INDICE
1.- INTRODUCCIÓN.
2.- FUNDAMENTOS DEL SISTEMA Y ELEMENTOS CONSTITUTIVOS.
2.1. Generalidades.
2.2. Representación del punto.
2.3. Representación de la recta.
2.4. Representación del plano.
3.- INTERSECCIÓN, PARALELISMO, PERPENDICULARIDAD Y DISTANCIAS
3.1. Intersección.
3.3. Paralelismo.
3.3. Perpendicularidad.
3.4. Distancias.
4.- VERDERAS MAGNITUDES. ABATIMIENTOS, GIROS Y CAMBIOS DE PLANO.
4.1. Abatimiento.
4.1.1. A. de un punto
4.1.2. A. de una recta.
4.1.3. A. de un plano.
4.2. Giros.
4.2.1. G. de un punto.
4.2.2. G de una recta.
4.2.3. G de un plano.
4.3. Cambios de plano.
4.3.1. C. de un plano.
4.3.2. C. de una recta.
4.3.3. C de un plano.
5.- APLICACIÓN PRÁCTICA: SECCIÓN PLANA, VERDADERA MAGNITUD, DESARROLLO Y TRANSFORMADA.
6.- CONCLUSIÓN.
BIBLIOGRAFÍA.
IZQUIERDO ASENSIO, F: Geometría Descriptiva. Ed. Dossat, Madrid.
SENABRE, JORGE : Dibujo Técnico. Ed. Edelvives.
FERRER, JOSÉ LUIS: Apuntes. Universidad Politécnica de Valencia.
1.- INTRODUCCIÓN.
¿En qué consiste el Sistema Diédrico de Representación? ¿Qué utilidad tiene en el campo de la Tecnología? , ¿Qué es un sección plana?, ¿Para qué sirve un abatimiento?… Estas y otras preguntas encontrarán respuesta a lo largo del desarrollo de este tema.
En primer lugar es importante saber que la Geometría Descriptiva es una ciencia antigua que ya el hombre se ha visto necesitado en ocasiones de expresar sus ideas gráficamente en dos dimensiones, siendo los cuerpos de tres dimensiones.
Por lo tanto, se define la GEOMETRÍA DESCRIPTIVA como la parte de la Ciencia Geométrica que trata de la representación de todas las formas geométricas con solo el auxilio de la Geometría Plana.
La Geometría Descriptiva engloba una serie de sistemas de representación, de los cuales mencionaremos por sus directas aplicaciones los siguientes:
§ El Sistema Diédrico, adoptado en el campo técnico.
§ El Sistema de Planos Acotados, de preferente aplicación topográfica.
§ Los Sistemas Perspectivos ( Axonométrico, Caballera y Cónico).
Al Sistema Diédrico también se le llama de Monge ya que fue D: Gaspar Monge
( fundador de la Escuela Politécnica de París y presidente del Instituto de El Cairo1746 – 1818) quién al observar las deficiencias del Sistema Acotado para representaciones de cuerpos de tres dimensiones y la dificultad de resolver cierto tipo de problemas, ideó añadir un segundo plano de proyección ( plano vertical) perpendicular al horizontal.
2.- FUNDAMENTOS DEL SISTEMA Y ELEMENTOS CONSTITUTIVOS
2.1. GENERALIDADES
Los elementos fundamentales de este sistema son los dos planos de protección, perpendiculares entre sí, denominado plano horizontal y plano vertical, que se cortan según una recta llamada línea de tierra del sistema.
Los planos de proyección dividen el espacio en cuatro regiones que se denominan primero, segundo, tercero y cuarto cuadrante, respectivamente.
El observador se supone siempre colocado en el primer cuadrante, delimitado por los semiplanos horizontal anterior y vertical superior. ( Fig. 2.1.1)
En este sistema se utilizan también a menudo los planos bisectores de los cuatro diedros , pero como estos diedros son, dos a dos, no existirán más que dos que se denominan Primer bisector que atraviesa el primero y tercer cuadrante y Segundo bisector que atraviesa el segundo y el cuarto.
Ahora bien, como el objeto de la Geometría Descriptiva es representar sobre un plano las figuras del espacio, se proyecta la figura dada sobre cada uno de los planos de proyección y se gira el plano vertical V alrededor de la línea de tierra, en el sentido indicado por las flechas, hasta hacerlo coincidir sobre el horizontal H, indicando como única línea de referencia la línea de tierra. ( Fig. 2.1. 2)
2.2. REPRESENTACIÓN DELPUNTO.
Dibujados los dos planos del sistema, consideramos un punto A del espacio y lo proyectamos ortogonalmente sobre aquellos. La condición general que deben de reunir sus proyecciones A1 y A2 es que el segmento que las une sea perpendicular a la línea de tierra.
Llamaremos cota del punto A a la distancia que lo separa del plano horizontal y alejamiento a la distancia que lo separa del plano vertical. ( Fig.2.1.2)
El conjunto de las proyecciones horizontales de los diversos puntos de una figura se denomina Planta, Proyección horizontal o Primera proyección, y el de las proyecciones verticales, Alzado, Proyección vertical o Segunda proyección.
Las proyecciones de un punto se escriben una a continuación de la otra, separadas por un guión, colocando en primer lugar la horizontal: A1 – A2.
2.2.1 Diversas posiciones del punto:
Fig. 2.2.1.
Podemos considerar 17 posiciones tipo que serán representativas de las infinitas posiciones del punto en el espacio con respecto a los planos de proyección y los planos bisectores. ( Fig. 2.2.1)
Observamos que las proyecciones de los puntos 3 y 11 del primer bisector equidistan de la línea de tierra.
Las proyecciones de los puntos 7 y 15 del segundo bisector están confundidas. El punto 17 está situado en la línea de tierra y tiene sus proyecciones confundidas en ella.
2.3 REPRESENTACIÓN DE LA RECTA.
Al venir definida una recta por dos de sus puntos, fácilmente se deducirá que para representarla, bastará unir las proyecciones homónimas de sus dos puntos.
A efectos de nomenclatura, una recta se designará en minúsculas latinas, y sus proyecciones sobre el horizontal y el vertical con idéntica letra afectada de los subíndices 1 y 2 respectivamente: r1 y r2
2.3.1. Puntos notables de la recta:
Los puntos notables de una recta son sus intersecciones o trazas con los planos de proyección y con los bisectores.
Para hallar la traza horizontal H1r – H2r de una recta, se prolonga su proyección vertical r2 hasta su intersección H2r con la línea de tierra y por este punto, se levanta una perpendicular a la línea de tierra hasta su intersección H1r con la otra proyección de la recta. Para la traza vertical se emplea un razonamiento análogo.
La traza horizontal y vertical Hr y Vr coinciden con las proyecciones H2r – V 1r no precisan de letra por encontrarse en la línea de tierra.
La traza M1 – M2 de una recta en el segundo bisector se determina por la intersección de sus dos proyecciones.
Para hallar la traza N1 – N2 de una recta en el primer bisector, se halla la simetría de una de las proyecciones de la recta, respecto a la línea de tierra, y su proyección con la otra proyección, nos determina una de las protecciones de la traza. (Fig. 2.3.1) y (Fig. 2.3.2)
2.4. REPRESENTACIÓN DEL PLANO.
Un plano queda definido por tres planos no alineados, por un punto y una recta, por dos rectas paralelas o por dos rectas que se cortan, siendo este último caso el más empleado en Descriptiva, utilizando para ello sus intersecciones o trazas con los planos de proyección.
La condición que deben reunir las trazas de un plano es que sean concurrentes en un punto de la línea de tierra.
No hay que olvidar que aunque con esta nomenclatura no se representa más que una proyección de la traza, la otra está situada siempre sobre la línea de tierra. Por consiguiente, para situar un punto A1 – A2 en la traza horizontal de un plano, se elegirá como proyección horizontal A1, un punto cualquiera y A2 en la línea de tierra. De modo análogo, el punto B1 – B2 de la traza vertical, tendrá su proyección horizontal B1 en la línea de tierra . (Fig. 2.4.1) .
Otros planos utilizados son: planos proyectantes (Fig. 2.4.2) y plano de perfil
(Fig. 2.4.3).
Recta contenida en un plano: Para que una recta esté contenida en un plano es preciso que sus trazas estén sobre las trazas homónimas del plano. (Fig. 2.4.4).
Horizontales y frontales del plano: Toda horizontal de un plano tiene su proyección horizontal paralela a la traza del mismo nombre del plano y su proyección vertical, paralela a la línea de tierra. (Fig. 2.4.5) ( r1 – r2)
La frontal de un plano tiene su proyección vertical paralela a la traza del mismo nombre del plano y su proyección horizontal, paralela a la línea de tierra. ( Fig. 2.4.5)
( S1 – S2) .
Recta de máxima pendiente: Es la recta contenida en el plano y perpendicular a su traza horizontal. ( Fig. 2.4.6).
3.- INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD.
3.1. INTERSECCIÓN.
Para que dos rectas se corten, la recta que une los dos puntos de intersección de las proyecciones homónimas de aquellas, debe ser perpendicular a la línea de tierra, es decir, deben tener un punto común. Cuando esta condición no se cumple las rectas se cruzan en el espacio. ( Fig.3.1.1).
La intersección entre dos planos vine dada por las intersecciones de sus trazas homónimas, o como máximo, cortándose una pareja de trazas, siendo las tras paralelas.
( Fig. 3.1 2 a) ( Fig. 3.1. 2 b).
La intersección entre una recta y un plano se efectuará de la siguiente manera:
· Se hace pasar por la recta r un plano auxiliar b .
· Se halla la intersección s del plano b con el dado.
· Se determina la intersección I entre las rectas r y s. ( Fig.3.1.3) .
3.2. PARALELISMO.
Si dos rectas son paralelas en el espacio, las proyecciones correspondientes también lo serán entre sí. ( Fig. 3.2.1) .
Para resultar dos planos paralelos, bastará con que uno de ellos contenga dos rectas ( trazas) del segundo plano. ( Fig. 3.2.2) .
Si una recta y un plano son paralelos, en éste podemos encontrar infinitas paralelas a la recta dada. ( Fig.3.2.3).
3.3. PERPENDICULARIDAD.
Si dos rectas son perpendiculares, una de ellas ha de encontrarse en un plano que sea perpendicular a la otra. ( Fig. 3.3.1).
Para que dos planos resulten perpendiculares, uno de ellos ha de contener una recta que sea perpendicular al otro. ( Fig.3.3.2).
Para que una recta sea perpendicular a un plano, ha de cumplirse que las proyecciones de la recta y las trazas del plano, sean entre sí perpendiculares. ( Fg.3.3.3).
4.- VERDADERAS MAGNITUDES. ABATIMIENTOS, GIROS Y CAMBIOS DE PLANO.
4.1. ABATIMIENTOS.
El abatimiento es un artificio que utilizamos para solucionar fundamentalmente dos tipos de problemas:
· Situar algún elemento en un plano.
· Hallar lo que contiene el plano en verdadera magnitud.
Abatir un plano sobre otro es hacerlo girar alrededor de la intersección de
los dos hasta que quede yuxtapuesto a él.
Solo se pueden abatir planos; si se abate un punto o un recta lo que se hace en realidad es abatir un plano que los contenga.
4.4.1. Abatimiento de un punto.
Para abatir un punto A sobre el plano vertical se traza desde su proyección vertical A2 la perpendicular A2M y la paralela A2 (A)1 a la traza vertical del plano. Sobre la paralela, a partir de A2 , se lleva un segmento igual al alejamiento del punto A2 (A)1 y se traza, con centro en M y radio M (A)1, un arco que cortará a la perpendicular citada en (A) y (A)2. La misma regla se emplea para abatir sobre el plano horizontal, sustituyendo alejamiento por cota. ( Fig. 4.1.1)
4.1.2. Abatimiento de una recta.
Para abatir una recta basta abatir dos puntos cualesquiera de ella. Para mayor facilidad se procurará que uno de ellos sea la traza de la recta perteneciente a la charnela A1 puesto que, por pertenecer al eje de giro, no variará durante el abatimiento. Abatiendo luego un punto cualquiera C1-C2 se obtiene en (A) (C) la recta abatida.
En general, resulta practico utilizar la traza abatida del plano y abatir luego horizontales o frontales del plano, sirviendo estas de líneas auxiliares para abatir puntos determinados ( es el método más empleado en el abatimiento de figuras planas). El abatimiento de la traza V se realiza a partir de un punto contenido en ella ( en este caso B2),
Para lo cual trazaremos, desde B1 la perpendicular a la charnela, y desde O como centro, con radio OB2 trazaremos un arco que corta a B1 en (B) que es el abatimiento pedido.
4.1.3. Abatimiento de un plano.
Nunca interesa obtener el batimiento de un plano, considerado en sí como tal superficie plana únicamente, sino abatir los puntos, rectas o figuras geométricas que pueda contener dicho plano.
Aplicación a la determinación de la verdadera magnitud de un polígono.
( Fig. 4.1.3).
4.2. GIROS.
En este método se persigue variar la posición, con respecto a los planos de proyección, de los elementos que tengan que relacionarse entre sí hasta conseguir una proyección más cómoda para trabajar en ellos. Esta variación no debe cambiar la relación existente de distancia y posición en el espacio de los elementos a mover.
Es preciso tener en cuenta los siguientes conceptos para un mejor entendimiento de los giros.
§ Un punto cuando gira alrededor de una recta lo según una circunferencia de radio la distancia del punto a la recta.
§ La circunferencia se encuentra contenida en un plano perpendicular por el punto a la recta.
§ El centro de la circunferencia es el punto de intersección de la recta (eje) con el plano trazado.
4.2.1. Giro de un punto.
Para hallar las nuevas proyecciones A’1 – A’2 de un punto A1 – A2 que gira un ángulo a alrededor de un eje perpendicular al vertical, en el sentido de la flecha, se describe con centro en la traza vertical e2 del eje, un arco de circulo que pase por la proyección vertical A2 del punto; se mide el ángulo a, a partir de este, en el sentido indicado, y su extremo A’2 será la proyección vertical pedida; refiriendo esta a la paralela a la línea de tierra, trazada por la otra proyección A1 del punto, obtenemos la proyección horizontal A’1. ( Fig. 4.2.1) ( Fig. 4.2.2).
4.4.2. Giro de una recta.
Si la recta no corta al eje de giro se emplea el método de la perpendicular C1– C2 común al eje de la recta dada. La marcha a seguir será:
Trazar desde e1 la perpendicular e1C1 a r1. Con centro en e1 y radio e1C1, describir una circunferencia y girar el radio un ángulo a, lo que nos da el punto C’1C’2 fijado. L tangente r’1 a la circunferencia en C’1 es la nueva proyección horizontal de la recta girada.
Para hallar la nueva proyección vertical r’2 tomaremos un punto cualquiera B1– B2 de r1 – r2 y lo giraremos, con el arco e1B1, hasta su intersección B’1 con r’1. (Fig. 4.2.2 a).
Si la recta corta al eje, al girar un ángulo a el punto A1– A2 no variará por pertenecer al eje de giro, luego giraremos la traza horizontal Hr y describirá el arco Hr – H’r = a .
La nueva posición de la traza y el punto nos determinarán las proyecciones r’1 y r2 de la recta girada. (Fig. 4.2.2 b)
4.2.3. Giro de un plano.
El método más utilizado es girar la traza horizontal y una horizontal del plano, en el caso de eje vertical (o la traza vertical y una frontal si el eje es una recta de punta).
(Fig. 4.2.3).
4.3. CAMBIOS DE PLANOS.
Así como en giros se varían los elementos para conseguir una posición óptima con respecto a los planos de proyección, en cambio de plano se persigue el mismo fin solo que, lo que se mueve son los planos de proyección, manteniendo la ortogonalidad entre ambos.
4.3.1. Cambo de plano en un punto.
Por medio de un solo cambio, un punto puede quedar en el diedro en el que estaba o pasar a otro contiguo. Pero si se efectúan dos cambios, puede colocarse en el diedro opuesto.
Cambio de un punto del primer cuadrante, a otra posición del mismo: se puede variar, indistintamente, el plano horizontal o el vertical.
4.3.2. Cambio de plano de una recta.
Para conseguir el cambio de una recta, bastará con efectuar esta operación con una pareja de sus puntos, preferentemente sus trazas.
Cambio de una resta, de oblicua a paralela al horizontal: tomaremos la nueva LT paralela a r y cambiaremos sus trazas ( ello implicará variación del horizontal y, por lo tato, de la proyección horizontal de la recta).
4.3.3. Cambio de un plano.
Para llevar a efecto el cambio de un plano, generalmente se realiza cambiando una recta ( que puede ser una traza) y un punto exterior ( que puede ser otra traza).
Si variamos el plano vertical, de una posición de oblicuidad a tra, la traza horizontal será la misma. La nueva traza vertical pasará por el cambio V’2 de un punto V2 de ella, y por el punto M de la intersección con el plano horizontal y la línea de tierra.
5. APLICACIÓN PRÁCTICA. SECCIÓN PLANA, VERDADERA MAGNITUD, DESARROLLO Y TRANSFORMADA.
Entendemos por sección plana de una superficie, a la figura poligonal o curva producida en dicha superficie por la intersección de un plano. Esta sección puede obtenerse con rectas ( intersección del plano con cada una de las caras) o por puntos (intersección del plano con aristas generatrices).
Frecuentemente se precisa conocer la verdadera magnitud de la sección que se corresponderá con la verdadera forma y dimensiones de la misma, obtenida por abatimiento sobre los planos de proyección o sobre paralelos a ellos.
Llamaremos desarrollo de una superficie a la forma que adopta ésta al extenderla sobre un plano, una vez abierta por unas determinadas aristas.
La transformada de un sección es la línea poligonal o curva que materializa la sección en el desarrollo, y que es resultado de unir los puntos de dicha sección.
6. CONCLUSIÓN.
La Geometría Descriptiva, en el que se ubica el Sistema Diédrico, es la forma de expresión gráfica utilizada en el mundo de la técnica.
El Sistema Diédrico, objeto de estudio, es el más elaborado y difundido, por haber encontrado en él la ingeniería y la arquitectura, un medio de expresión completo, preciso y universal.
Introducir al alumno en el conocimiento de este lenguaje es el objetivo que justifica esta materia, ya que nos conduce al desarrollo de la inteligencia espacial, además de permitirnos la representación objetiva de las formas tanto planas como voluminosa.