Tema 22 – El aprendizaje de los números y el cálculo numérico. Números naturales, enteros, fraccionarios y decimales. Sistemas de numeración. Relación entre los números. Operaciones de cálculo y procedimientos del mismo (cálculo escrito, mental, estimación y calculadora). Intervención educativa.

A. DESARROLLO.

1. INTRODUCCIÓN.

2. EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO.

2.1. El aprendizaje de los números.

2.2. Usos del número.

2.3. El cálculo numérico.

3. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES.

3.1. Números naturales.

3.2. Números enteros.

3.3. Números fraccionarios.

3.4. Números decimales.

4. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

4.1 El sistema de numeración decimal.

5. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS.

6. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA).

6.1. Cálculo escrito.

6.2. Cálculo mental.

6.3. Estimación.

6.4. Calculadora.

7. INTERVENCIÓN EDUCATIVA.

8. COMENTARIOS FINALES.

B. RECURSOS.

9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

10. REFERENCIAS WEB.

A. DESARROLLO.

1. INTRODUCCIÓN.

La educación es uno de los factores que más influye en el avance y progreso de personas y sociedades. Además de proveer conocimientos, la educación enriquece la cultura, el espíritu, los valores y todo aquello que nos caracteriza como seres humanos.

En las economías modernas el conocimiento se ha convertido en uno de los factores más importantes de la producción. Las sociedades que más han avanzado en lo económico y en lo social son las que han logrado cimentar su progreso en el conocimiento, tanto el que se transmite con la escolarización, como el que se genera a través de la investigación.

El estudio de los sistemas numéricos ha sido históricamente una parte esencial de la educación matemática desde los primeros niveles. Esto es así porque toda la matemática que se estudian en la enseñanza obligatoria está cimentada en los sistemas numéricos: el conteo, las medidas de magnitudes y los datos estadísticos no son otra cosa que números. Esta caracterís-tica explica que la comprensión de los números, de las operaciones aritméticas y la adquisición de destrezas de cálculo formen el núcleo de la enseñanza de las matemáticas en la educación primaria.

La Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la Mejora de la Calidad Educativa (en adelante LOMCE), recoge en su artículo 17, un objetivo (perteneciente a los objetivos generales de etapa) vinculado con esta área: g) Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana.

A continuación y a lo largo del tema abordaremos los contenidos relacionados con los números y el cálculo numérico, los números naturales, enteros fraccionarios y decimales, así como los sistemas de numeración, tal como son tratados en educación primaria.

1. EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS Y EL CÁLCULO NUMÉRICO.

1.1 El aprendizaje de los números.

En el Real Decreto 126/2014, De 28 de Febrero, Currículo Básico Educación Primaria, se establecen bloques de contenidos referido al área de matemáticas. De ellos, el que se relaciona con esta temática es el Bloque 2. Números.

El aprendizaje de los números y las operaciones en Primaria pretende el desarrollo del sentido numérico, es decir, el dominio reflexivo de las relaciones numéricas. Descomponer números, comprender y utilizar la estructura del S.N.D, utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellos para realizar cálculos mentales.

Para la adquisición del concepto de número se utilizará una serie de variedad de materiales. La construcción de la noción de número y de las operaciones que puedan realizarse con ellos, han sido sin duda, formalizaciones matemáticas de extraordinaria importancia para la humanidad.

Como conocimientos matemáticos, los números y las operaciones numéricas son elementales, por tanto, sirven de elementos básicos para posteriores conocimientos. Por otra parte, responden a necesidades e intereses de los niños de estas edades, para los que tienen también un valor funcional.

Para el aprendizaje de los números es necesario contar con materiales suficientes que favorezcan el proceso de adquisición de su concepto (nortes, 1993). Para la fase prenumérica podemos contar con:

o Los bloques lógicos de Dienes: es el material didáctico más utilizado en la fase prenumérica en actividades de agrupamiento, clasificación y relaciones de coordinabilidad. Consta de 48 piezas de madera o plástico fácilmente manipulables que atienden a cuatro atributos: Forma, tamaño, color y grosor.

o Los números de lija: que son tablillas de madera que tienen pegados los números hasta el 9 recortados en papel de lija, de tal modo que al pasar el dedo por encima se llega a reconocer y memorizar el aspecto gráfico.

o Dominós: Son rectángulos de plástico. Madera o cartón divididos en dos partes, en una hay un número (del 1 al 9) y en la otra una serie de puntos, consistiendo el juego en buscar la ficha cuyo número se corresponde a la serie de puntos de la ficha dada.

o Puzzles de sumas o restas: Son rectángulos divididos en dos partes mediante un corte irregular presentando en una parte una suma o resta indicada y en la otra el resultado.

o El ábaco: consta de un soporte de madera y de una serie de varillas metálicas paralelas colocadas vertical u horizontalmente y ensartadas por bolas. Cada una de estas varillas representa un orden de unidades que en el sistema decimal serían las unidades, decenas, centenas…

1.2 Usos del número.

Los números han de ser utilizados en diferentes contextos, los niños/as usan los números con múltiples propósitos.

Gómez (1993) señala como usos del número los siguientes:

a) Para contar: contar es una función cotidiana del número, puede ser enfocada para contar a secas, para contar cosas, en busca de la propiedad numérica de los conjuntos (cardinal)… Ejemplo. “Familia”- Cuántos somos versus el “Orden” que ocupa, los “Papás” antes que los hijos.

b) Para numerar: Numerar o asignar números al os objetos es una función utilitaria del número. Se puede enfocar a diversos propósitos:

– Para identificar (Por ejemplo, el número del DNI).

– Para diferenciar, localizar, seleccionar resortes (por ejemplo, las teclas del teléfono).

– Para ubicar (por ejemplo, en la 5ª estantería).

c) Para medir:

– Con el fin de describir medidas (por ejemplo, la fuerza del viento).

– Con el fin de clasificar (por ejemplo, los kilates de oro).

– Para puntuar.

d) Para operar: suma, resta… combinando los números para dar números nuevos.

2.3. El cálculo numérico.

Gran parte de la matemática está dedicada a enseñar a los niños cómo realizar los cálculos con las cuatro operaciones básicas, los algoritmos de cálculo.

En todo algoritmo están implícitas dos cuestiones íntimamente relacionadas: notación y procedimiento. Lo característico de los algoritmos es la repetición, de una serie de pasos elementales y sencillos de recordar.

2. NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, FRACCIONARIOS Y DECIMALES.

2.1 Los números naturales.

Los números naturales son un sistema estudiado en aritmética, en el cual el conjunto de objetos es el conjunto {0.1.2.3.4.5.—}; tienen como relaciones de orden “menor o igual que”, “mayor o igual que”, simbolizado como ≤, ≥ respectivamente y como operaciones fundamentales la suma y el producto { +, x}. El conjunto de los números naturales se identifica con la letra N, es decir:

N= {0,1,2,3,4,5,…}.

Los números naturales se pueden ubicar en una semirrecta de modo que a cada número le corresponde de un punto de la semirrecta. Por tal efecto, se escoge el origen de la semirrecta como el punto correspondiente a cero y a partir de él se ubican, en orden, los números: 1,2,3,4,…

En el contexto escolar es conveniente que se trate el número cero como un número más y no se trasmita la sensación de que es una entidad extraña dentro de los números naturales. Castro y Castro (2001).

En primer lugar, desde el punto de vista del desarrollo histórico de la numeración el cero fue la última cifra que se incorporó en los sistemas de numeración para expresar la ausencia de un determinado valor de posición. Otra peculiaridad del número cero que puede crear dificultades en el aprendizaje es que no tiene significado en la mayoría de los contextos de uso del número, o si lo tiene no es fácil de entender. Veamos (Castro y Castro, 2001):

Figura 1. Características del número cero.

2.2 Los números enteros.

Son números creados para referirse a situaciones en las que se marca un origen que se considera valor 0= que provoca un antes y un después, un delante y un detrás, un arriba y abajo (MEC, 2007).

Siguiendo a Vargas-Machuca et al. (1990), los números negativos hicieron su aparición en el terreno algebraico y se intentó en numerosas ocasiones encajar esas nuevas ideas con las que ya se conocían.

El número entero permitía completar en determinados aspectos el campo de resolución de ecuaciones; dar solución a los problemas geométricos de representaciones gráficas así como a los relacionados con las magnitudes dirigidas u orientadas; completar la estructura de orden sin primer ni último elemento; etc.

Siguiendo a González (2001), la palabra “número” refiere a un objeto matemático y se utiliza el símbolo matemático correspondiente. Con el término números enteros nos referimos al os elementos del conjunto Z (…, -2.-1, 0, +1, +2…).

Figura 2. Los números enteros (MEC, 2007).

2.3 Los números fraccionarios.

Una definición más amplia de fracción considera que tanto a como b son expresiones numéricas que en ocasiones pueden ser sencillas como números naturales, por ejemplo, 2/7, o enteros, como -2/3.

SECUENCIA PARA LA ENSEÑANZA DEL CONCEPTO DE FRACCIÓN

Linares y Sánchez (1988), destacan los siguientes puntos del concepto de fracción:

0. Unidad: identificar el número, mayores o menores.

1. Partes de una unidad usando materiales concretos.

2. Nombres orales para partes de la unidad.

3. Escribir fracciones para representar partes de la unidad.

4. Representar fracciones con dibujos.

5. Ampliar la noción de fracción.

3.4. Los números decimales.

En la escritura en forma decimal de un número como 2,88 hay dos partes separadas por una coma. La parte que se encuentra a la izquierda de la coma, 2, es la parte entera e indica el número de unidades enteras, y la parte situada a la derecha de la coma, 88, es la parte decimal que indica el número de unidades decimales (Castro, 2001).

A continuación, y basado en Castro (2001) se presenta una figura con los valores y nombre de las cifras del número 2,88:

Figura 3. Valores y nombre de las cifras del número 2,88 (basado en castro, 2001).

La notación decimal se utiliza en una gran variedad de situaciones. Las expresiones decimales surgen en los siguientes contextos.

La utilización de los números decimales se realiza en los siguientes contextos:

– Medida. Cuando se quiere expresar la medida de una cantidad menor que la unidad.

– División entera. Esto ocurre cuando se quiere expresar el resultado de un reparto. Ejemplo: dividir la medida de un ángulo en tres partes.

– Calculadoras y ordenadores. Estos aparatos representan las fracciones y los números irracionales en forma decimal por lo que su uso fuerza a trabajar con las expresiones decimales.

3. SISTEMAS DE NUMERACIÓN.

Un sistema de numeración es un sistema de representación y la forma más elemental de realizarla es mediante un conjunto de puntos o trazos, tantos como unidades tiene el número. (Castro y Castro, 2001), por ejemplo:

●●●●● Representación simple del número cinco.

Una segunda idea importante que facilita el recuento de los objetos es agrupar los trazos en bloques de igual número de elementos que se escriben separados, por ejemplo:

●●●●● ●●●●● ●●●●●

Cualquier número mayor o igual que 2 puede ser la base de un sistema de numeración. La elección del número que actúe de base ha estado marcada históricamente por criterios de utilidad práctica. Además de la base diez, a lo largo de la historia se han utilizado otras bases, como la base 60, la base 12… (Castro y Castro, 2001).

Ante la necesidad de escribir los números de forma simbólica, surge la posibilidad de designar las unidades de distinto orden con un signo. Esto es lo que ocurrió, por ejemplo, en el sistema de numeración egipcio, que utiliza la base 10 y símbolos para la unidad, para diez, para cien y para mil.

En el sistema de numeración romano, que tiene también como base el número 10 utiliza los siguientes símbolos: I para la unidad, X para diez, C para cien…

En el sistema de numeración decimal los signos son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Estos mismos signos se utilizan además para desempeñar la función de indicar el número de cada potencia de la base que interviene en la representación del número.

4.1. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.

El sistema de numeración decimal es un conjunto finito de signos, reglas, convenios que permitan representar la serie infinita de los números naturales.

Por ello, en nuestro sistema, los distintos órdenes son las sucesivas potencias de diez que reciben nombres especiales: unidad, decena, centena, unidad e millar, decena de millar… lo que facilita la lectura de números de muchas cifras.

Las características del sistema decimal son las siguientes:

– La base del sistema es diez y se escribe 10.

– Todo número es suma de potencias de base.

– Una cifra a la izquierda de otra representa potencias de la base inmediata, superiores.

– Cada unidad de un orden equivale a diez unidades del orden inferior.

– Para expresar la carencia de unidades de cualquier orden se emplea el cero, 0.

4. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS.

Maza (2001) señala que con las operaciones aritméticas no sólo se describe la realidad circundante, sino que se actúa sobre ella, transformándola. Las operaciones de adición y sustracción de números naturales como objetos matemáticos se pueden definir a partir de las operaciones de unión y diferencia de conjuntos. Se adopta una definición matemática de la sustracción una que la hace depender de la adición:

“Dados dos números naturales a, b se cumplirá a-b=c cuando exista un número natural c tal que se cumpla b+c =a”.

A continuación se presenta las propiedades de la suma y de la multiplicación, como formas de establecer relaciones entre los números.

En el documento Propiedades de la suma (2007) se indica que la suma tiene tres propiedades. Las propiedades son conmutativas, asociativas y elemento neutro.

a) Propiedad conmutativa: cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo: 5+1 = 1+5.

b) Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo: (2+3) + 4 = 2 + (3+4)

c) Elemento neutro: la suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por ejemplo: 5+ 0 = 5

La multiplicación de números naturales tiene las siguientes propiedades (Castro, 2001):

a) Propiedad conmutativa. El producto de dos números es el mismo independientemente el orden en que se coloquen los factores. Escrito de forma simbólica: a x b = b x a.

b) Propiedad asociativa. El producto de tres números a, b, c, en un orden determinado a x b x c puede realizarse de dos formas:

– Primera: (a x b) x c multiplicando los dos primeros a x b y lo que resulte por el tercero.

– Segunda: a x ( b x c) multiplicando los dos últimos b x c y lo que resulte por el primero, a; en ambos casos se obtiene el mismo resultado.

c) Elemento neutro: Todo número multiplicado por 1 es igual a dicho número.

d) Propiedad distributiva. La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición se refiere a: a x (b+c) = (a x b) + (a x c)

5. OPERACIONES DE CÁLCULO Y PROCEDIMIENTOS DEL MISMO (CÁLCULO ESCRITO, MENTAL, ESTIMACIÓN Y CALCULADORA).

Las operaciones aritméticas son entendidas como la abstracción del proceso mediante el cual se producen transformaciones numéricas.

La comprensión de las operaciones va más allá de la constatación empírica de sus resultados. En el proceso de su enseñanza y aprendizaje, se tendrá en cuenta que requiere. Así pues, las operaciones son los instrumentos para la resolución de los problemas que pueden surgir en la vida cotidiana que nos hace utilizar el conocimiento matemático, en ese sentido son las herramientas para el desarrollo de las competencias básicas.

5.1 Cálculo escrito.

Un algoritmo posee algunas propiedades, a saber:

a) Nitidez, debido a esta propiedad su realización se convierte en una acción mecánica.

b) Eficacia, se obtiene el resultado deseando mediante un número finito de pasos.

c) Universalidad, cada algoritmo resuelve la misma operación independientemente de la magnitud de los números con los que se opere.

En cuanto a la disposición de los números para el algoritmo, éstos se colocan verticalmente, justificado a la derecha, excepto en la división en que se colocan uno junto a otro y separados por una caja. Se opera de derecha a izquierda excepto en la división, en que se hace de izquierda a derecha.

5.2 Cálculo mental.

Siguiendo a Gómez (1993) no es posible una buena destreza en el cálculo mental si no se dispone de buenos puntos de apoyo.

a) De sumas. Están basados en la descomposición de uno o ambos sumandos y, entre las distintas formas que hay de hacerlo, se encuentran las siguientes:

1. Convirtiendo en 10 uno de los sumandos:

9+7 = 10+6 = 16

2. Separando las distintas unidades en cada sumando:

24+63 = (20+60) + (4+3) = 80+7 = 87

3. Descomponiendo sólo uno de los sumandos:

435+ 62= (400+62) + 35= 462+35 = 400 + (60+30) +(2+5)

b) De restas. Los algoritmos de cálculo mental para restas están basados unos en recorrer directamente el camino de un número a otro, ya sea del sustraendo al minuendo o viceversa.

4. Recorriendo distancias:

o Del sustraendo al minuendo: 456-125, de 125 a 200 van 75, de 200 a 456 van 256; 256+75 que ya se hace por cualquiera de los métodos vistos para la suma.

o Del minuendo al sustraendo: 456-125, de 456 a 400 van 56, de 400 a 200 van 200; de 200 a 125 van 75 y, por tanto, 56+200+75 que ya se hace por cualquiera de los métodos vistos para la suma.

5. Descomponiendo.

– Ambos términos: 856-237 = (800-200) + (56-37) = 600 + 17 =617

– Descomponiendo uno de ellos: 856 -237 = (856 – 200) – 37 =656 – 37 =617

5.3 Estimación.

Segovia et al. (1989) lo define como el juicio de valor del resultado de una operación numérica o de medida de una cantidad, en función de circunstancias individuales del que lo emite.

Aparecen así dos tipos de estimación:

– Estimación en cálculo.

– Estimación en medida.

Siguiendo a Segovia et al. (1989), las características de la estimación son las siguientes:

o Consiste en valorar la cantidad o el resultado de una operación

o El sujeto que debe hacer la valoración tiene alguna información, referencia o experiencia sobre la situación que debe enjuiciar.

o La valoración se realiza por lo general de forma mental.

o Se hace con rapidez y empleando números lo más sencillos posibles.

5.4 Calculadora.

Siguiendo a Coriat 820019 se trata de un recurso individual, “cada alumno/a la suya”.

No es necesario que la calculadora tenga muchas teclas. Las principales operaciones que debe incluir son (Coriat, 2001): suma, resta, multiplicación, división entera, división con coma, fracciones y números mixtos.

En la Educación Primaria, las teclas deben ser de tamaño mediano, y el alumno debe tener claro que no están prohibidas, y el maestro, progresivamente, hacerle descubrir que no siempre es la herramienta más idónea.

Destacaré algunas de las principales actividades con la calculadora

– Adiestramiento en el manejo de teclas individuales, con control visual de la entrada y salida de datos. Ejemplo: funcionamiento de la tecla de división entera.

– Tablas de funciones elementales. Ejemplo: multiplicar 3 por distintos números y hacer una tabla con los resultados.

– Generalizaciones. Ejemplo: conjeturar el criterio de divisibilidad por 2, por 10 o por 5 usando la tecla de división entera.

6. INTERVENCIÓN EDUCATIVA.

Tomando como referencia el Real Decreto 126/2014, De 28 de Febrero, Currículo Básico Educación Primaria, estableceremos una serie de orientaciones metodológicas para la resolución de los problemas:

ü Priorizar experiencias del alumnado.

ü Contextualizar actividades de aprendizaje matemático en situaciones educativas reales.

ü Utilizar en diversas situaciones distintos códigos y modos de expresión.

El sentido de esta área en la Educación primaria es eminentemente experiencial; los contenidos de aprendizaje toman como referencia lo que resulta familiar y cercano al alumnado, y se abordan en contextos de resolución de problemas y de contraste de puntos de vista. Los niños y las niñas deben aprender matemáticas utilizándolas en contextos funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria, para adquirir progresivamente conocimientos más complejos a partir de las experiencias y los conocimientos previos.

La Orden______ recoge en su anexo I, una serie de bloques de contenidos, donde destacamos los más relacionados con el presente tema:

La presente Orden recoge también se recoge una serie de orientaciones metodológicas relacionadas con el sentido numérico:

“El desarrollo del sentido numérico será entendido como el dominio reflexivo de las relaciones numéricas que se pueden expresar en capacidades como: habilidad para descomponer números de forma natural, comprender y utilizar las estructura del sistema de numeración decimal, utilizar las propiedades de las operaciones y las relaciones entre ellas para realizar cálculos mentales y razonados. Interesa principalmente la habilidad para el cálculo con diferentes procedimientos y la decisión en cada caso del más adecuado”.

En el trabajo en el aula de matemáticas no puede desarrollarse superponiendo partes, sino que es un todo en el que pueden analizarse aspectos diversos. La necesidad de proponer tareas con alto contenidos matemáticos, que reten la capacidad y el ingenio del alumnado, parece como una condición necesaria para ello. Y en ese entorno, el papel del profesor es crucial, pues es quien plantea las tareas, conduce la secuencia, interviene en el momento y en la medida conveniente y centra las conclusiones finales.

Los conocimientos previos del alumnado desempeñan un importante papel en el aprendizaje significativo ya que éste implica una construcción a partir de ideas y significados anteriores. El proceso de enseñanza debe tenerlos en cuenta y enlazarlos explícitamente con los procedimientos y nociones formales.

6. COMENTARIOS FINALES.

La educación matemática debe considerarse incluida en la globalidad de la realidad social y cultural en que tiene lugar. Aceptar la diversidad cultural del alumnado requiere, en primer lugar, aceptar el bagaje cultural que aportan los alumnos de su experiencia extraescolar, permitiendo su entrada en el aula de matemáticas.

Resaltar así mismo, la importancia de los números y sus operaciones para la resolución en la vida cotidiana y por consiguiente el desarrollo de las competencias básicas.

Finalmente reconocemos en ello un proceso lento y cuyos resultados se irán viendo de forma progresiva aunque lo importante es que el alumno/a vaya adquiriendo recursos o estrategias que le ayuden a asentar bases para, en el futuro, resolver con éxito las situaciones matemáticas o no, que la vida diaria le plantee (Castro, 2001).

B. RECURSOS.

7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

– BOJA_______

– Castro M, E. (2001). Didáctica de la matemática en educación primaria. Dialnet.

– García, A. (2000). Matemática emocional. Los afectos en el aprendizaje matemático. Madrid: Narcea

– MEC (2013a). Ley Orgánica 8/2013 del 9 de diciembre para la Mejora de la Calidad Educativa.

– MEC (2014b). Real Decreto 126/2014 del 28 de febrero por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria.

– MEC (2006a) Ley Orgánica 2/2006, de 3 de Mayo, de Educación.

– MEC (2006b) Real Decreto 1513/2006, del 7 de diciembre por el que se establecen las enseñanzas mínimas para la educación primaria

– Linares, S; Sánchez, M.V. (1997). Aprender a enseñar, modos de representación y número racional. Dialnet.

– Nortes, A. (1993). Matemáticas y su didáctica. Dialnet.

8. REFERENCIAS WEB.

– Http:// galeón.hispavista.com/aprenderaprender/intmultiples/intmultiples.htm

– Http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%c3%A1tica