Tema 65 – Sistemas de control – elementos componentes, variables

1. Introducción.

1.1. Sistema de control en lazo o bucle abierto.

1.2. Sistema de control en lazo o bucle cerrado.

2. Función de transferencia.

2.1. Transformada de Laplace.

2.2. Las variables en los sistemas de control.

2.3. La función de transferencia.

3. Representación y simplificación de los sistemas de control.

3.1. Diagramas funcionales o de bloques.

3.2. La función de transferencia equivalente de asociaciones básicas de componentes en los sistemas de control.

3.2.1. Conexión en serie.

3.2.2. Conexión en paralelo.

3.2.3. Conexión en anillo con realimentación directa.

3.2.4. Conexión en anillo con realimentación a través de un segundo elemento.

3.2.5. Transposición de ramificaciones y nudos.

3.2.6. Simplificación de la función de transferencia en sistemas con dos o más señales de entrada.

3.3. Diagramas de flujo o flujograma.

4. Estudio de la estabilidad de un sistema de control.

4.1. Método de Routh.

4.2. Respuesta en frequencia diagrama de Bode.

5. Respuesta ante las variaciones en la entrada.

6. Componentes de un sistema de control.

6.1. Captadores o transcounductores.

6.2. Comparadores.

6.3. El controlador.

6.3.1. Controlador todo o nada.

6.3.2. Controlador de acción proporcional (P).

6.3.3. Controlador de acción integral (I).

6.3.4. Controlador de acción derivativa (D).

6.3.5. Controlador proporcional integral (PI).

6.3.6. Controlador proporcional derivativo (PD).

6.3.7. Controlador proporcional integral derivativo (PID).

6.4. Amplificadores.

6.5. Actuadores.

7. Bibliografía básica.

1. INTRODUCCIÓN.

¿Qué son los sistemas de control?, ¿para qué sirven los diagramas funcionales?, ¿cómo se llega a la función de transferencia? Todas estas preguntas serán contestadas a lo largo del tema.

El control automático ha desempeñado un papel fundamental en el avance de la ingeniería (control de vehículos, control de temperatura, centrales nucleares, aeronáutica, fabricación de piezas). Básicamente la teoría de la regulación automática o teoría de control estudia el comportamiento dinámico de un sistema frente a órdenes de mando o perturbaciones. Por lo general, previsto un objetivo y el medio o vehículo para conseguirlo, se establece lo que se ha dado en llamarse un problema de control.

La acción o conjunto de acciones ejercidas sobre el vehículo para que se acabe produciendo el efecto deseado, recibe el nombre de control o acción de control. A continuación definiremos un vocabulario básico que será útil a la hora de explicar el tema.

Planta, conjunto de componentes y piezas que van a tener un determinado objetivo.

Proceso, conjunto de operaciones que se van a realizar, formando una secuencia con un fin determinado.

Sistema, combinación de componentes que, actuando de forma conjunta son los encargados de realizar el control.

Perturbaciones, conjunto de señales no deseadas. Estas se pueden generar dentro o fuera del sistema.

Entrada de mando, señal excitadora del sistema.

Unidad de control, uno o varios componentes del sistema que reacciona con una señal activa para producir la salida deseada.

Señal de salida, cantidad de la variable correspondiente que debe mantenerse en un valor fijado Realimentación: operación que tiene por objeto introducir de nuevo en el sistema la señal de salida del mismo.

Señal activa o de error, señal obtenida como la adición o como la diferencia entre la señal de entrada de referencia y la salida realimentada.

Elemento final o actuador, componente o componentes del sistema encargado de actuar sobre el proceso.

1.1. SISTEMA DE CONTROL EN LAZO O BUCLE ABIERTO.

Los sistemas de control en lazo abierto son aquellos en los que la señal de salida no tiene influencia sobre la acción de control, o, dicho de otra forma, son aquellos en los que la señal de salida no tiene influencia sobre la señal de entrada. Un ejemplo de este sistema se puede ver en la siguiente figura:

Como vemos del ejemplo anterior, si en un sistema en lazo abierto existen perturbaciones, no obtendremos la variable deseada, por lo que tendremos que recurrir a un sistema de control en lazo cerrado. Ejemplos típicos de sistemas de control en lazo abierto son un tostador o una lavadora.

1.2. SISTEMA DE CONTROL EN LAZO O BUCLE CERRADO.

Se definen los sistemas de control en lazo cerrado como aquellos en los que existe realimentación de la señal de salida, o, dicho de otra forma, aquellos en los que la señal de salida tiene efecto sobre la acción de control.

Captador: cuando la señal controlada y la señal de referencia no son de la misma naturaleza. El captador mide la señal controlada y la transforma en una señal que puedan entender los demás componentes del sistema.

Ejemplos: Control de temperatura, sistema de control de líquidos, control automático de ganancia

(amplificadores).

2. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.

La teoría clásica de control se desarrolló durante la segunda guerra mundial y se caracteriza por la

introducción del concepto de “función de transferencia” y por el análisis y diseño mediante métodos basados en la transformada de Laplace, y la respuesta del sistema, fundamentalmente en el dominio de la frecuencia. La teoría moderna de control se ha desarrollado como consecuencia de la aparición de ordenadores de gran velocidad de cálculo. Se caracteriza por la introducción del concepto de variable de estado y utiliza en gran medida el álgebra matricial, realizándose el análisis y el diseño fundamentalmente, en el dominio del tiempo.

2.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE.

El concepto de “transformación” va íntimamente ligado al de correspondencia. A un determinado grupo de elementos en un dominio D1, se le hace corresponder un nuevo grupo de elementos en otro dominio D2. Si se trata de funciones, a cada función f(t) del dominio (1) le corresponde, como consecuencia de una determinada transformación, una nueva función F(s) en el dominio (2).

2.2. LAS VARIABLES EN LOS SISTEMAS DE CONTROL.

Existen fundamentalmente cuatro tipos diferentes de variables. A continuación las nombramos: Las que influyen el sistema desde el exterior:

• Variables de entrada o de excitación (pueden ser elegidas libremente).

• Variables perturbadoras (no pueden ser controladas).

Las intrínsecas del sistema:

• Variables de salida o respuesta del sistema.

• Variables de estado: conjunto mínimo de variables del sistema, tal que, conocido su valor, en

un instante dado, permiten conocer la respuesta del sistema ante cualquier señal de entrada o

perturbación.

2.3. LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.

Se define como función de transferencia G(s) de un sistema lineal, o de uno de sus componentes, al cociente entre la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada. Aplicada a la siguiente figura:

G(s) = Lc(t ) = C (s)

Lr (t )

R(s)

La función de transferencia de un sistema no es otra cosa que la información contenida en la ecuación diferencial que caracteriza el comportamiento del mismo en el dominio temporal, trasladada al dominio complejo. Si partimos de un sistema lineal de entrada y salida único cuyo comportamiento viene dadopor la siguiente ecuación diferencial de coeficientes constantes:

a d c(t ) + a

d n−1c(t)

+ a

d n−2

c(t ) + … + a c(t ) = b

d r (t ) + b

d m−1

r(t) + b

d m−2

r(t ) + … + ( )

0 dt n

1 dt n−1

2 dt n−2

n 0 dt m

1 dt m−1

2 dt m−2

bm r t

Siendo r(t) la entrada y c(t) la salida. Aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación anterior:

C (s)(a s n + a s n−1 + … + a

) = R(s)(b s m + b s m−1 + … + b )

0 1 n 0 1 m

Por lo tanto la función de transferencia quedaría como:

G(s) = b0 s

+ b1s

m−1

+ … + bm

= N (s)

a s n + a s n−1 + … + a

D(s)

Observaciones y comentarios:

0 1 n

• La función de transferencia está expresada como un cociente de dos polinomios. Las características dependen de los componentes del sistema y no de la señal de entrada.

• Para los sistemas físicos los coeficientes son números reales y n≥m. Esta última condición  hace que el sistema sea causal.

• Las raíces de D(s) determinan la estabilidad del sistema, así como la respuesta transitoria para cualquier señal de entrada.

• Un sistema de regulación será estable cuando las raíces de su ecuación característica (polos) estén situados en el semi-plano complejo de Laplace de parte real negativa.

• El numerador N(s) de la función de transferencia determina la forma en que la señal de  entrada es introducida en el sistema y no afecta a la estabilidad absoluta ni al número o naturaleza de los modos transitorios.

3. REPRESENTACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.

Para representar los sistemas de control se pueden utilizar procedimientos gráficos (diagrama

funcional o de bloques y diagrama de flujo o flujograma) o procedimientos algebraicos (ecuaciones)

3.1. DIAGRAMAS FUNCIONALES O DE BLOQUES.

Una de las consecuencias de conocer la función de transferencia es la posibilidad de representar el comportamiento de cada uno de los componentes de un sistema de control mediante un bloque funcional.El sistema queda así configurado como un conjunto de bloques, dentro de los cuales se representa la función de transferencia que nos indica la función realizada por el componente, unidos entre sí mediante flechas que indican el sentido de circulación del flujo de señal. En la siguiente figura se muestra la interacción de dos bloques, y el sentido de la señal.

3.2. LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EQUIVALENTE DE ASOCIACIONES BÁSICAS DE COMPONENTES EN LOS SISTEMAS DE CONTROL.

3.2.1. CONEXIÓN EN SERIE.

Como puede verse en la siguiente figura, la salida de un bloque constituye la entrada del siguiente.

Para calcular la función de transferencia global, determinaremos la función de cada bloque:

V (s) = G2 (s)Y (s)⎫

Y (s) = G (s)U (s)⎬ → V (s) = G2 (s)G1 (s)U (s)

y por lo tanto:

V (s) = G U (s) 2

(s)G1 (s)

La función de transferencia de un circuito en serie se obtiene multiplicando las funciones de transferencia de cada uno de los elementos.

3.2.2. CONEXIÓN EN PARALELO.

Según la figura, la señal de entrada a ambos bloques a la vez y la salida del conjunto se obtiene mediante la suma de las salidas parciales. Al conectar elementos en paralelo se debe disponer un nudo sumador a la salida.

La función de transferencia de cada bloque:

V1 (s) = G1 (s)U (s) ⎫

V (s) = G (s)U (s)⎬ → V (s) = V1 (s)V2 (s) = G1 (s)U (s) + G2 (s)U (s) = U (s)(G1 (s) + G2 (s))

Y por lo tanto la función de transferencia de cada bloque:

V (S ) = G (s) + G

(s)

U (s) 1 2

3.2.3. CONEXIÓN EN ANILLO CON REALIMENTACIÓN DIRECTA.

Como hicimos anteriormente, primero calcularemos la función de transferencia y luego la del sistema completo.

R(s) = U (s) − V (s)⎫

⎬ → V (s) = G(s)(U (s) − V (s)) = G(s)U (S ) − G(s)V (s) →

V (s) = G(s)R(s)

⎭

→ V (s)(1 + G(s)) = G(s)V (s)

Quedando la función de transferencia como:

V (S ) =

U (s)

G(s)

1 + G(s)

3.2.4. CONEXIÓN EN ANILLO CON REALIMENTACIÓN A TRAVÉS DE UN SEGUNDO

ELEMENTO.

En este caso la señal de salida es pasada a través de un segundo elemento (ver figura) antes de su realimentación. Dividiendo el sistema en diferentes ecuaciones tenemos:

R(s) = U (s) − X (s)⎫

X (s) = H (s)V (s)

V (s) = G(s)R(s)

⎪ → V (s) = G(s)(U (s) − X (s)) = G(s)U (S ) − G(s) X (s) =

⎪

⎭

Reordenando los términos obtenemos:

=G(s)U (S ) − G(s)(H (s)V (s)) =

= G(s)U (s) − G(s)H (s)V (s)

V (s)(1 + G(s)H (s)) = G(s)U (s) ⇒ V (s) =

U (s)

G(s)

(1 + G(s)H (s))

Siendo: G(s): la función de transferencia directa y H(s) la función de transferencia del lazo de realimentación.

3.2.5. TRANSPOSICIÓN DE RAMIFICACIONES Y NUDOS.

En el proceso de reducción de diagramas de bloques, a veces interesa transponer un punto de bifurcación. Las transposiciones son bidireccionales.

De igual forma podemos transponer un punto de suma:

3.2.6. SIMPLIFICACIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN SISTEMAS CON DOS O MÁS

SEÑALES DE ENTRADA.

Para simplificar (obtener la función de transferencia equivalente) sistemas donde existan varias entradas se aplica el principio de superposición. Usaremos un ejemplo para mostrar el uso de este principio. Partimos de la siguiente figura:

Para resolverlo:

a) Supondremos que la entrada E2=0 y calculamos la función de transferencia del sistema:

G (E ) = S1

1

b) Ahora supondremos que E1=0 y calculamos la función de transferencia del sistema:

Geq

(Ez

) = S z

E

z

c) Aplicaremos el principio de superposición: La salida total es la contribución de cada una de las entradas tomadas de forma independiente.

S = S1 + S z

Geq

(E ) = S1 =

G1Gz

E1 1 + G1Gz H

Geq

(Ez

) = S z

Ez

= Gz

1 + G1Gz H

Y por lo tanto la respuesta total del sistema:

S = S1

+ S z

= G1Gz

1 + G G H

E1 +

Gz E

1 + G G H z

1 z 1 z

3.3. DIAGRAMAS DE FLUJO O FLUJOGRAMA.

Los flujogramas son un método de representación mucho más generales que los diagramas de bloques. Se definen como la representación gráfica mediante una simbología adecuada del orden lógico de realización de las distintas etapas de un programa. Los flujogramas se utilizan en matemáticas, teoría de circuitos y electrónica. Los flujogramas son representaciones esquemáticas de un conjunto de ecuaciones lineales recurrentes:

X ij = ∑ aij xi ;

j = 1,2…, n; i = 1,2,…, m

A las variables x se les designan vértices o nodos y a las relaciones entre variables (ecuaciones) se les asignan segmentos dirigidos, que unen entre sí las variables que están relacionadas. A cada rama se le asigna un coeficiente aij que multiplicará a la variable xi para obtener la variable xj. Dicho coeficiente se denomina transmitancia o ganancia.

Si a un nodo llegan varias ramas, la variable asignada al nodo es igual a la suma de las señales correspondientes a cada una de las ramas que concurren en él. La equivalencia entre un flujograma y un diagrama de bloques puede verse en la siguiente figura.

Observaciones:

• La señal se desplaza únicamente en el sentido de las flechas.

• Cada rama indica la relación funcional que existe entre las señales que une.

• Cada nodo cumple una doble función:

ƒ Suma las señales que le entran.

ƒ Transmite el resultado a la salida.

• Para un sistema dado pueden existir varios flujogramas que lo representen.

A la hora de trabajar con diagramas de flujo existe una serie de teoremas que nos permiten su

simplificación. Estos teoremas reciben el nombre de “álgebra de flujo”. Aquí presentamos un conjunto de teoremas básicos:

Teorema 1

Un conjunto de ramas en serie o cascada se puede sustituir por una sola rama cuya ganancia sea el producto de las ganancias de cada una de las ramas que forma la serie.

Teorema 2

Un conjunto de ramas en paralelo o derivación se puede sustituir por una rama única cuya ganancia sea la suma de las ganancias individuales.

Teorema 3

Se pueden eliminar nodos intermedios; para ello se sustituyen los trayectos que pasan por el nodo a eliminar por ramas directas entre los nodos correspondientes con ganancias iguales al producto de las ganancias de las ramas implicadas.

Teorema 4

Para eliminar los auto-bucles en un nodo dado, se sustituyen las ganancias de las ramas entrantes, sólo las entrantes, por su valor original dividido por la unidad menos el valor de la ganancia del auto bucle.

4. ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE UN SISTEMA DE CONTROL.

Un sistema estable es aquel que permanece en reposo a no ser que se excite por una fuente externa y, en tal caso volverá al reposo una vez que desaparezcan todas las excitaciones. La estabilidad de un sistema de control queda determinada por la posición de los polos en el plano complejo. Si éstos están situados en el semiplano de la parte real negativa, el sistema es estable. En cambio si alguno de ellos se localiza en el semiplano de la parte real positiva, el sistema es inestable. La estabilidad se puede definir de las siguientes formas:

ƒ Un sistema es estable si su respuesta ante un impulso tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito.

ƒ Un sistema es estable si cada entrada limitada produce una salida limitada. Existen varios métodos para determinar si un sistema es o no estable:

1. Método de Routh: Nos da una idea global de si el sistema es estable o no. Pero no nos indica nada sobre lo cerca o lejos que estamos de la estabilidad. Este sistema refleja la estabilidad absoluta.

2. Método de Bode: Este método representa la ganancia y el ángulo de fase en función de la frecuencia y por tanto, veremos lo cerca o lo lejos que estamos de la estabilidad. Este sistema refleja la estabilidad relativa.

3. Otros métodos son los de Nyquist y el de Nichols.

4.1. MÉTODO DE ROUTH.

El criterio de estabilidad de Routh indica si hay o no hay raíces positivas en una ecuación polinómica del grado que sea, sin tener que resolverla. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

1. El polinomio en sí se describe de la siguiente forma:

a s n + a

n−1

s n−1 + … + a s 0 = 0

2. Si cualquiera de los coeficientes es nulo o negativo y está presente al menos un coeficiente positivo, el sistema no es estable.

3. Si todos los coeficientes son positivos, se colocan en filas y columnas de la siguiente forma:

Las dos primeras filas de la tabla (sn y sn-1) se rellenan a partir del polinomio característico. La tercera fila de coeficientes (sn-2) vienen dados por las siguientes expresiones:

b = an−1an−2 − an an−3

an−1

b = an−1an−6 − an an−7

an−1

= − 1

an−1

= − 1

an−1

an an−1 an

an−1

an−2

an−3

an−6 Λ

an−7

b = an−1an−4 − an an−5

an−1

= − 1

an−1

an

an−1

an−4

an−5

De igual forma para calcular los coeficientes c1, c2, c3 pertenecientes a la fila (sn-3) se toman las dos filas anteriores (sn-2 y sn-1) y se usan las siguientes expresiones:

c = an−3b1 − an−1b2

= − 1 an−1

an−3

c = an−5b1 − an−1b3

= − 1 an−1

an−5 Λ

b1 b1 b1 b2

b1 b1 b1 b3

• La evolución de los coeficientes continúa hasta que todos los restantes son cero.

• El conjunto completo es de forma triangular.

• Una fila completa se puede multiplicar o dividir por un número positivo para simplificar los cálculos siguientes.

• El sistema será estable si en la primera columna no existen cambios de signo, ya que el número de cambios que existan es igual a las raíces de la ecuación con partes positivas.

Se pueden presentar dos casos especiales:

– Si algún término en la primera columna es cero, pero los demás no, o no hay término restante, no sería posible calcular los términos de la fila siguiente. Para resolver este problema, el término cero se sustituye por un número positivo muy pequeño y se calcula el resto. Si el signo del coeficiente sobre el cero (ε) es el mismo que el que está debajo de él, indica que hay dos raíces imaginarias. Ejemplo:

dos raíces imaginarias. Ejemplo:

s 3 + 2s 2 + s + 2 = 0

a a − a a

− 1 a a

b1 =

2 1 3 0 = 3

a2 a2 a2

1 = 0 → ε

a0

c = a b

− a b

− 1 a2 a0

0 1 2 2 = = 2

b1 b1 b1 b2

Y por lo tanto como no ha habido cambio de signo el sistema puede considerarse estable.

– Si todos los coeficientes de la fila son cero, se forma un polinomio auxiliar con los coeficientes de la última fila, y usando los coeficientes de la de derivada de este polinomio en la fila siguiente. Ejemplo:

s 4 + s3 − s − 1 = 0

Debido a que la fila (s1) es nula, calcularemos la derivada del polinomio obtenido de la fila anterior y sustituiremos los coeficientes en la siguiente fila:

Quedando la tabla como:

f (s) = s 2 − 1;

f ´(s) = 2s;

Resultando ser un sistema inestable.

Para terminar daremos un ejemplo de problema típico. Estudiar la estabilidad del siguiente sistema:

s 4 + 3s 3 + 3s 2 + 2s + k = 0

Para que el sistema sea estable no ha de haber cambio de signo en la primera columna, por lo tanto las condiciones que ha de cumplir k son: k>0 y 14/9>k.

4.2. RESPUESTA EN FREQUENCIA DIAGRAMA DE BODE.

Se entiende por respuesta en frecuencia de un sistema a la respuesta en régimen permanente de un sistema ante una entrada senoidal de amplitud constante y frecuencia variable. Para analizar un sistema se varía la frecuencia de entrada dentro de un rango y se estudia la respuesta resultante. Usando la respuesta en frecuencia se puede determinar las funciones de transferencia de componentes complicados. La función de transferencia senoidal G(jw) es una función compleja que puede ser representada por sus curvas de amplitud G(jw) y el ángulo de fase.

Para que un sistema sea estable, el margen de ganancia debe de ser positivo y el margen de fase debe de estar por encima de -180º.

5. RESPUESTA ANTE LAS VARIACIONES EN LA ENTRADA.

La adecuación de la variable controlada, ante una variación de la señal de mando, no es instantánea, si no que requiere un tiempo determinado. La variación de la variable controlada presenta dos estados característicos:

• Régimen permanente: cuando las variables del sistema se han estabilizado y presentan un valor constante.

• Régimen transitorio: estado que transcurre en un sistema hasta que llega al permanente.

Se caracteriza por tener variables no estabilizadas.

Las características básicas de una respuesta transitoria son:

• La sobre oscilación máxima de salida con respecto a su valor en régimen permanente.

• La velocidad inicial de respuesta.

• El tiempo necesario para que la salida alcance su valor permanente.

Siendo:

• Mp: la sobre oscilación máxima.

• tr: tiempo de salida por el que se caracteriza la velocidad inicial de la respuesta.

• tp: tiempo en alcanzar la sobreoscilación máxima.

• ts: tiempo de establecimiento o tiempo en alcanzar el régimen permanente.

6. COMPONENTES DE UN SISTEMA DE CONTROL.

Todo sistema de control y regulación está formado por los siguientes componentes:

• Transductores y captadores.

• Elementos o detectores de error.

• Elementos de control y regulación.

• Elementos finales o actuadotes.

6.1. CAPTADORES O TRANSCOUNDUCTORES.

Reciben la señal de externa y la transforman en una señal inteligible para el sistema. Esta última señal suele ser de valor muy bajo, principalmente por dos razones: (a) el transconductor no debe influir en el fenómeno que mide, (b) solamente es posible mantener la linealidad de la señal dentro de unos márgenes reducidos.

La señal obtenida del captador ha de ser acondicionada a través de diferentes etapas:

• Alimentación: los transconductores pueden precisar alimentación (activos) o trabajar sin

aporte de energía externa (pasivos).

• Amplificación: tiene como objetivos aumentar la poca amplitud de la señal.

• Corrección y filtrado: elimina las perturbaciones (ruidos).

• Transmisión: Se suelen usar cables especiales para evitar las perturbaciones externas. En

esta etapa suele estar compuesta de amplificadores de potencia.

6.2. COMPARADORES.

Son los elementos encargados de obtener la señal de error en los sistemas de control. Calculan la diferencia entre la señal de realimentación y la señal de referencia, dando como resultado la señal de error. Por lo general el tipo/naturaleza de las señales comparadas no debe por qué ser igual al de la señal de salida.

6.3. EL CONTROLADOR.

El controlador es el cerebro de un bucle de control, cuya función es la de comparar una variable física con el valor deseado, interpretar el error o desviación y actuar para anular dicho error. Según la naturaleza de la señal a controlar, tenemos los siguientes tipos de control:

• Analógico.

• Digital.

• Híbrido (analógico-digital).

Según la forma de controlar:

• Acción todo o nada.

• Acción proporcional.

• Acción integral.

• Acción derivativa.

6.3.1. CONTROLADOR TODO O NADA.

Este elemento tiene un comportamiento binario. Si el error es mayor que cero significa que no se ha alcanzado el objetivo, por lo tanto la señal de control es máxima (todo). Cuando el error se hace cero o negativo, la señal de control se desconecta (nada).

6.3.2. CONTROLADOR DE ACCIÓN PROPORCIONAL (P).

Tiene una frecuencia y tiempo de respuesta conocidos. Su respuesta es proporcional a la señal de entrada de manera que se reduce el error del régimen permanente y aumenta la velocidad de respuesta en lazo cerrado. Por otro lado, se reducen los márgenes de estabilidad y no se pude

eliminar el error en régimen permanente. Este controlador sigue la expresión:

m(t ) = K P

e(t ) ⇒ GP

(s) = M (s) = K E(s) P

6.3.3. CONTROLADOR DE ACCIÓN INTEGRAL (I).

La señal de salida es proporcional a la integral de la señal de entrada. En este caso la salida iría modificándose mientras se mantuviese la desviación, y si no fuese capaz de corregirla, llevaría el elemento final hasta su máxima posición. Su expresión matemática:

m(t ) = K

t M (s) 1

∫ e(t )dt ⇒ G (s) = = K

I I E(s) I s

Este tipo de controlador permite eliminar errores en régimen permanente.

6.3.4. CONTROLADOR DE ACCIÓN DERIVATIVA (D).

Estabiliza el sistema y aumenta su velocidad de respuesta. Se suele combinar con el controlador diferencial. La acción derivativa se opone a las desviaciones con una acción que es proporcional a la rapidez de las mismas. Su función de transferencia:

m(t ) = K D de(t ) ⇒ G dt D (s) = M (s) = K s E(s) D

6.3.5. CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI).

Combina las virtudes del controlador proporcional P y del integral I, eliminando el error en régimen permanente sin ocasionar disminución excesiva de la velocidad de respuesta ni el margen de estabilidad. Por lo tanto la señal de salida es proporcional a la señal de entrada y a la integral de la

señal de entrada respecto al tiempo. Su expresión matemática:

m(t ) = K e(t ) + K P TI t ∫ e(t )dt ⇒ GPI

o

(s) = M (s) = K E(s) P (1 + 1 ) TI s

Siendo KP la ganancia de acción proporcional y TI la constante de tiempo integral.

6.3.6. CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD).

Combina las ventajas del controlador P y el derivativo D. El sistema se caracteriza por tener una alta capacidad para estabilizar, una alta ganancia y una mejora en la velocidad de respuesta. En el controlador PD, la señal de salida es proporcional a la señal de entrada y a la derivada de la señal de entrada. Matemáticamente:

m(t ) = K

P e(t ) + K

PTD de(t) ⇒ G dt PD (s) = M (s) = K E(s) P (1 + TD s)

Siendo KP la ganancia de acción proporcional y TD la constante de tiempo derivativa.

6.3.7. CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO (PID).

Resulta de la combinación de los tres controladores: proporcional, integral y derivativo.

• El controlador proporcional amplifica el error, lo que permite que más energía fluya al actuador, con lo que el sistema tenderá con más precisión y más rápidamente al objetivo.

• El controlador integral conlleva el error, lo que implica un crecimiento continuo de la acción de control mientras el error sea diferente de cero.

• La acción derivativa le confiere al sistema un carácter anticipativo.

En la práctica el controlador PID ofrece una ligera mejora sobre el PD. Matemáticamente el comportamiento de este controlador se puede expresar como:

m(t ) = K e(t ) + K P TI t ∫ e(t )dt + K

o

PTD de(t ) ⇒  dt PID (s) = M (s) = K E(s) P(1 + 1 TI s + TD s)

6.4. AMPLIFICADORES.

Son los elementos encargados de aumentar el umbral de la señal con el fin de hacerla operativa para los elementos del sistema de control. Como ejemplo podemos nombrar los siguientes tipos:

• Amplificador de potencia eléctrico y electrónico

o Relé

o Transistor

o Tiristor

• Amplificadores neumáticos e hidráulicos.

• Amplificadores mecánicos.

6.5. ACTUADORES.

El objetivo del sistema de control es controlar el suministro energético de un actuador, que precisa del concurso de gran cantidad de energía para su funcionamiento, con una señal débil. Podemos clasificar los actuadotes según la energía de activación:

• Actuadores eléctricos:

o Motores eléctricos de corriente continúa.

o Motores eléctricos de corriente alterna monofásicos.

o Motores eléctricos sin escobillas.

o Motores eléctricos paso a paso.

• Actuadotes neumáticos:

o Cilindros neumáticos

o Motores neumáticos

o Válvulas de control

• Actuadotes hidráulicos:

o Cilindros hidráulicos

o Motores hidráulicos

o Válvulas hidráulicas

7. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA.

1. “Sistemas Modernos de Control. Teoría y Práctica” De Richard C.Dorf.2ª edición. Edit. Addison Wesley,1989

2. “Sistemas de control automático”. B.J. Kuo. Edit. Prentice-Hall, 1996.

3. “Ingeniería de control moderna”. K. Ogata. Edit. Prentice-Hall, 1980.