1. INTRODUCCIÓN.
2. ESFUERZOS MECÁNICOS.
2.1. SOLICITACIÓN EXTERIOR. TIPO DE CARGAS.
2.2. MEDIOS DE UNIÓN Y APOYOS. REACCIONES.
2.3. LA PIEZA PRISMÁTICA.
2.4. ESFUERZOS EN UNA SECCIÓN DE UNA PIEZA PRISMÁTICA-ESFUERZOS MECÁNICOS.
3. REPRESENTACIÓN Y COMPOSICIÓN DE ESFUERZOS.
3.1. REPRESENTACIÓN DE ESFUERZOS.
3.1.1. Esfuerzos normales.
3.1.2. Esfuerzos cortantes y flectores.
3.2. COMPOSICIÓN DE ESFUERZOS.
3.2.1. Tracción y compresión simple.
3.2.2. Cortadura simple o pura.
3.2.3. Flexión pura.
3.2.4. Flexión simple.
3.2.5. Flexión compuesta.
3.2.6. Torsión.
4. CÁLCULO DE TENSIONES EN PIEZAS SOMETIDAS A ESFUERZOS MECÁNICOS. DIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS.
4.1. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A CORTADURA.
4. 2. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A TRACCIÓN.
4. 3. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN. COMPROBACIÓN A PANDEO.
4. 4. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN.
4. 5. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN COMPUESTA.
4. 6. MOMENTO TORSOR. CÁLCULO DE ÁRBOLES DE TRANSMISIÓN.
4.7. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A COMBINACIÓN DE ESFUERZOS.
5. CONCLUSIONES.
BIBLIOGRAFÍA.-
− CÁLCULO DE ESTRUCTURAS. TOMO l. Ramón ArgüeIles Álvarez.
− RESISTENCIA DE MATERIALES. F. Rodríguez Avial. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales.
1. INTRODUCCIÓN.
El estudio de los esfuerzos mecánicos a los que están sometidos los sólidos lo realiza la resistencia de materiales, que es la ciencia que estudia el cálculo de la resistencia mecánica, la rigidez y estabilidad de las piezas y elementos constructivos.
La resistencia de materiales nos permite determinar el material más adecuado, la forma y dimensiones más convenientes que hay que dar a los elementos de una construcción para que puedan resistir la acción de fuerzas exteriores, así como para obtener este resultado de la forma más económica.
También debemos tener en cuenta la forma de colocar los perfiles ya que de una u otra posición siendo el mismo perfil puede soportar esfuerzos mayores o menores.
2. ESFUERZOS MECÁNICOS.
2.1. SOLICITACIÓN EXTERIOR. TIPO DE CARGAS.
La solicitación exterior a que está sometido cualquier elemento de una estructura o de una máquina está constituida por:
a) Fuerzas activas o directamente aplicadas, llamadas cargas
b) Fuerzas reactivas o reacciones de las ligaduras.
El conjunto de ambas clases de fuerzas deben constituir un sistema nulo para que la pieza se encuentre en equilibrio.
Atendiendo al área de la superficie sobre la que actúan las cargas se clasifican en:
1) Cargas puntuales que son aquéllas que actúan sobre una superficie muy pequeña y son asimilables a fuerzas puntuales.
2) Cargas repartidas que son aquéllas que se encuentran repartidas, uniforme o variablemente, por ejemplo el peso propio de una viga, etc
2.2. MEDIOS DE UNIÓN Y APOYOS. REACCIONES.
Se define ligadura, como todo dispositivo que impide de manera total o parcial, el libre movimiento de un sólido. Un elemento resistente tiene 6 grados de libertad cuando está libre, es decir, puede desplazarse y girar sobre y alrededor de 3 ejes de coordenadas.
• Apoyo articulado móvil: solo existe una reacción perpendicular al plano de apoyo, es decir, una sola reacción de ligadura Ry.
• Apoyo articulado fijo: existen 2 reacciones en los ejes X e Y , que son Rx, Ry
• Apoyo empotrado: En él están impedidos los desplazamientos en los ejes X e Y, y los giros. Existen 3
reacciones, Rx, RY, M.
Para poder estudiar un elemento resistente, es necesario determinar previamente las reacciones que ejerce su entorno, ya que al aislar el elemento las reacciones son cargas aplicadas a él, y que influyen por tanto en su estado de tensiones y de deformaciones.
Donde en el plano, se tienen que cumplir estas expresiones.
∑Rx = 0
∑Ry = 0
y ∑ M = 0
Dependiendo del caso, el número de reacciones a determinar, puede ser menor, igual o superior a tres, por lo que pueden presentarse los siguientes sistemas:
a) Sistema Hipostático.
El número de reacciones es menor que tres, y por tanto las ecuaciones de equilibrio son superabundantes. En general se trata de sistemas que al aplicarles las cargas son inestables como mecanismos y por tanto no son objeto de la Resistencia de Materiales.
b) Sistema Isostático.
El número de reacciones es exactamente tres con lo que las ecuaciones de equilibrio son las suficientes para determinar todas las reacciones. El sistema seguirá siendo isostático si el número de ecuaciones válidas es igual al de reacciones desconocidas.
c) Sistema Hiperestático.
El número de reacciones es mayor que el de ecuaciones. Aquí pueden representarse un sinfín de sistemas, desde los que tienen cuatro reacciones desconocidas hasta los que llegan a tener varios de cientos.
2.3. LA PIEZA PRISMÁTICA.
Dado que los problemas de equilibrio elástico suelen ser de análisis muy complicado, el estudio de las piezas prismáticas requiere hipótesis simplificativas que permiten obtener soluciones aproximadas que difieren poco de los resultados obtenidos de forma experimental, y son:
– Hipótesis de Navier-Bernoulli donde las secciones planas normales a la directriz permanecen planas y normales a la deformada de la directriz después de la deformación.
– La longitud de la pieza es varias veces mayor que sus dimensiones transversales y estas dimensiones transversales no difieren mucho entre sí.
– El radio de curvatura de la directriz es grande con respecto a las dimensiones transversales de la pieza, por lo que puede admitirse que dos secciones normales infinitamente próximas son paralelas entre sí.
– En caso de no ser constantes, la forma y las dimensiones de la generatriz, es decir, la forma de la pieza prismática, varían lenta y progresivamente.
– Se prescinde de los efectos locales producidos por concentraciones de cargas en una longitud pequeña de la pieza.
2.4. ESFUERZOS EN UNA SECCIÓN DE UNA PIEZA PRISMÁTICA-ESFUERZOS MECÁNICOS.
Las fuerzas a las que se puede verse sometida una pieza pueden ser:
• Esfuerzo normal. se nombra con la letra N. Tiende a separar o a unir ambas partes del sólido, originando tracciones y compresiones. Da lugar a la tensión normal con la letra griega sigma (una o con rabo) σ n .
• Esfuerzos cortantes, se nombra como Q y tratan de cortar la sección, es decir, deslizar una parte respecto de otra. Dan lugar a las tensiones de cortadura τ ,.
Los momentos generados pueden ser torsor o flector.
• Momento torsor MT: tiende a hacer rotar el cuerpo respecto a un eje.
• Momentos flectores: provocan rotaciones laterales, ocasionando la flexión del cuerpo.
3. REPRESENTACIÓN Y COMPOSICIÓN DE ESFUERZOS.
3.1. REPRESENTACIÓN DE ESFUERZOS.
Para conocer en una parte de un elemento resistente el esfuerzo al que está sometido, se utiliza la representación de esfuerzos, para ello se estudia cada uno de los tipo de esfuerzos mecánicos de forma diferenciada del resto, estudiándose por un lado los esfuerzos axiles, por otro los cortantes que son transversales al eje de la pieza, los esfuerzos provocados que originan la flexión de la pieza, y por último los esfuerzos torsores que son los provocados por aquellas cargas que originan la torsión.
Para la representación de cada tipo de esfuerzo hay que analizar el sentido de análisis, nosotros los estudiaremos de izquierda a derecha, y en función de este sentido se establece un criterio de signos, fruto del cual conoceremos no sólo la magnitud del esfuerzo mecánico sino también su sentido y con este concluiremos lo que ocurre realmente en cada punto del elemento estudiado.
Así mismo se establece para su representación un diagrama, en el que hay dos ejes de coordenadas, estableciéndose en el eje horizontal la longitud de la barra y en el eje vertical la cantidad de esfuerzo del tipo estudiado, debiendo fijarse también el sentido del lado positivo y el del lado negativo.
3.1.1. Esfuerzos normales.
El criterio de signos es TRACCIÓN en Positivo y COMPRESIÓN en Negativo.
Si se estudia la pieza de izquierda a derecha los esfuerzos positivos son los que van de derecha a izquierda, y se estudia de derecha a izquierda los contrarios, es decir, son los que provocan la tracción en la pieza.
En una viga o pieza resistente, en función del anterior criterio y por convenio se obtiene gráficamente en la tracción un esfuerzo N positivo y en la compresión N es negativo.
La representación gráfica de la ley de esfuerzos normales constituye el diagrama de esfuerzos normales en la pieza que es el siguiente:
|
3.1.2. Esfuerzos cortantes y flectores.
En una viga o elemento resistente sometido a cargas exteriores el esfuerzo cortante Q y el momento flector varía con la abcisa que define la situación de la sección recta. Tomaremos como abcisa la distancia X, y como ordenada el valor correspondiente del esfuerzo cortante o del momento flector. De esta manera obtendremos los diagramas de momentos flectores y cortantes.
Son positivos los esfuerzos cortantes que estudiada la pieza de izquierda a derecha van hacia arriba y negativos los que van hacia abajo, según esta representación.
+ _
En cuanto a los momentos flectores, El momento flector se considera positivo cuando las fibras
comprimidas estén situadas por encima de la neutra y negativo cuando estén por debajo de la neutra, según esta representación.
+
3.2. COMPOSICIÓN DE ESFUERZOS.
Los esfuerzos mecánicos pueden darse de forma individual o combinada entre ellos. Veremos las seis siguientes:
3.2.1. Tracción y compresión simple.
Una sección de una pieza está sometida a tracción o compresión simple cuando al efectuar un corte por dicha sección, el torsor de las fuerzas aplicadas a la parte suprimida se reduce en el centro de gravedad de la sección a un esfuerzo normal N.
3.2.2. Cortadura simple o pura.
Una sección de una pieza está sometida a cortadura simple cuando la resultante del sistema de fuerzas aplicadas en esa sección está contenida en el plano de dicha sección. Un ejemplo es un remache que une dos piezas.
La diferencia clara entre tensión normal y la cortante es que la normal es perpendicular al plano de la sección y la cortadura actúa a lo largo del plano de la sección.
3.2.3. Flexión pura.
Una sección de una pieza está sometida a flexión pura cuando en dicha sección transversal el esfuerzo se reduce a un momento cuyo eje está contenido en el plano de dicha sección.
La flexión pura no se presenta con frecuencia, lo normal es que vaya acompañada de cortadura denominándose entonces flexión simple.
3.2.4. Flexión simple.
Una sección de una pieza está sometida a flexión simple cuando en dicha sección transversal el esfuerzo viene dado por un cortante y un momento.
3.2.5. Flexión compuesta.
Una sección de una pieza está sometida a flexión compuesta cuando sobre dicha sección simultáneamente un esfuerzo normal N, un esfuerzo cortante de componentes Qy y Qz, y un momento flector M, de componentes My y Mz, es decir cuando en dicha sección aparece flexión simple y tracción o compresión simple.
3.2.6. Torsión.
Un elemento sometido a un par torsor en un plano perpendicular al eje directriz de la pieza se dice que está sometido a un esfuerzo de torsión.
Cuando a lo largo de la barra actúan diferentes pares, es conveniente realizar el diagrama de momentos torsores, de modo similar a los diagramas de esfuerzos anteriores, para así analizar la magnitud del valor del esfuerzo en cada zona.
Los árboles de transmisión pueden estar sometidos exclusivamente a un esfuerzo de torsión, como por ejemplo el eje de transmisión de un camión.
4. CÁLCULO DE TENSIONES EN PIEZAS SOMETIDAS A ESFUERZOS MECÁNICOS. DIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS.
El calculo de esfuerzos en piezas simples, se realiza por secciones significativas, de la manera que se ha expuesto en los apartados anteriores.
En general el proceso de cálculo de esfuerzos contiene estos tres pasos:
1. -Conocer las características de las fuerzas exteriores aplicadas.
2. -Determinación de las reacciones en los apoyos. En el caso de que la pieza sea isostática este es un problema de estática. Si la pieza es hiperestática sería necesario recurrir a estudio de la deformación y el problema sería de elasticidad.
3. -Determinación de los esfuerzos en cada una de las secciones de la pieza en estudio, bien en forma continua mediante las leyes de variación de los esfuerzos a lo largo de la directriz, bien de forma discontinua, para secciones regularmente escogidas. La determinación de esfuerzos es siempre un problema de estática.
4.1. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A CORTADURA.
La tensión provocada en una pieza sometida a un esfuerzo cortante, corresponde a la fórmula
Siendo Q el esfuerzo cortante, y A la sección transversal del elemento.
τ = Q A
El criterio de dimensionamiento del elemento define una sección mínima que consiga que esa expresión sea menor o igual a la tensión de cortadura admisible.
4. 2. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A TRACCIÓN.
La tensión provocada por el esfuerzo de tracción en una pieza vale:
σ = F A
Siendo F la carga de tracción y A la sección transversal de la pieza.
Para dimensionar la pieza debe ser menor que la tensión admisible.
También se nos puede plantear la necesidad de que la deformación de la pieza no supere una cantidad, con la fórmula:
σ = E × ε
Siendo E el módulo de Young, un valor que depende el material y ε la deformación unitaria de la pieza.
4. 3. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A COMPRESIÓN. COMPROBACIÓN A PANDEO.
El fallo de un elemento comprimido se produce por dos causas: por un fallo en la resistencia del material y por el pandeo, que es una flexión lateral de la barra.
Para el dimensionamiento de elementos comprimidos, se establece con carácter general, para diferentes materiales la fórmula de Euler, que establece la fórmula
σ critica =A
Siendo:
PCRITICA
Sigma critica σ crítica = Tensión critica
P critica = Valor de la carga crítica de Euler
A= sección de la barra
Para calcular el valor de la carga crítica de Euler, se aplica la fórmula
2P = π × E × I
CRITICA
Siendo:
E = módulo de elasticidad o módulo de Young.
I= Momento de inercia menor de la sección.
Lp= Longitud de pandeo, donde se aplica la fórmula
l p = β × l
Los valores de β pueden ser:
Barra biarticulada la beta vale β= 1
Barra biempotrada: β = 0,5
Barra empotrada-articulada: β = 0,7
Barra en voladizo: β = 2
Otra forma de expresar la tensión crítica al pandeo es con fórmula.
π 2 × E
PCRITICA = λ2
Siendo E modulo de elasticidad y landa (λ) la esbeltez. Donde landa es la fórmula.
λ = LP i
Para el caso concreto de soportes realizados con acero se aplica la siguiente fórmula.
σ = N × ω A
Siendo “w” un coeficiente que se obtiene de la tabla 3.10 de la norma NBE-MV 103, que depende del valor de la esbeltez de la pieza. La comprobación a pandeo se establece para valores de esbeltez entre 20 y 200.
4. 4. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN.
En piezas simétricas en el sentido de la carga sometidas a flexión, la tensión es lafórmula.σ = M W ≤ σ ADMISIBLE
Siendo M = el valor del momento al que está sometida la sección y W = módulo resistente de la sección.
Para el caso de piezas no simétricas, y para piezas de acero que tienen igual límite de resistencia a la tensión y a la compresión se aplican la siguiente fórmula:
σ = M × Y I
Donde:
Y = distancia de la fibra neutra a la fibra más lejana de la zona traccionada.
I = momento de inercia de la sección. M =el valor del momento.
4. 5. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A FLEXIÓN COMPUESTA.
La tensión en piezas sometidas a una flexión compuesta es con fórmula:
c = N + M X+ M Y ≤ tensión
admisible
A W X WY
Si además la pieza está comprimida la tensión equivalente es igual a la de arriba pero multiplicando w al factor N entre A, debido a la compresión.
4. 6. MOMENTO TORSOR. CÁLCULO DE ÁRBOLES DE TRANSMISIÓN.
Un elemento sometido a un esfuerzo de torsión, experimenta una tensión tangencial, de M T × r
Valor, la fórmula: τ = I 0
Siendo: MT = Momento el torsor , r = radio del perfil del árbol de transmisión e lo = Momento polar de inercia
La comprobación a realizar para el dimensionamiento es con la fórmula, que debe ser menor o igual que la tensión admisible M T= max ima W T ≤ τ admisible
Siendo Mt, el momento torsor y Wt el módulo resistente a la torsión.
El ángulo de torsión se representa con la fórmula:
θ = M l .GI0
Para piezas de sección circular:
− La Wt vale la fórmula: Wt π × R3 = 2 π × R 4
Y la I0 vale la fórmula:
I 0 = 2
Para anillos las fórmulas son:
π (R 4 − R 4 ) I 0 = 2 1 Wt 2 π (R 4 − R 4 ) = 2 1 2R2
Para el cálculo de árboles de transmisiones; Los árboles de transmisión son elementos que transmiten una potencia P, girando a una velocidad de rotación w.
Dado que: P = MT x w.
Tenemos la fórmula:
P M T = 7.162 × w , donde “Mt”, va en Kg por metro, “P” en CV y “w” en r. p.m.
En relación a ese momento torsor que se transmite al árbol habrá que dimensionar el árbol.
4.7. TENSIÓN EN PIEZAS SOMETIDAS A COMBINACIÓN DE ESFUERZOS.
Cuando una pieza está sometida esfuerzos que provocan tensiones normales sigma (σ ) y tensiones tangenciales tau (τ ), el criterio de validez de la sección del elemento, es aquel que consigue que cumpla la fórmula del criterio de Von Mises, que es la fórmula.
Formula:
2 2σ max ima + 3τ max ima ≤ σ admisible
4.8. TEOREMA DE MOHR.
Donde su enunciado dice que El ángulo que forman las tangentes a la elástica, o deformada de una viga, entre un punto X2 y otro X1 es igual al área de la ley de momentos flectores comprendida entre esos dos puntos, dividida por la rigidez E x I
5. CONCLUSIONES.
Como conclusión, vemos que hay que obtener las reacciones de los elementos a estudiar y posteriormente hacer los cálculos correspondientes a las tensiones que soporta para poder dimensionar la pieza correctamente.