1 INTRODUCCIÓ
2 SISTEMES DE NUMERACIÓ
2.1 SISTEMA BINARI
2.2 sistema octal
2.3 SISTEMA HEXADECIMAL
3 CODIS
Numèrics (bcD Jhonson, Grey)
Alphanumèrics (ASCII, IBM…)
Codis detectors d’errors, bits de paritat, correctors d’errors, haming …
quadre deCIMALS CODIFICATS EN BINARI (BCD) (BCDnatural 8421, BCDAiken2421, BCD5421, Excés 3)
4 FUNCIÓ LLÒGICA I BOLEANA
4.1 Què és una funció llògica ?.
4.2 Diferents FORMes de representació d’una funció
Una funció es pot representar en forma de MINTERNS o MAXTERNS.en forma NO CANONICA o CANONICA o en Expresió numèrica
4.3 FUNCIONS BÀSIQUES
4.3.2 Funció NOT
4.3.3 Funció AND
4.3.4 Funció OR
ALTRES FUNCIONS BÀSIQUES
4.4.4 Funció NAND (no i)
4.4.5 Funció NOR (no o)
4.4.6 Funció OR exclusiva
4.4.7 Funció OR exclusiva negada
5 ALGEBRA DE BOOLE
5.1 POSTULATS DE L’ALGEBRA DE BOOLE
5.2 PROpIETATS
5.3 TEOREMES
5.4 LLEIS DE MORGAN
6 mètodes de simplificació
6.1 simplificació per aLGEBRA BOLEANA.
6.2 SIMPLIFICACIÓ PER KARNAUGH mirar exemple.
6.3 SIMPLIFICACIÓ PEL MÈTORS QUINE – MC CLUSKEY. mirar exemple.
7 CIRCUITS COMBINACIONALS
7.1 codificadors
7.2 decodificadors
7.3 multiplexors
7.4 demultiplexors
7.5 comparadors
7.6 CIRCUITS ARITMÈTICS.
7.6.1 SUMA I RESTA BINÀRIA
7.6.2 CIRCUITS SUMADORS
SEMISUMADOR
sumador total.
1 INTRODUCCIÓ
Els sistemes digitals actuen sota el control de variables discretes, es a dir, que poden agafar un nombre finit de valors.
Normalment s’utilitzen variables binàries , ja que es fàcil realitzar components físics amb dos estats diferenciats.
Tant si es treballa en procés de dades com en control industrial, els sistemes digitals han de realitzar operacions amb número discrets. Aquests números poden representar-se en diferents sistemes de numeració que es diferencien per la base. La base d’un sistema de numeració és la quantitat de símbols diferents utilitzats per representar les quantitats.
Per tant en el sistema més utilitzat en la realització de sistemes digitals és el de base dos o binari, en el qual existeixen dos símbols: el 0 i el 1.
En lògica positiva H=1 L=0 en lògica negativa H=0, L=1.
Dins el sistema binari existeixen diferents maneres de codificar la informació, se’ls anomenen codis binaris.
2 SISTEMES DE NUMERACIÓ
N expressat en base b tindrà la forma:
N = anbn+an-1 bn-1+…+a1b1+a0b0+a-1 b-1 +…+a-p b-p
I la representació d’aquest número serà:
N=an an-1…a1 a0, a-1 a-2…a-p
ex) 135’72 10 = 1.102+3.101+5.100+7.10-1 +2.10-2
37.548= 3.81 +7.80 +5.8-1+ 4.8-2+ 8.8-3
11101.101 = 1.24+1.23+1.22+0.21+1.20+1.2-1+0.2-2+1.2-3
2.1 SISTEMA BINARI
S’utilitzen dos símbols 0 , 1 que s’anomenen bits.
La utilització gairebé exclusiva d’aquest sistema de numeració en els equips de càlcul i control automàtics, és deguda a la seguretat i velocitat de resposta dels elements físics que tenen dos estats diferenciats i a la simplicitat de les operacions aritmètiques, que compensen la necessitat d’utilitzar major nombre de xifres (per a representar la mateixa quantitat) en els sistemes de base major que dos.
CONVERSIÓ BINARI DECIMAL
ex) 1110’112 = 1.23 + 1.22 + 1.21 + 0.20 + 1.2-1 + 1.2-2 = 8+ 4 + 2+ 1/2 + 1/4 = 13’7510
quocient residu
524:2 262 0
262:2 131 0
131:2 65 1
65:2 32 1
32:2 16 0
16:2 8 0
8:2 4 0
4:2 2 0
2:2 1——————– 0
Per tant: 5240 = 10000011002
2.2 sistema octal
Interessa aquest sistema principalment perquè la conversió al sistema binari és molt senzilla ja que 23=8.
38 = 0112
58 = 1012
358 = 111012
Es poden agafar els nombres en grups de 3 i buscar el seu equivalent decimal.
2.3 SISTEMA HEXADECIMAL
Semblant a l’octal, ja que la conversió al binari és directa per ser 24 = 16.
Utilitza 16 símbols diferents 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Es poden agafar els nombres en grups de 4 i buscar el seu equivalent decimal.
9A7E16=1001 1010 0111 11102
La següent taula mostra l’equivalència entre els setze primers números en binari ,decimal, octal i hexadecimal (es tracta del codi binari natural de 4 bits).
BINARI | DECIMAL | OCTAL | HEXADECIMAL |
0000 | 0 | 0 | 0 |
0001 | 1 | 1 | 1 |
0010 | 2 | 2 | 2 |
0011 | 3 | 3 | 3 |
0100 | 4 | 4 | 4 |
0101 | 5 | 5 | 5 |
0110 | 6 | 6 | 6 |
0111 | 7 | 7 | 7 |
1000 | 8 | 10 | 8 |
1001 | 9 | 11 | 9 |
1010 | 10 | 12 | A |
1011 | 11 | 13 | B |
1100 | 12 | 14 | C |
1101 | 13 | 15 | D |
1110 | 14 | 16 | E |
1111 | 15 | 17 | F |
3 CODIS.
Ens permeten l’elaboració i transmissió d’informació.
Poden ser:
· Numèrics (BCD, cíclic (entre dos combinacions adjacents sol canvia 1 bit), Johnson , Gray)
· Alphanumèrics. El codi ASCII (American Standatd Code for Information Interchange) i el codi de IBM 127 simbols en total que equivalen a 7 bits.
· Codis detectors i correctors d’error ( Haming, bit de paritat…).
ex) deCIMALS CODIFICATS EN BINARI (BCD)
La informació processada per qualsevol sistema digital ha de convertir-se finalment al sistema decimal perquè pugui ser interpretada amb major facilitat. Per això utilitzem els codis BCD, perquè la conversió és directa dividint el nombre binari en grups de 4 bits.
En aquests codis sempre que puguem obrir un nº a l’esquerra l’obrim.
En el BCD exés 3 és el mateix que el natural però sumant 3.
El BCD Aiken i el BCD exés 3 són autocomplementaris, això vol dir que d’un nº en podem obtenir l’altre del costat oposat de la taula simplement canviant zeros per uns. ex) del 0 (0000) a 9 (1111), del 1(0001) a 8 (1110), del 2 (0010) al 7 (1101)
DECIMAL | BCD NATURAL | BCD AIKEN | BCD | BCD exés 3 |
8421 | 2421 | 5421 | (no és ponderat, sense pes) | |
0 | 0000 | 0000 | 0000 | 0011 |
1 | 0001 | 0001 | 0001 | 0100 |
2 | 0010 | 0010 | 0010 | 0101 |
3 | 0011 | 0011 | 0011 | 0110 |
4 | 0100 | 0100 | 0100 | 0111 |
5 | 0101 | 1011 | 1000 | 1000 |
6 | 0110 | 1100 | 1001 | 1001 |
7 | 0111 | 1101 | 1010 | 1010 |
8 | 1000 | 1110 | 1011 | 1011 |
9 | 1001 | 1111 | 1100 | 1100 |
4 FUNCIÓ LLÒGICA I BOLEANA
4.1 Què és una funció llògica ?.
Una funció lògica és tota variable binària el valor de la qual depèn d’una relació algebraica formada per altres variables binàries relacionades mitjançant els signes + i/o x.
Ex) F=a.b+b.c
F és una funció, es a dir una variable binària, que pot valer 0 o 1 depenent de les variables a, b i c i els resultats de F per cadascuna d’elles tenim la taula de la veritat de la funció.
Com per exemple la següent:
a | b | c | F |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
La següent operació és la simplificació i l’implementació amb portes lògiques.
4.2 Diferents FORMes de representació d’una funció
Una funció es pot representar en forma de MINTERNS o MAXTERNS.
Un Mintern és la representació d’una funció en forma de suma de productes.
Un Maxtern és la representació d’una funció en forma de producte de sumes.
Si en la representació de la funció No apareixen totes les variables (negades o no) en cada un dels termes : direm que és una forma NO CANONICA.
Si en la representació de la funció SI apareixen totes les variables (negades o no) en cada un dels termes : direm que és una forma CANONICA.
Una altra forma de representació és a través de la seva representació numèrica: Expresió numèrica d’un funció f=sumatori 4 (2, 4 , 11, 15).
4.3 FUNCIONS BÀSIQUES
Són les següents:
4.3.2 Funció NOT
4.3.3 Funció AND
4.3.4 Funció OR
ALTRES FUNCIONS BÀSIQUES
4.4.4 Funció NAND (no i)
4.4.5 Funció NOR (no o)
4.4.6 Funció OR exclusiva
En general nº parells d’uns = 0, nº imparell d’uns = 1.
4.4.7 Funció OR exclusiva negada
5 ALGEBRA DE BOOLE
Una àlgebra està formada per unes variables anomenades binàries, que poden prendre dos valors diferents: 0 i 1, vertader/fals, obert/tancat, on/off.
És fàcil construir circuits elèctrics d’àlgebra de Boole per la facilitat que hi ha de trobar components o equips amb dos funcionaments diferenciats: díodes, transistors, làmpades, motors etc…
5.1 POSTULATS DE L’ALGEBRA DE BOOLE
a+1=1 |
a+0=a |
a+a=1 |
a+a=a |
a.1=a |
a.0=0 |
a.a=a |
a.a=0 |
a=a |
5.2 PROpIETATS
Commutativa | a+b=b+a | a.b=b.a |
Associativa | (a+b)+c=a+(b+c) | (a.b).c=a.(b.c) |
Distributiva | a.(b+c)= (a.b)+(a.c) | a+(b.c)=(a+b).(a+c) |
5.3 TEOREMES
Pea a demostració n’hi ha prou amb fer les taules de la veritat i observar que coincideixen.
a+a.b=a |
a.(a+b) = a |
a + (a.b) = a+b |
b.(a +b) = a.b |
5.4 LLEIS DE MORGAN
a + b = a.b |
a.b = a + b |
6 mètodes de simplificació
6.1 simplificació per aLGEBRA BOoLEANA.
6.2 SIMPLIFICACIÓ PER KARNAUGH
6.3 SIMPLIFICACIÓ PEL MÈTORS QUINE – MC CLUSKEY.
7 CIRCUITS COMBINACIONALS
Un circuit combinacional és aquell format per funcions lògiques que té un determinat nombre d’entrades i sortides.
El valor de les sortides depèn únicament del valor de les entrades i de la constitució interna.
Són: codificadors, decodificadors, multiplexors, demultiplexors i comparadors.
7.1 codificadors
Un codificador és un circuit combinacional format per 2n entrades i n sortides La seva funció és la de donar a la sortida la combinació binària corresponent al nº de l’entrada activada. Es poden activar a la vegada diverses entrades, aleshores s’estableix un ordre de prioritats que generalment és per ordre de pes, més prioritat el bit de major pes o més prioritat el bit de menor pes.
Ex) Codificador de 4 entrades actives per nivell alt, amb prioritat el bit de major pes i sortides també actives per nivell alt.
ENTRADES | sortides | ||||
a3 | a2 | a1 | a0 | S1 | S0 |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | x | 0 | 1 |
0 | 1 | x | x | 1 | 0 |
1 | x | x | x | 1 | 1 |
7.2 decodificadors
Realitzen la funció inversa del codificador. Presenten n entrades i 2n sortides. El decodificador activa una de les sortides d’acord a la combinació binària d’entrada.
Ex) La taula de la veritat d’un decodificador de 2 entrades actives per nivell alt i sortides actives a nivell baix és:
ENTRADES | sortides | ||||
a1 | a0 | S3 | S2 | S1 | S0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
7.3 multiplexors
Són circuits combinacionals amb el que es pot enviar per un canal de sortida la informació present en el canal d’entrada seleccionat. Per n entrades de selecció es poden activar 2n entrades. Existeixen també multiplexors de paraules, que envien a la sortida una de les paraules que tenen a l’entrada.
7.4 demultiplexors
Realitzen la funció inversa dels multiplexors, una sola entrada que a partir d’uns terminals de selecció es passa a una de totes les possibles sortides.
No existeix integrat però es pot construir fàcilment a través d’un decodificador.
Passa la informació que entra pel terminal I a la sortida seleccionada pels terminals Cs0 i Cs1.
7.5 comparadors
Són circuits combinacionals que reben dos paraules de n bits a les entrades i detecten si són iguals o no i en aquest cas quina és major.
Per ex) el 7485 es un comparador de paraules de 4 bits, amb la possibilitat de connexió en cascada.
Taula de la veritat d’un comparador senzill:
SORTIDES | |||
A>B | A=B | A<B | |
A>B | 1 | 0 | 0 |
A=B | 0 | 1 | 0 |
A<B | 0 | 0 | 1 |
7.6 CIRCUITS ARITMÈTICS.
El circuit aritmètics són circuits combinacionals, es a dir circuits construïts amb portes lògiques on la sortida depèn únicament del l’estat lògic de les entrades i que serveixen per a realitzar operacions matemàtiques.
Bàsicament els circuits aritmètics realitzen una suma binària, i es poden modificar per a realitzar restes (la modificació consisteix en realitzar la conversió del nombre a restar segons la regla del complement a un o del complement a dos, i després es realitza la suma. També podrem realitzar multiplicacions (com successives sumes) i divisions (com successives restes).
7.6.1 SUMA I RESTA BINÀRIA
mirar exemple
7.6.2 CIRCUITS SUMADORS
El circuit sumador més senzill s’anomena SEMISUMADOR ,i és un circuit per sumar dues paraules d’un bit cadascuna. A continuació s’exposa la taula de la veritat, el resultat de les funcions i el circuit.
a | b | S = a b | C= a_b |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 |
El bit C s’anomena carry o transport
Es pot utilitzar aquest circuit per a sumar més d’un bit, utilitzant-lo diverses vegades, en cascada, i per tant ha de poder sumar dos bits i el carry que s’hagi produït en l’etapa anterior.
Aquest circuit és el sumador total.
a | b | Co | S | Carry C1 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
S = a bCo
La funció C1 simplificada per Karnaugh i convertida a portes NAND queda:
C1=a0..b0+ a0.C0+ b0.C0
Aquest circuit tampoc és massa pràctic, llavors s’utilitzen els D.S.T (Doble sumador total), Q.S.T.’s (Quadruple sumador total), que serveix per a sumar números de 2 i 4 bits respectivament.
Un exemple típic del QST és el 7483, es tracta d’un sumador complert que realitza l’addició de dos nombres binaris de 4 bits, amb un carry d’entrada, i que presenta 4 bits de sortida de resultat i carry de sortida.