudos extremos de la barra. Así, por ejemplo, mediante el símbolo TAB se representa la tensión de la barra que une los nudos A y B.
El sentido de dicha fuerza vendrá dado por el signo correspondiente: si este signo es positivo significa que la fuerza tiene el sentido que se le asignó en el diagrama de sólido libre, mientras que si es negativo, el sentido de la fuerza será opuesto al asignado.
Las fuerzas que apuntan hacia fuera de la barra tienden a estirarla y se dice que son fuerzas de tracción. Por el contrario, las que apuntan hacia la barra tienden a comprimirla y son fuerzas de compresión. De antemano no suele saberse si una barra está sometida a compresión o a tracción. Aunque con un mínimo de experiencia en la resolución de este tipo de problemas es posible prever y dibujar correctamente la mayor parte de las fuerzas como tracciones o compresiones, no es imprescindible hacerlo.
De acuerdo con el principio de acción y reacción, la fuerza que un pasador ejerce sobre una barra es igual y opuesta a la que la barra ejerce sobre el pasador. Por lo tanto, se utilizará el mismo símbolo TAB para la fuerza que la barra AB ejerce sobre el pasador B que para la fuerza que este pasador ejerce sobre la barra AB. Si en el diagrama de sólido libre para una barra se representan las dos fuerzas que actúan en sus extremos, con ello ya se asegura el equilibrio de la barra; por este motivo, las barras pueden suprimirse en el resto del análisis y considerar tan sólo el equilibrio de los nudos.
Este equilibrio se expresa dibujando un diagrama de sólido libre para cada nudo y aplicando las
ecuaciones de equilibrio:
∑Fx = 0
∑Fy = 0
Como las fuerzas que actúan en cada nudo son concurrentes y coplanarias, el equilibrio de
momentos no suministrará información útil alguna; por ello, se utilizan solamente las dos ecuaciones anteriores.
En la práctica se comienza aislando un nudo en el que haya un enlace exterior y se continúa luego con los nudos restantes, procurando que en cada uno de ellos sólo haya dos tensiones desconocidas. Conviene tener en cuenta que las tensiones que salen de un nudo corresponden a tracciones de la barra correspondiente, y que un valor negativo de dicha tensión indica que la barra está sometida a compresión y no a tracción.
Una vez determinadas todas las tensiones, se deberá hacer un resumen, consignando en una tabla los módulos de las fuerzas correspondientes a las distintas barras, indicando en cada una de ellas si es de tracción o de compresión.
Observaciones:
A la hora de determinar las tensiones en las barras de una armadura aplicando el método de los
nudos, se pueden simplificar bastante los cálculos si se tienen en cuenta las siguientes consideraciones:
• En un nudo con sólo dos barras colineales y sin carga las tensiones de ambas barras son iguales. De este modo, la suma de fuerzas en el nudo es nula.
• En un nudo con sólo dos barras no colineales y sin carga las tensiones son nulas. En efecto, como la suma de las fuerzas en la dirección x debe ser cero, T2 = 0. Por lo tanto, T1, también debe ser nula.
• Cuando en un nudo sobre el que no haya carga exterior concurren tres barras y dos de ellas están alineadas, la tensión de la tercera es nula. Efectivamente, basta con tomar el eje y en la dirección de las barras alineadas, y como no puede haber fuerzas según el eje x, para que exista equilibrio la tensión de la tercera barra ha de ser nula. Así, en la estructura de la figura se puede afirmar “a priori” sin necesidad de resolverla que las tensiones en las barras Cl, BG y BH son nulas.
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4.2. MÉTODO DE LAS SECCIONES O DE RITTER.
Este método ofrece la ventaja de que permite calcular directamente la tensión de una barra determinada sin necesidad de obtener las de las barras restantes, como sucede con el método de los nudos.
En el método de Ritter la estructura articulada plana, una vez determinadas las reacciones en los soportes, se divide en dos fragmentos por medio de una sección (recta o curva) que corte como máximo a tres barras de tensiones desconocidas. A continuación se aísla uno de los fragmentos y se traza el correspondiente diagrama de fuerzas del sólido libre, sustituyendo las barras cortadas por las tensiones respectivas. Como no se sabe si dichas barras estaban en tracción o en compresión, se suelen representar en tracción.
Por último, por tratarse de fuerzas coplanarias, se aplican las tres ecuaciones de equilibrio, evitando resolverías simultáneamente. Conviene tomar momentos con respecto a un punto que recaiga en la intersección de las líneas de acción de dos fuerzas desconocidas, para que de este modo se obtenga directamente la tercera fuerza.
A modo de ejemplo, supongamos que queremos determinar la tensión en la barra BD de la estructura plana de la figura a). Con este objeto se traza la sección aa’, que divide a toda la estructura en dos partes, cortando solamente tres barras: una de ellas la BD, que es precisamente la barra cuya tensión se desea calcular.
Cualquiera de las dos partes puede utilizarse como sólido libre, si bien se suele escoger aquélla sobre la que actúe el menor número de fuerzas; en nuestro caso, la de la izquierda (figura b). Las fuerzas que actúan sobre este sólido libre son las cargas F1 y F2 aplicadas en los puntos A y B y las tres tensiones desconocidas TBD, TBE y TCE. Como no se sabe si las barras cortadas estaban en tracción o en compresión, en el diagrama se ha supuesto que las tres estaban en tracción.
El hecho de que el sólido rígido aislado se encuentre en equilibrio se expresa por medio de tres ecuaciones cuya resolución conduce a las tres tensiones desconocidas. Si únicamente queremos conocer TBD, sólo se precisa una ecuación de equilibrio, a condición de que en ella no figuren las otras incógnitas. Esta ecuación será:
∑ME = 0 , y una vez calculado el módulo de TBD, su signo nos indicará si la barra estaba en tracción (signo positivo) o en compresión (signo negativo).
En caso de que sólo nos interese conocer TCE, utilizaremos una ecuación en la que no figuren TBD y TBE. La ecuación apropiada es ∑MB = 0 y una vez resuelta tendremos también que considerar el signo de TCE para decidir las características de tracción o de compresión de la barra CE.
Si sólo se desea el valor de TBE la ecuación más apropiada es ∑Fy = 0 . Que la barra esté en tracción o en compresión viene determinado por el signo que se obtenga.
Por último, es interesante mencionar que la ecuación anteriores resultados.
4.3. MÉTODO DE CREMONA.
∑Fx = 0
puede servir para comprobarlos .
Es un método gráfico, similar en ciertos aspectos al método de los nudos antes estudiado. Se basa en construir para cada nudo un polígono cerrado cuyos lados sean las fuerzas (reacciones o tensiones) concurrentes en el nudo Para ello se parte de un nudo con dos tensiones desconocidas, y se continúa posteriormente trazando tantos polígonos como nudos existan en la estructura. Procediendo de una forma ordenada se consigue una notable simplificación en los dibujos.
A efectos prácticos conviene seguir las normas siguientes:
• Comprobar las isostaticidades exterior e interior de la estructura, representándola a continuación a escala adecuada.
• Calcular las reacciones exteriores (en módulo, dirección y sentido).
• Numerar las barras una a una, evitando todo tipo de ambigüedad.
• Iniciar las construcciones gráficas en un nudo con dos tensiones desconocidas (por lo general, se comienza en un apoyo).
• El paso de un nudo a otro se lleva a cabo invirtiendo los sentidos de las tensiones.
• Una vez finalizada- la construcción, aquellas tensiones que se acerquen a un nudo significan una compresión en la barra correspondiente; mientras que si se alejan, la barra se encuentra a tracción. A las fuerzas de tracción se les suele dar el signo positivo, y a las de compresión, negativo.
Ejemplo:
Los esfuerzos de una armadura simple pueden ser determinados gráficamente trazando un polígono para cada nudo, evitando así largos cálculos. El método de Cremona está basado en el método de los nudos. La realización del diagrama de Cremona consiste en agrupar la solución de los distintos nudos. La ventaja de este diagrama reside en tener agrupados todos los polígonos de la suma de las composiciones y descomposiciones de vectores realizadas para cada nudo.
Sea la armadura indicada en la figura. Necesitamos, como en todos los problemas, establecer un plano de situación trazado a escala, siendo labor previa la determinación gráfica o analítica de las reacciones de apoyo.
Para que el cuerpo completo esté en equilibrio deberá existir también un equilibrio en cada punto nodal. Estos puntos son de aplicación común de los esfuerzos sobre los perfiles a ellos pertenecientes, cuyas direcciones vienen indicadas por las propias direcciones de dichos perfiles. Numeraremos los nodos mediante I, II, III, etc. y las barras mediante, 1, 2, 3, etc.
Imaginemos el conjunto constituido de la viga armada, seccionada por distintos puntos nodales. Dibujaremos para cada nudo de esta naturaleza su polígono especial de fuerzas que deberá ser cerrado, y procederemos a definir las magnitudes de las reacciones de los perfiles. Los valores encontrados en un polígono los utilizaremos en el siguiente, y así sucesivamente hasta conocer todos los esfuerzos que gravitan sobre los perfiles.
Iniciamos el proceso partiendo de un punto nodal en el que sólo estén aplicadas dos reacciones desconocidas (por ejemplo, el I).
Dibujaremos a escala la reacción vertical RA del apoyo. Con esta reacción del perfil 1 y la del 2 deberá obtenerse un polígono cerrado.
Los sentidos de las reacciones de los perfiles los conseguiremos por desplazamientos paralelos de las líneas de acción del plano de situación al de las fuerzas.
Estos sentidos de las reacciones de los perfiles tienen especial significación. Del sentido cíclico de rotación en el polígono cerrado de fuerzas deduciremos que el esfuerzo que soporta el perfil 1 está dirigido hacia la izquierda y el 2, por el contrario, hacia la derecha y hacia abajo. Trasladaremos ahora las flechas indicadas al plano de situación y a los puntos nodales a que se refieren, porque los sentidos de los esfuerzos actuantes sobre los perfiles se relacionan siempre con los nudos respectivos, con lo que se advertirá si se trata de un esfuerzo de tracción o de compresión. Podemos deducir que cada esfuerzo se presenta dos veces sobre un perfil porque realmente cada perfil une a dos nudos. Los polígonos aislados se reúnen luego en un plano general de fuerzas, llamado de Cremona, donde cada perfil de presenta una sola vez.
Este plano de Cremona no es otra cosa que la anexión adecuada de todos los perfiles (polígonos aislados). Lo obtendremos fácilmente dibujando las fuerzas actuantes sobre un nudo, en una determinada sucesión (por ejemplo el sentido de las agujas del reloj) y luego seguir manteniendo en todos los nudos siguientes el mismo sentido de sucesión.
El trazado del plano de Cremona presupone la determinación de las reacciones de los apoyos, el dibujo del plano de situación y, a su vez, el del polígono de fuerzas exteriores (empezando con un punto nodal sobre el que resultan aplicadas únicamente dos esfuerzos sobre perfiles).
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5. BIBLIOGRAFÍA.
• Libro de Mecánica de 2º curso de Bachillerato.
Editorial Everest.
• Libro de Mecánica de 2º curso de Bachillerato.
Editorial McGraw-Hill.